MATLAB基础与应用教程第二章b课件.ppt

1、第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算二、符号运算二、符号运算 掌握内容：掌握内容：（1）了解）了解 MATLAB 的符号变量，掌握的符号变量，掌握 MATLAB 符号表符号表达式、符号矩阵的两种达式、符号矩阵的两种创建方法创建方法。（2）掌握）掌握 MATLAB 符号数学函数符号数学函数的创建。的创建。（3）掌握）掌握符号矩阵的基本运算符号矩阵的基本运算及及MATLAB 关于关于不同精度不同精度的控制方法的控制方法。（4）掌握）掌握符号微积分符号微积分内容，包括求函数的极限、对符号表内容，包括求函数的极限、对符号表达式求导数和微分、符号积分、符号求和、达式求导数和微分、符号积分

2、、符号求和、傅立叶变换傅立叶变换及及其逆变换等。其逆变换等。（5）掌握）掌握各种符号方程的求解方法各种符号方程的求解方法和函数命令。和函数命令。（6）了解）了解 MATLAB 可视化的符号函数分析界面可视化的符号函数分析界面及使用。及使用。（7）初步了解）初步了解 MAPLE 的符号资源的符号资源。对于：对于：15byaxbyax如何计算？如何计算？第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算231235xyxy A=2,-3;2 3;B=1;5;X=AB符号运算符号运算n所谓所谓符号计算符号计算是指在运算时，无须事先对变量是指在运算时，无须事先对变量赋值，而将所得到结果以标准的符号形

3、式来表赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。示。nMathWorks公司以公司以Maple的内核作为符号计算的内核作为符号计算引擎（引擎（Engine），），依赖依赖Maple已有的函数库，已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。工具箱和扩展符号工具箱。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算抽象运算：抽象运算：公式推导、因式分解、求解代数方程或微分方公式推导、因式分解、求解代数方程或微分方程的精确解程的精确解 符号数学工具箱符号数学工具箱 1）通

4、过基本符号数学工具箱的通过基本符号数学工具箱的专用函数专用函数；符号表达式和符号矩阵的操作；符号表达式和符号矩阵的操作；多项式的化简、展开和代入；多项式的化简、展开和代入；线性代数；线性代数；微积分；微积分；符号方程的求解；符号方程的求解；特殊的数学函数。特殊的数学函数。2）通过）通过 maple.m、mpa.m 两个两个专门设计的专门设计的 M 文件文件进行进行符号运算；符号运算；3）通过）通过 MATLAB 中的中的函数计算器函数计算器（Function Caculator）。）。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算1、符号变量的创建符号变量的创建a.sym 函数函数(sy

5、mbol 的缩写的缩写)S=sym(arg)，从表达式从表达式 arg 创建一个创建一个 sym 对象对象 Sx=sym(x)x=sym(x,real)x=sym(x,unreal)附加属性附加属性x=sym(x,positive)pi=sym(pi)delta=sym(1/10)S=sym(A,flag)，将数值或矩阵转化为符号形式将数值或矩阵转化为符号形式其中其中 flag 选项有四项参数选项有四项参数f,r,e 和和 d，r为缺省为缺省项项。f：代表十六进制浮点形式；代表十六进制浮点形式；r：代表有理数形式；代表有理数形式；e：估计误差；估计误差；d：表示十进制小数。表示十进制小数。第第

6、2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 A=2/5,4/0.78,sqrt(23)/3;0.33,0.3333,log(4)输入数值矩阵输入数值矩阵AA=0.4000 5.1282 1.5986 0.3300 0.3333 1.3863 FA=sym(A)将数值矩阵将数值矩阵A转化为符号矩阵转化为符号矩阵FA FA=2/5,200/39,sqrt(23/9)33/100,3333/10000,6243314768165359*2(-52)不管数值矩阵的元素是不管数值矩阵的元素是以分数或是浮点数以分数或是浮点数表示，转换后的表示，转换后的符号矩阵都将以符号矩阵都将以最接近有理式最接近有

7、理式的形式给出。的形式给出。b.syms 函数函数*syms用于方便地用于方便地一次创建多个符号变量一次创建多个符号变量，调用格式为：，调用格式为：syms a b c d 书写简洁意义清楚，建议使用。书写简洁意义清楚，建议使用。syms a b c x y2 2、符号表达式和符号矩阵的创建符号表达式和符号矩阵的创建第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算a.a.字符串直接输入创建字符串直接输入创建 符号表达式和符号方程对符号表达式和符号方程对空格空格很敏感。因此，在创建符很敏感。因此，在创建符号表达式或符号方程时，不要在字符间任意加空格符；号表达式或符号方程时，不要在字符间任意加

8、空格符；符号计算中出现的符号计算中出现的数字数字也是当作符号处理的；也是当作符号处理的；f=a*x2+b*x+c f=a*x2+b*x+c f=a*x2+b*x+c=0f=a*x2+b*x+c=02 2、符号表达式和符号矩阵的创建符号表达式和符号矩阵的创建第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算这种方法这种方法输入符号矩阵输入符号矩阵与与字符串矩阵字符串矩阵的输入相似。但的输入相似。但要保证在同一列中各元素字符串有要保证在同一列中各元素字符串有同样的长度同样的长度，在较，在较短的字符串前后用空格符填充；短的字符串前后用空格符填充；这种方法要求这种方法要求符号矩阵符号矩阵每一行的两端

9、都有方括号，而每一行的两端都有方括号，而字符串矩阵字符串矩阵仅在首尾有方括号。仅在首尾有方括号。B=4+x x2 x ;x3 5*x-3 x*a B=4+x x2 x x3 5*x-3 x*a2 2、符号表达式和符号矩阵的创建符号表达式和符号矩阵的创建第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算b.b.由由 sym sym 命令创建命令创建 f=sym(a*x2+b*x+c)f=a*x2+b*x+c f1=sym(a*x2+b*x+c=0)f1=a*x2+b*x+c=0 A=sym(4+x,x2,x;x3,5*x-3,x*a)A=4+x,x2,x x3,5*x-3,x*a第第2章章 矩

10、阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算c.c.由由 symssyms 命令创建命令创建 syms x a b c f=a*x2+b*x+cf=a*x2+b*x+c syms x a B=4+x x2 x;x3 5*x-3 x*aB=4+x,x2,x x3,5*x-3,x*a不能创建符号方程不能创建符号方程 n【例例1】作符号计算：作符号计算：na,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，均为符号运算量。在符号运算前，应先将应先将a,b,x,y定义为符号运算量定义为符号运算量15byaxbyax第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n方法一：方法一：syms a b A=a,-b;

11、a b;B=1;5;X=ABX=3/a 2/b第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n方法二：方法二：a=sym(a);%定义定义a为符号运算量，为符号运算量，输出变量名为输出变量名为a b=sym(b);x=sym(x);y=sym(y);x,y=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)%solve：符号代数方程的求解：符号代数方程的求解%以以a,b为符号常数，为符号常数，x,y为符号变量为符号变量即可得到方程组的解：即可得到方程组的解：x=3/ay=2/bn【例例2】已知一复数表达式已知一复数表达式 z=x+i*y，试求其共，试求其共轭复数，并求该表达式与

12、其共轭复数乘积的多轭复数，并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。项式。n 为了使乘积表达式为了使乘积表达式x2+y2非负，这里，把非负，这里，把变量变量x和和y定义为实数。定义为实数。nx=sym(x,real);ny=sym(y,real);第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算nz=x+i*y;%定义复数表达式定义复数表达式nconj(z);%求共轭复数求共轭复数nexpand(z*conj(z)%求表达式与其共轭复数乘积的多项式求表达式与其共轭复数乘积的多项式n%expand：展开符号表达式中的各项子式：展开符号表达式中的各项子式nans=nx2+y2n若要去掉若要去掉x的

13、属性的属性,可以使用下面语句可以使用下面语句n x=sym(x,unreal)n将将x创建为创建为纯格式的符号变量纯格式的符号变量。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算默认符号变量默认符号变量在数学表达式中，在数学表达式中，一般习惯于使用排在字一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而母表中前面的字母作为变量的系数，而用排在后面的字母表示变量用排在后面的字母表示变量。例如：。例如：f=ax2+bx+c表达式中的表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作通常被认为是常数，用作变量的系数；而将变量的系数；而将x看作自变量。看作自变量。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵

14、、数组和符号运算n例如，数学表达式例如，数学表达式 n f=xnn g=sin(at+b)n根据数学式中表示自变量的习惯，默认根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,n为符号常为符号常数，数，x，t为符号变量。为符号变量。n若在若在MATLAB中表示上述表达式，首先用中表示上述表达式，首先用syms 函数定函数定义义a，b，n，t，x为符号对象。为符号对象。在进行导数运算时，由在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认达式中的自变量，默认a,b,n为符号常数，为符号常数，x，t为符号为符号变量。变量。n

15、即即：对函数对函数f求导为：求导为：df/dxn 对函数对函数g求导为：求导为：dg/dt第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名，可以用及变量名，可以用findsym函数函数查询符号函数查询符号函数中所包含的符号变量中所包含的符号变量。该函数的引用格式为：。该函数的引用格式为：n findsym(f,n)n说明：说明：n f为用户定义的符号函数为用户定义的符号函数，n n为正整数，表示查询变量的个数为正整数，表示查询变量的个数。n n=i，表示查询前，表示查询前i个系统默认变量。个系统默认变

16、量。n值省略值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。时表示查询符号函数中全部系统默认变量。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例3】查询符号函数查询符号函数n f=xnn g=sin(at+b)n中的系统默认变量。中的系统默认变量。nsyms a b n t x%定义符号变量定义符号变量nf=xn;%给定符号函数给定符号函数ng=sin(a*t+b);nfindsym(f,1)%在在f函数中查询函数中查询1个系统默认变量个系统默认变量nans=x%表示表示f函数中查询的函数中查询的1个系统默认变量为个系统默认变量为x。nfindsym(g,1)nans=t第第2章章

17、矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n例例3：查询符号函数中的默认自变量。查询符号函数中的默认自变量。n创建符号变量创建符号变量 a,b,n,x 和和t，建立函数，建立函数f=axn+bt，然后求，然后求f的默认自变量。的默认自变量。nsyms a b n t xnf=a*xn+b*tnfindsym(f,1)nfindsym(f,2)nfindsym(f,5)%f表达式中按最接近表达式中按最接近x顺序排列的顺序排列的5个默认自变量个默认自变量nfindsym(f)%f表达式中按最接近字母顺序排列的全部自变量表达式中按最接近字母顺序排列的全部自变量nf=n a*xn+b*tnans=xna

18、ns=x,tnans=x,t,n,b,anans=a,b,n,t,x第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例4】定义一个符号函数定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分别分别求该函数对求该函数对x、y的导数和对的导数和对x的积分。的积分。nsyms a b c x y%定义符号变量定义符号变量nfxy=(a*x2+b*y2)/c2;%生成符号函数生成符号函数 ndiff(fxy,x)%符号函数符号函数fxy对对x求导数求导数nans=2*a*x/c2ndiff(fxy,y)%符号函数符号函数fxy对对y求导数求导数 nans=2*b*y/c2 nint(f

19、xy,x)%符号函数符号函数fxy对对x求积分求积分 nans=1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算3 3、符号矩阵的运算、符号矩阵的运算a.基本运算基本运算 四则运算（与数值矩阵的运算规则相同）四则运算（与数值矩阵的运算规则相同）两个符号矩阵的两个符号矩阵的大小相等大小相等方可进行方可进行加减运算加减运算，符号，符号矩阵和矩阵和符号标量符号标量的加减运算按照的加减运算按照数组运算数组运算规则进行；规则进行；两个符号矩阵进行两个符号矩阵进行乘乘、除、除法运算法运算（与矩阵乘与矩阵乘、除、除法法规则相同规则相同）；）；符号的乘方运算符号

20、的乘方运算 Sp，若若 S 为为符号表达式符号表达式，p 可以可以为为符号表达式或数值表达式符号表达式或数值表达式；若；若 S 为为符号矩阵符号矩阵，则，则 p 必须是必须是整数整数。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 a=sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3)a=1/x,1/(x+1)1/(x+2),1/(x+3)b=sym(x,1;x+2,0)b=x,1 x+2,0 b-aans=x-1/x,1-1/(x+1)x+2-1/(x+2),-1/(x+3)abans=-6*x-2*x3-7*x2,3/2

21、*x2+x+1/2*x3 14*x+2*x3+10*x2+6,-2*x2-3/2*x-1/2*x3 a.bans=x2,x+1(x+2)2,0 a2ans=1/x2+1/(x+1)/(x+2),1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3)1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2),1/(x+1)/(x+2)+1/(x+3)2 exp(b)ans=exp(x),exp(1)exp(x+2),1第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算b.符号表达式的化简与转换符号表达式的化简与转换 给定如下给定如下3个符号表达式个符号表达式:f=x3-6*x2+11*x-6 g=(x-1)*(x

22、-2)*(x-3)h=-6+(11+(-6+x)*x)*x 是否同一个符号表达式？是否同一个符号表达式？第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 collect：将表达式中同类项合并，合并后的多项式以变量幂：将表达式中同类项合并，合并后的多项式以变量幂的次数按大小依次排列的次数按大小依次排列 ff=x3-6*x2+11*x-6 collect(g)ans=x3-6*x2+11*x-6 collect(h)ans=x3-6*x2+11*x-6 syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x)ans=(y-1)*x2+(y-2)*x第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵

23、、数组和符号运算expand：展开符号表达式中的各项子式：展开符号表达式中的各项子式 syms x y expand(x+1)3)ans=x3+3*x2+3*x+1 expand(sin(x+y)ans=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)factor：符号因式分解：符号因式分解 syms x factor(x9-1)ans=(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算numden：分式通分分式通分 syms x y n,d=numden(x/y+y/x)n=x2+y2%n：分式的分子：分式的分子d=y*x%d：分式的分

24、母：分式的分母 表达式简化表达式简化符号表达式的两个化简函数：符号表达式的两个化简函数：simplify、simple simplify：化简函数，主要用于在符号表达式中进：化简函数，主要用于在符号表达式中进行等式的恒等替换。行等式的恒等替换。例例1：对表达式：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简进行化简.syms xf=sin(x)2+cos(x)2;simplify(f)ans=1第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 r,how=simple(S)函数可函数可寻找符号表达式寻找符号表达式S的最简型的最简型，r为为返回的简化形式，返回的简化形式，how为化简过程

25、中使用的主要方法，为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法：函数综合使用了下列化简方法：*simplify 函数对表达式进行化简函数对表达式进行化简*radsimp 函数对含根式函数对含根式(surd)的表达式进行化简的表达式进行化简*combine 函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并现的项进行合并*collect 合并同类项合并同类项*factor 函数实现因式分解函数实现因式分解*convert 函数完成表达式形式的转换函数完成表达式形式的转换第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算例例2

26、：最简表达式的获得。：最简表达式的获得。syms x tf=cos(x)2-sin(x)2;r,how=simple(f)r=cos(2*x)how=combine(trig)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算Examples:S r how cos(x)2+sin(x)2 1 simplify 2*cos(x)2-sin(x)2 3*cos(x)2-1 simplify cos(x)2-sin(x)2 cos(2*x)combine(trig)cos(x)+(-sin(x)2)(1/2)cos(x)+i*sin(x)radsimp cos(x)+i*sin(x)exp(i*

27、x)convert(exp)(x+1)*x*(x-1)x3-x combine(trig)x3+3*x2+3*x+1 (x+1)3 factor cos(3*acos(x)4*x3-3*x expand 第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算4、符号微积分、符号微积分Matlab自变量确定原则自变量确定原则：除：除i、j外，字母位置外，字母位置最接近最接近x的小写的小写字母字母为自变量；如果表达式中为自变量；如果表达式中没有变量没有变量，x会会被视为默认的被视为默认的变量变量。由函数。由函数findsym可以找到默认变量可以找到默认变量a.符号极限符号极限(Symbolic li

28、mit)*limit(F,x,a)计算计算符号表达式符号表达式F在在自变量自变量xa条件下的极限；条件下的极限；*limit(F,a)计算计算符号表达式符号表达式F中由中由默认自变量默认自变量趋向于趋向于a条件下条件下的极限；的极限；*limit(F)计算计算符号表达式符号表达式F在在默认自变量默认自变量趋向于趋向于0条件下的条件下的极限；极限；*limit(F,x,a,right)和和limit(F,x,a,left)计算计算符号表达式符号表达式F在在xa条件下的条件下的右极限右极限和和左极限左极限。syms x a t h limit(sin(x)/x)ans=1 limit(1+2*t/

29、x)(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)limit(1/x,x,0,right)ans=Inf limit(1/x,x,0,left)ans=-Inf第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例】求极限求极限nsyms x%定义符号变量定义符号变量nf=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3；n%确定符号表达式确定符号表达式nw=limit(f)%求函数的极限求函数的极限nw=-1/2xeextgxxx3sin0sin)1(2)1(lim第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算b.微分函数微分函数（diffe

30、rential coefficient）diff函数用于对符号表达式函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引求微分。该函数的一般引用格式为：用格式为：diff(s,v,n)说明说明：n应用应用diff（s）没有指定微分变量和微分阶数，则系统没有指定微分变量和微分阶数，则系统按按findsym函数指示的函数指示的默认变量对符号表达式默认变量对符号表达式s求一阶求一阶微分微分。n应用应用diff（s，v）或或diff（s，sym（v）格式，格式，表示表示以以v为自变量为自变量，对符号表达式对符号表达式s求一阶微分求一阶微分。n应用应用diff（s，n）格式，表示格式，表示按按findsym函数

31、指示的函数指示的默默认变量对符号表达式认变量对符号表达式s求求n阶微分阶微分，n为正整数为正整数。n应用应用diff（s，v，n）、）、diff（s，n，v）格式，格式，表示表示以以v为自变量，对符号表达式为自变量，对符号表达式s求求n阶微分阶微分。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例】求导数：求导数：nx=sym(x);%定义符号变量定义符号变量nt=sym(t);ndiff(sin(x2)%求导运算求导运算nans=n2*cos(x2)*xn【例例】分别计算表达式分别计算表达式f=xx的导数和的导数和3次导数次导数.n syms x;n f=xx;ndiff(f)n

32、diff(f,3)nans=n xx*(log(x)+1)n ans=n xx*(log(x)+1)3+3*xx*(log(x)+1)/x-xx/x2 2sindxdx第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算c积分函数积分函数（integral）积分函数积分函数int（s，v，a，b)可以对被积函数或符号表达式可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为：求积分。其引用格式为：int（s，v，a，b)说明：说明：n应用应用int（s）格式，表示没有指定积分变量和积分阶数格式，表示没有指定积分变量和积分阶数时，系统时，系统按按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符函数指示

33、的默认变量对被积函数或符号表达式号表达式s求一阶积分求一阶积分。n应用应用int（s，v）格式，表示格式，表示以以v为自变量，对被积函数为自变量，对被积函数或符号表达式或符号表达式s求一阶不定积分求一阶不定积分。n应用积分函数时，如果应用积分函数时，如果给定给定 a、b两项，表示是进行定积两项，表示是进行定积分运算分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。分别表示定积分的下限和上限。不指定积不指定积分的下限和上限表示求不定积分分的下限和上限表示求不定积分。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例】求积分：求积分：nsyms xnint(1/(1+x2)nans=natan(

34、x)nint(1/(1+x2),0,1)%符号表达式符号表达式的定积分的定积分nans=n1/4*pinquad(1./(1+x.2),0,1)%数组的定积分数组的定积分nans=n 0.7854dxx211第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算d.级数级数(符号符号)求和求和(Symbolic summation)级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn 函数函数symsum可以用于此类对符号函数可以用于此类对符号函数f的求和运算。该的求和运算。该函数的引用时，应函数的引用时，应确定

35、级数的通项式确定级数的通项式s，变量的变化范围变量的变化范围a和和b。该函数的引用格式为：该函数的引用格式为：*symsum(S)求符号表达式求符号表达式S对于默认自变量的不定和；对于默认自变量的不定和；*symsum(S,v)求符号表达式求符号表达式S对于自变量对于自变量v的不定和；的不定和；*symsum(S,a,b)求符号表达式求符号表达式S对于默认自变量从对于默认自变量从a到到b的的有限和；有限和；*symsum(S,v,a,b)求符号表达式求符号表达式S对于自变量对于自变量v从从a到到b的有的有限和；限和；第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例】求级数的和求级数

36、的和:1/12+1/22+1/32+1/42+n键入：键入：nsyms k nsymsum(1/k2,1,Inf)%k值为值为1到无穷大到无穷大nans=n1/6*pi2n其结果为：其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+=2/6第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n例：例：分别计算表达式分别计算表达式k、n syms k xnsymsum(k)nsymsum(k2,0,10)nsymsum(xk/sym(k!),k,0,inf)nans=n1/2*k2-1/2*knans=n385n ans=exp(x)1002k0!kkkx第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数

37、组和符号运算e.Taylor级数展开级数展开(Taylor series expanding)*taylor(f)计算符号表达式计算符号表达式f对于默认自变量等对于默认自变量等于于0 处的处的5阶阶Taylor级数展开式；级数展开式；*taylor(f,n,v)计算符号表达式计算符号表达式f在自变量在自变量v=0处的处的n-1阶阶Taylor级数展开式；级数展开式；*taylor(f,n,v,a)计算符号表达式计算符号表达式f在自变量在自变量v=a 处处的的n-1阶阶Taylor 级数展开式。级数展开式。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算例：例：分别计算表达式分别计算表达式

38、的的5 阶阶Taylor级数展开式和级数展开式和f=exsin(x)的的5 阶及阶及11 阶阶Taylor级数展开式。级数展开式。syms xf=1/(5+cos(x);r=taylor(f)f=exp(x*sin(x);r=taylor(f)r=taylor(f,12)r=1/6+1/72*x2r=1+x2+1/3*x4r=1+x2+1/3*x4+1/120*x6-11/560*x8-1079/362880*x10第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算)cos(51xff.傅立叶变换和傅立叶逆变换傅立叶变换和傅立叶逆变换傅立叶快速离散变换傅立叶快速离散变换 MATLAB 提供了

39、提供了 fft(内置函数内置函数)、ifft、fft2、ifft2、fftn、ifftn、fftshift、ifftshift 等函数，用来计算矩阵的离散快速等函数，用来计算矩阵的离散快速傅立叶变换。傅立叶变换。函数函数 fft 和和 ifft 函数函数 fft 最完整的调用格式为：最完整的调用格式为：Y=fft(X,dim)或或 Y=fft(X,n,dim)数据长度数据长度n是是 2 次幂时，可以采用次幂时，可以采用基基-2 算法进行快速计算。算法进行快速计算。输入参数输入参数 X 可以是向量、矩阵。可以是向量、矩阵。dim 指定变换的实施方向。当指定变换的实施方向。当 X 是矩阵时，是矩阵

40、时，1 指明变换按指明变换按列进行（默认），列进行（默认），2 指明变换按行进行。指明变换按行进行。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 X=1,2,3;4,5,6;7,8,9X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y=fft(X)Y=12.0000 15.0000 18.0000 -4.5000+2.5981i -4.5000+2.5981i -4.5000+2.5981i -4.5000-2.5981i -4.5000-2.5981i -4.5000-2.5981i函数函数 fft2 和和 ifft2 函数函数 fft2

41、和和 ifft2 是对数据做二维快速傅立叶变换和逆傅是对数据做二维快速傅立叶变换和逆傅立叶变换。数据的二维傅立叶变换立叶变换。数据的二维傅立叶变换 fft2(X)相当于相当于 fft(fft(X)，即先对即先对 X 的列的列做一维傅立叶变换，然后对做一维傅立叶变换，然后对变变换结果的行换结果的行做一维傅立叶变换。做一维傅立叶变换。其调用格式为：其调用格式为：Y=fft2(X,mrows,ncols)傅立叶积分变换及其反变换傅立叶积分变换及其反变换 离散傅立叶变换离散傅立叶变换（DFT）作用于有限数据采样，作用于有限数据采样，傅立叶变换傅立叶变换作用于作用于连续函数连续函数。傅立叶变换调用格式为

42、：傅立叶变换调用格式为：F=fourier(f)：求表达式求表达式 f 的傅立叶变换。缺省的的傅立叶变换。缺省的自变量为自变量为 x，缺缺省的省的返回值返回值F是关于是关于 w 的函数。的函数。F=fourier(f,v)：返回函数返回函数 F 是关于是关于v 的的函数，而不是缺省的函数，而不是缺省的 w。F=fourier(f,u,v)：对关于对关于 u 的函数的函数 f 进行变换，进行变换，返回函数返回函数 F 是是 关关于于 v 的函数。的函数。傅立叶逆变换调用格式为：傅立叶逆变换调用格式为：f=ifourier(F)：符号表达式符号表达式F的傅立叶逆变换。缺省的的傅立叶逆变换。缺省的自

43、变量为自变量为 w，缺省缺省返回返回f是关于是关于 x 的函数。的函数。f =ifourier(F,u)：返回函数返回函数 f 是关于是关于u 的函数，而不是缺省的的函数，而不是缺省的 x的函数。的函数。f =ifourier(F,v,u)：对关于对关于 v 的函数的函数 F 进行变换，返回进行变换，返回关于关于 u 的的函数函数 f。第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 syms x t w u;fourier(exp(-x2)ans=exp(-1/4*w2)*pi(1/2)fourier(exp(-x2),u)ans=exp(-1/4*u2)*pi(1/2)fourier(

44、exp(-t2),t,u)ans=exp(-1/4*u2)*pi(1/2)ifourier(sym(fourier(f(x),x,w),w,x)ans=f(x)ifourier(exp(-w2)ans=1/2*exp(-1/4*x2)/pi(1/2)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算例：求阶跃信号的例：求阶跃信号的fourier变换变换nsyms t w;nut=sym(heaviside(t);%定义定义0时刻起跳的时刻起跳的单位阶跃函数单位阶跃函数nUT=fourier(ut)%实施实施Fourier变换，给出与理论一致

45、的结果变换，给出与理论一致的结果nUTS=simple(UT)nUt=ifourier(UT,w,t)%结果与原函数相等结果与原函数相等nUts=ifourier(UTS,w,t)UT=pi*dirac(w)-i/w%dirac(w)：单位冲激函数：单位冲激函数UTS=pi*dirac(w)-i/w Ut=heaviside(t)Uts=heaviside(t)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算【例例】用用fourier指令求矩形脉冲的指令求矩形脉冲的Fourier变换。变换。nsyms A t wnsyms tao positivenyt=sym(heaviside(t+t

46、ao/2)-heaviside(t-tao/2);n%定义幅度为定义幅度为1、宽度为、宽度为tao的矩形脉冲的矩形脉冲nYw=fourier(A*yt,t,w)nYws=simple(Yw)nYw=n2*A/w*sin(1/2*tao*w)nYt=ifourier(Yw,w,t)n nYt=nA*(heaviside(t+1/2*tao)-heaviside(t-1/2*tao)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例】求求 的的Fourier变换，在此变换，在此x是参数，是参数，t是是 时间变量。本例演示：时间变量。本例演示：fourier的缺省调用格式的使用要十分的缺省

47、调用格式的使用要十分谨慎；在被变换函数中包含多个符号变量的情况下，对被变谨慎；在被变换函数中包含多个符号变量的情况下，对被变换的自变量给予指明，可保证计算结果的正确换的自变量给予指明，可保证计算结果的正确。nsyms t x w;ft=exp(-(t-x)*sym(heaviside(t-x);nF1=simple(fourier(ft,t,w)%给出以给出以w为频率变量的正确结果为频率变量的正确结果nF2=simple(fourier(ft)%误把误把x当作时间变量当作时间变量nF3=simple(fourier(ft,t)%误把误把x当作时间变量，又把当作时间变量，又把t当作频当作频率变量

48、率变量 nF1=exp(-i*x*w)/(1+i*w)nF2=i*exp(-i*t*w)/(i+w)nF3=i*exp(-i*t2)/(i+t)()()0t xt xef tt x g.Laplace变换变换L=laplace(F)x sL=laplace(F,z)x z L=laplace(F,w,z)w z syms x s w z laplace(sin(x)ans=1/(s2+1)laplace(sin(x),w)ans=1/(w2+1)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 laplace(sin(x*w)ans=w/(s2+w2)laplace(sin(x*w),w,

49、z)ans=x/(z2+x2)第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算【例例】求求 的的Laplace变换。变换。nsyms t s;nsyms a b positivenDt=sym(dirac(t-a);nUt=sym(heaviside(t-b);nMt=Dt,Ut;exp(-a*t)*sin(b*t),t2*exp(-t);nMS=laplace(Mt,t,s)nMS=n exp(-s*a),exp(-s*b)/sn 1/b/(s+a)2/b2+1),2/(1+s)32()()sinatttau tbebtt e Fs=laplace(ft,t,s)t sft=ilapla

50、ce(Fs,s,t)s t第第2章章 矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算n【例例】验证验证Laplace时移性质：时移性质：nsyms t s;t0=sym(t0,positive);nft=sym(f(t-t0)*sym(heaviside(t-t0)nFS=laplace(ft,t,s),FS_t=ilaplace(FS,s,t)nft=nf(t-t0)*heaviside(t-t0)nFS=nexp(-s*t0)*laplace(f(t),t,s)nFS_t=nf(t-t0)*heaviside(t-t0)0000()()()0stL f t t U t teL f tt hZ变换