湖南省衡阳市2022届高三下学期数学三模试卷（附答案）.pdf

1、 高三下学期数学三模试卷 高三下学期数学三模试卷一、单选题一、单选题1复数+1的虚部是（）A1BiCiD-12已知集合=|24 (2022)(40392)B(2022)(40392)(40432)C(40432)(40392)(2022)D(40392)(2022)(40432)7将三国演义、西游记、水浒传、红楼梦4 本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得 1 本，表示事件：“三国演义分给同学甲”；表示事件：“西游记分给同学甲”；表示事件：“西游记分给同学乙”，则下列结论正确的是（）A事件与相互独立B事件与相互独立C(|)=512D(|)=5128已知双曲线：222=1的上、下

2、焦点分别为1，2，点在轴上，线段1交于点，2的内切圆与直线2相切于点，则线段的长为（）A1B2C 3D 2二、多选题二、多选题9下列命题中，正确的有（）A数据 93，92，92，89，93，94，95，96，100，99 的极差为 11B已知一组样本数据1，2，的平均数为 5，方差为 0.1，则由这组数据得到的新样本数据21+1，22+1，2+1的平均数为 11，方差为 0.2C一元线性回归模型=21.5，变量增加一个单位时，则平均减少 1.5 个单位D已知随机变量(2，2)，且(4)=0.6，则(0 0，0，0 0，0，+=1则下列不等式正确的是（）A2+2 2 2B +2C(1+2)(1+

3、2)16D22+2+3+2 3312在正方体1111中，=2，为11的中点，点在线段1上运动，点在棱1上运动，为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A直线1 平面11B异面直线与1所成角的取值范围是4，2C|+|的最小值为3 22D当|+|=4时，三棱锥体积最大时其外接球的表面积为283三、填空题三、填空题13圆2+2+2+415=0的圆心到直线2=0的距离为 .14已知四边形为菱形，=60，=2，且=，则 =15已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足+1=2()，则2+4+6+66=16已知函数()=+2，0（2.71828），若函数()的极值为 0，则实数=；若函数()=()+()有且

4、仅有四个不同的零点，则实数的取值范围是 四、解答题四、解答题17如图，在 中，=3，=8，点 D 在 AB 边上，且=2，cos=17（1）求cos；（2）求 BC 的长18已知等差数列的前项和为，且10=145，3=7，公比为 2 的等比数列满足1=21（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和，及使得12 2022对 恒成立的最大正整数19在正四棱锥中，=2，=6，、分别是、的中点，过直线的平面分别与侧棱、交于点、（1）求证：；（2）若=2，求直线与平面所成角的正弦值20因新冠肺炎疫情线上学习期间，儿童及青少年电子产品的使用增多、户外活动减少，进而增加了近视发生和进展的风险.2022

5、年春季由于奥密克戎及其变异株传染能力强、感染后缺乏特异性症状等特点，让奥密克戎防控难上加难某市也受到了奥密克戎病毒的影响，全市中小学生又一次居家线上学习，该市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽样方法随机抽取了该市 120 名中学生，已知该市中学生男女人数比例为7：5，统计了他们的视力情况，结果如表：近视不近视合计男生30女生40合计120（1）请把表格补充完整，并判断是否有99%的把握认为近视与性别有关？附：2=()2(+)(+)(+)(+)，其中=+02.7063.8416.635(2 0)0.100.050.01（2）如果用这 120 名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中

6、学生男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立现从该市中学生中任选 4 人，设随机变量表示 4 人中近视的人数，试求的分布列及其数学期望()21已知抛物线：=2(0)的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长|的最小值为 2（1）求实数的值；（2）设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作 ，为垂足，试探究是否存在定点，使得|为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值|，若不存在，请说明理由22已知函数()=1221（1）若函数()在上单调递增，求实数；（2）从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分当 0时，()+1222ln

7、0，求实数当 0时，()+122ln 0，求实数答案解析部分答案解析部分1【答案】D2【答案】B3【答案】C4【答案】B5【答案】B6【答案】A7【答案】C8【答案】D9【答案】A,C,D10【答案】A,D11【答案】A,B,D12【答案】A,C,D13【答案】3 5514【答案】415【答案】112216【答案】32；（2e，+）17【答案】（1）解：由三角形的性质，可得=，因为cos=17，所以sin=4 37，则cos=cos()=cos cos3+sin sin3=1712+4 3732=1314.（2）解：由cos=1314，可得sin=3 314，在 中，利用正弦定理可得：sin=

8、sin，即=sinsin=8 3 3144 37=3，在 中，=+=3+2=5，由余弦定理可得2=82+522 8 5 12=49，所以=718【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则10=101+45=1453=1+2=7，解得1=1=3，所以=1+(1)=32，1=21=2，则=2 21=2（2）解：因为=(32)2，则=1 21+4 22+7 23+(32)2，2=1 22+4 23+(35)2+(32)2+1，-得=2+3(22+23+2)(32)2+1=2+12(121)12(32)2+1=10+(53)2+1，因此，=(35)2+1+1012 2022对 恒成立，即(12)min

9、2022，又因为=(32)2 0，所以单调递增，所以12的最小值为121=1，即1 2022，6.635所以有 99%的把握认为近视与性别有关（2）解：由图表可知，男生近视的概率为37，女生近视的概率为15由该市中学生男女人数比例为7：5，设该市共有中学生人数12，可得，其中男生人数约7，近视男生人数约3，女生人数约5，近视女生人数约1，所以任取一名中学生其近视的概率为=3+112=13由题意可知，随机变量(4，13)，且的所有可能取值为 0、1、2、3、4，(=)=4(13)(113)4，(=0)=(113)4=1681，(=1)=1413(113)3=3281，(=2)=24(13)2(1

10、13)2=827，(=3)=34(13)3(113)=881，(=4)=(13)4=181随机变量的分布列为：0123416813281827881181所以随机变量的数学期望()=4 13=4321【答案】（1）解：抛物线：=2(0)化为标准方程为：2=1，其焦点(0，14)，因为斜率一定存在，设其方程为=1+14，联立方程得：=1+142=1，整理得：21142=0，0恒成立其中(1，1)，(2，2)，1+2=1，1+2=1(1+2)+12=12+12，因为焦点弦长|=1+2+12=12+1，所以当12=0时，弦长|min=1=2所以，实数的值为12（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设其

11、方程为=+(0)联立方程得：=+2=2，整理得：222=0，=42+8 0其中(3，3)，(4，4)，3+4=2，34=2，因为以为直径的圆经过点，所以 =0又因为 =34+34=34+322422=2+424=2+2=0，0，=2所以直线过定点(0，2)，又因为 ，所以 为直角三角形，所以当为斜边中点时，|为定值，此时|=12|=1所以定点为(0，1)，|为定值 122【答案】（1）解：由题意得：()=(+1)=(+1)()；()在上单调递增，()0恒成立且()不恒为零；当 1时，+1 0，则 0，1=1；当=1时，(1)=0；当 1时，+1 0时，()+1222ln=(+2)ln1 0，+

12、2 ln1；令()=ln1，则()=1ln2+12=2+ln2；令()=2+ln，则()=(+2)+1 0，()在(0，+)上单调递增，又(1)=0，(1)=1211=121 0，0(1，1)，使得(0)=0；则当 (0，0)时，()0，即()0，即()0；()在(0，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，()min=(0)=0ln0010；由(0)=0得：ln0=200，则ln(ln0)=2ln0+0，ln(ln0)+(ln0)=ln0+0，又=ln+在(0，+)上单调递增，ln0=0，0=10，()min=(0)=100010=1，+2 1，解得：1，即实数的取值范围为(，1.若选条件，

13、方法一：当 0时，()+122ln=ln1 0，令()=ln1，则()0；i.当 0时，(1)=111+=11+(11)1 0时，()=(+1)=(+1)()；令()=，则()=(+1)0，()在(0，+)上单调递增，又(0)=0，0(0，)，使得(0)=0；则当 (0，0)时，()0，即()0，即()0；()在(0，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，()min=(0)=000ln01；由(0)=0得：00=，则ln0+0=ln，()min=ln1 0，即ln+11 0；令()=ln+11，则()=112=12，当 (0，1)时，()0；()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增

14、，()(1)=0，即ln+11 0；ln+11=0，则=1，即实数的值为1.方法二：当 0时，()+122ln=ln1 0，即 0时，(+ln)+1，即+ln(+ln)+1；=+ln为(0，+)上的增函数且值域为，令=+ln，则对于 ，+1，即1 0恒成立；令()=1；i.当 0时，(1)=1+1 0时，()=，由()=0得：=ln，当 (，ln)时，()0；()在(，ln)上单调递减，在(ln，+)上单调递增，()min=(ln)=lnln1=ln1 0，即ln+11 0；令()=ln+11，则()=112=12，当 (0，1)时，()0；()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，()(1)=0，即ln+11 0；ln+11=0，则=1，即实数的值为 1