Matlab基础及其应用教程08课件.pptx

1、第8章符号计算【本章学习目标】掌握符号对象的定义方法以及符号对象的运算法则。掌握微积分的符号计算方法。掌握级数求和的方法以及将函数展开为泰勒级数的方法。掌握代数方程和微分方程符号求解的方法。灵活运用符号计算的可视化分析工具。8.1 符号对象及其运算1 1建立符号变量建立符号变量MATLAB提供了两个建立符号变量的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。（1）sym函数用于创建单个符号变量，基本调用格式为：x=sym(x)8.1.1 建立符号对象8.1 符号对象及其运算符号变量和数值变量的差别。a=sym(a);%定义符号变量a w=a3+3*a+10%符号运算w=a3+3*a+10 x=5

2、;%定义数值变量x w=x3+3*x+10%数值运算w=1508.1 符号对象及其运算1 1建立符号变量建立符号变量 建立符号变量时可以指定该变量所属集合：x=sym(x,set)set可取值为real、integer、positive 或rational。sym函数可以将常量、向量、矩阵转换为符号对象：x=sym(Num，flag)Num可以是常量、向量或矩阵，选项flag用于指定将浮点数转换为符号对象时所采用的方法，可取值有r、d、e和f，分别代表将Num转换为有理式、十进制数、带估计误差的有理式、与精确值对应的分式，默认为r。8.1.1 建立符号对象8.1 符号对象及其运算比较符号对象与

3、数值量在代数运算时的差别。p1=sym(pi);a=sym(4);%定义符号变量p1、a c1=cos(a+10)2)-sin(p1/4)%符号计算c1=cos(196)-2(1/2)/2 p2=pi;x=4;%定义数值变量p2、x c2=cos(x+10)2)-sin(p2/4)%数值计算c2=-0.36468.1 符号对象及其运算1 1建立符号变量建立符号变量（2）syms函数sym函数一次只能定义一个符号变量，syms函数一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms var1.varN其中，var1、.、varN为变量名。多个符号变量用空格分隔。例如，用syms函数定

4、义4个符号变量a、b、c、d，命令如下：syms a b c d8.1.1 建立符号对象8.1 符号对象及其运算2 2建立符号表达式建立符号表达式（1）使用已经定义的符号变量组成符号表达式。例如：syms x y;f=3*x2-5*y+2*x*y+6f=3*x2+2*y*x-5*y+6 F=cos(x2)-sin(2*x)=0F=cos(x2)-sin(2*x)=0（2）用sym函数将MATLAB的匿名函数转换为符号表达式 fexpr=sym(x)(sin(x)+cos(x)fexpr=cos(x)+sin(x)（3）用str2sym函数将字符串转换为符号表达式 fx=str2sym(cos(

5、x)+sin(x)8.1.1 建立符号对象8.1 符号对象及其运算3 3建立符号函数建立符号函数（1）使用已经定义的符号变量定义符号函数。syms x y;f(x,y)=3*x2-5*y+2*x*y+6f(x,y)=3*x2+2*y*x-5*y+6（2）用syms函数定义符号函数，然后构造该符号函数所对应的表达式。syms f(t)fxy(x,y)f(t)=t2+1f(t)=t2+1 f(x,y)=3*x2-5*y+2*x*y+6f(x,y)=3*x2+2*y*x-5*y+68.1.1 建立符号对象8.1 符号对象及其运算3 3建立符号函数建立符号函数（3）用symfun函数建立符号函数。f=

6、symfun(formula,inputs)formula为符号表达式或者由符号表达式构成的向量、矩阵，inputs指定符号函数f的自变量。例如：syms x y f=symfun(3*x2-5*y+2*x*y+6,x y)f(x,y)=3*x2+2*y*x-5*y+68.1.1 建立符号对象8.1 符号对象及其运算symvar函数用于获取符号表达式中的自变量。调用格式为symvar(s)symvar(s,n)返回s中的n个符号变量，默认返回s中的全部符号变量。8.1.2 符号表达式中自变量的确定 syms x a y z b;s1=3*x+y;s2=a*y+b;symvar(s1)ans=x

7、,y symvar(s1+s2)ans=a,b,x,y syms a b w y z f(a,b)=a*z+b*w,2;%定义符号函数 symvar(f,3)ans=a,b,w ff=a*z+b*w;%定义符号表达式 symvar(ff,3)ans=w,z,b h=sym(3*b/2,(2*x+1)/3;a/x+b/y,3*x+4);symvar(h,1)ans=x8.1 符号对象及其运算1符号对象的四则运算8.1.3 符号对象的算术运算 x=sym(x);f=2*x2+3*x-5;g=x2-x+7;fsym=f+g%或 fsym=plus(f,g)fsym=3*x2+2*x+2 gsym=f

8、g gsym=(2*x2+3*x-5)(x2-x+7)符号矩阵的算术运算规则与数值矩阵的算术运算规则相同，+、-以及点运算（.*、.、./、.）分别作用于矩阵的每一个元素，*、/、则是矩阵运算。8.1 符号对象及其运算2提取符号表达式的分子和分母numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s)n与d中分别用于返回符号表达式s的分子和分母。8.1.3 符号对象的算术运算 n,d=numden(sym(10/33)n=10d=33 syms a b x n,d=numden(a*x2/(b+x)n=a*x2d=b+x对于符号矩阵，numden返回分子矩阵

9、n，分母矩阵d。8.1 符号对象及其运算3 3符号表达式的因式分解、展开与合并符号表达式的因式分解、展开与合并（1）factor函数用于分解因式。基本调用格式为：factor(s)若参数s是一个整数，函数返回s的所有素数因子；若s是一个符号对象，函数返回由s的所有素数因子或所有因式构成的向量。8.1.3 符号对象的算术运算 F=factor(823429252)%对整数分解因子F=2 2 59 283 12329 F=factor(sym(823429252)%对符号常量分解因子F=2,2,59,283,12329 syms x y;s1=x3-y3;factor(s1)%对s1分解因式ans

10、=x-y,x2+x*y+y28.1 符号对象及其运算3 3符号表达式的因式分解、展开与合并符号表达式的因式分解、展开与合并（2）expand函数:用于将符号表达式展开成多项式。expand(S,Name,Value)S是符号表达式或符号矩阵；选项Name用于设置展开方式，Value为Name的值，可取值有true和false，默认为false。8.1.3 符号对象的算术运算 syms x y s2=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s2)%对s2展开ans=7*x4-13*x2*y2-24*y4 expand(cos(x+y)ans=cos(x)*cos(y)-si

11、n(x)*sin(y)expand(cos(x+y),ArithmeticOnly,true)ans=cos(x+y)8.1 符号对象及其运算3 3符号表达式的因式分解、展开与合并符号表达式的因式分解、展开与合并（3）collect函数:用于合并同类项。collect(P,v)以v为自变量，对符号对象P按v合并同类项，缺省时，以默认方式确定符号表达式的自变量。8.1.3 符号对象的算术运算 syms x y s3=(x+2*y)*(x2+y2+1)collect(s3)%默认以x为自变量，对s3按x合并同类项ans=x3+(2*y)*x2+(y2+1)*x+2*y*(y2+1)collect(

12、s3,y)%以为自变量，对s3按y合并同类项ans=2*y3+x*y2+(2*x2+2)*y+x*(x2+1)8.1 符号对象及其运算4 4符号表达式系数的提取符号表达式系数的提取coeffs函数提取符号表达式中的系数。调用格式为C=coeffs(p)C,T=coeffs(p,var)按升幂顺序返回符号表达式p各项的系数；第种格式指定以var为自变量。8.1.3 符号对象的算术运算 syms x y s=5*x*y3+3*x2*y2+2*y+1;coeffs(s)%求各项系数，按所有变量的升幂排列ans=1,2,3,5 coeffs(s,x)%按x的升幂排列 2*y+1,5*y3,3*y2 c

13、oeffs(s,y)%按y的升幂排列，返回变量y的系数 1,2,3*x2,5*x coeffs(s,x,y)ans=1,2,5,38.1 符号对象及其运算5 5符号表达式的化符号表达式的化简简simplify(s,Name,Value)对s进行代数化简。如果s是一个符号向量或符号矩阵，则化简s的每一个元素。8.1.3 符号对象的算术运算 syms x;s=(x2+5*x+6)/(x+2);simplify(s)ans=x+3 s=2*cos(x)2-sin(x)2,sqrt(16);simplify(s)ans=2-3*sin(x)2,48.1 符号对象及其运算6 6符号对象与数之间的转符号对

14、象与数之间的转换换（1）符号对象转换为基本数据类型8.1.3 符号对象的算术运算 a=sym(2*sqrt(2);b=sym(1-sqrt(3)2);T=a,b;a*b,b/a;R1=double(T)%R1为数值矩阵R1=2.8284 0.5359 1.5157 0.1895 R2=vpa(T,10)%R2为符号矩阵R2=2.828427125,0.5358983849 1.515749528,0.1894686918.1 符号对象及其运算6 6符号对象与数之间的转符号对象与数之间的转换换（2）符号多项式与多项式系数向量的转换函数sym2poly(p)用于将符号多项式p转换为多项式系数向量函

15、数poly2sym(c,var)用于将多项式系数向量c转换为符号多项式8.1.3 符号对象的算术运算 syms x y;u=sym2poly(x3-2*x-5)u=1 0 -2 -5 v=poly2sym(u,y)v=y3-2*y 5 v=poly2sym(u)v=x3-2*x 58.1 符号对象及其运算7 7指定符号对象的值指定符号对象的值域域在进行符号对象的运算前，可用assume函数设置符号对象的值域。assume(condition)assume(expr,set)第1种格式指定变量满足条件condition，第2种格式指定表达式expr属于集合set，set的可取值有integer、

16、rational、real和positive，分别表示整数、有理数、实数和正数。8.1.3 符号对象的算术运算 syms x assume(x abs(x)ans=-x assume(x,positive)abs(x)ans=x8.1 符号对象及其运算1 1关系运关系运算算6种关系运算符、=、=、=和对应的关系运算函数lt、le、gt、ge、eq、ne也可用于符号对象。8.1.4 符号对象的关系运算 syms x y a b c d;A=a*x,x*y;y/b,y3;B=a,b;c,d;x+y=100ans=x+y A=B*2ans=a*x=2*a,x*y=2*b y/b=2*c,y3=2*d

17、8.1 符号对象及其运算2 2 piecewisepiecewise函数函数用于定义分段函数的符号表达式。调用格式如下：pw=piecewise(cond1,val1,cond2,val2,.,condn,valn)cond1、cond2、.表示条件，val1、val2、.表示值。当条件cond1成立时，pw的值是val1；当条件cond2成立时，pw的值是val2。例如8.1.4 符号对象的关系运算 syms x y=piecewise(x0,sqrt(x),x0,x*x,x=0,1)y=piecewise(0 x,x(1/2),x syms x isequaln(abs(x),x)ans=

18、logical 0 assume(x 0)isequaln(abs(x),sqrt(x*x),x)ans=logical 18.1 符号对象及其运算1基本逻辑运算4个逻辑运算函数and（与）、or（或）、xor（异或）、not（非）以及3个逻辑运算符&（与）、|（或）、（非）也可用于符号对象。例如8.1.5 符号对象的逻辑运算 syms x y=x0&x0,x10)y=0 x&x syms a b c fold(and,ab+c,ba+c,ca+b)ans=a b+c&b a+c&c syms x h t limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0)%极限1ans=cos(x)li

19、mit(1+t/x)x,inf)%极限2ans=exp(t)limit(x*(sqrt(x2+1)-x),x,inf,left)%极限3ans=1/2 limit(cot(x)(1/log(x),x,0,right)%极限4ans=exp(-1)8.2 符号微积分diff函数用于对符号表达式和符号函数求导，调用格式如下。diff(F,var,n)F是符号表达式或符号函数选项var指定自变量，缺省时，按默认规则确定自变量；选项n指定求n阶导数，默认为1，即求一阶导数。对多个自变量的求导，可以使用以下格式：diff(F,var1,.,varN)8.2.2 符号导数8.2 符号微积分【例8.28.2

20、】求下列函数的导数。%求(1)syms x;diff(cos(x*x)ans=-2*x*sin(x2)diff(cos(x*x),x,2)%求对x的二阶导数ans=-2*sin(x2)-4*x2*cos(x2)diff(cos(x*x),x,3)%求对x的三阶导数ans=8*x3*sin(x2)-12*x*cos(x2)%求(2)syms a b t fx=a*(t-sin(t);fy=b*(1-cos(t);diff(fy,t)/diff(fx,t)%求对x的一阶导数 ans=-(b*sin(t)/(a*(cos(t)-1)%求(3)syms x y diff(x6-3*y4+2*x2*y2

21、,x)%求对x的偏导数ans=6*x5+4*x*y2 diff(x6-3*y4+2*x2*y2,y)%求对y的偏导数ans=4*x2*y-12*y3 diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x,y)ans=8*x*y8.2 符号微积分（1）求不定积分int(expr,v)以v为自变量，对符号表达式expr求不定积分。（2）求定积分int(expr,v,a,b)或 int(expr,v,a,b)以v为自变量，对符号表达式expr求定积分。a、b分别表示定积分的下限和上限。当表达式s关于变量x在闭区间a，b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a、

22、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。8.2.3 符号积分8.2 符号微积分【例8.38.3】分别求下列积分。syms x a b%求(1)f=1/(1+x2);f1=int(1/(1+x2)%求不定积分f1=atan(x)%求(2)f2=int(1/(1+x2),a,b)%求定积分f2=atan(b)-atan(a)%求(3)f3=int(1/(1+x2),1,2)%求定积分f3=atan(2)-pi/4 eval(f3)%计算积分值ans=0.32188.2 符号微积分 syms x y f1=int(x+y,x,y2/2,12-y)f1=-(y-4)*(y+6)*(y2+2*y+

23、24)/8 ff1=int(f1,y,-6,4)ff1=1750/3 f2=int(x+y,x,y2/2,4-y)f2=-(y-2)*(y+4)*(y2+2*y+8)/8 ff2=int(f2,y,-4,2)ff2=198/5 f=ff1-ff2f=8156/158.2 符号微积分【例8.5】求 ，其中D是由xy平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围封闭区域，如图所示。syms r x theta f=int(int(int(r*r,x,r*r/2,5),r,0,sqrt(10),theta,0,2*pi)f=(40*pi*10(1/2)/3D22dxdydzzy8.3 级

24、数函数symsum，用于无穷级数求和，其调用格式为：symsum(f,v,a,b)其中，f表示一个级数的通项。选项v指定自变量，v省略时，按默认规则确定自变量。选项a和b指定求和的下限和上限，缺省时，symsum函数返回不定积分。8.3.1 级数符号求和8.3 级 数【例8.68.6】求下列级数之和。syms n k x;%求(1)s=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)s=log(2)eval(s)ans=0.6931%求(2),factorial是求阶乘的函数 symsum(xk/factorial(k),k,1,inf)ans=exp(x)-18.3 级 数taylor函数将

25、函数展开为幂级数，调用格式为taylor(f,v,a,Name,Value)a指定将函数f在自变量v=a处展开，a默认为0。v缺省时，按默认规则确定自变量。选项Name和Value成对使用，用于设置运算过程的属性。Name有3个可取值：ExpansionPoint：指定展开点，对应值为标量或向量。展开点默认为0。Order：指定截断阶，对应值为一个正整数。默认截断阶为6，即展开式的最高阶为5。OrderMode：指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为Absolute 或Relative，默认为Absolute。8.3.2 函数的泰勒级数8.3 级 数【例8.7】求函数在指定点的泰勒级数展开式。

26、（1）求 在x=0处的泰勒级数展开式。（2）将 在x=1处的5阶展开式。syms x%求(1)taylor(log(x+sqrt(x*x+1)ans=(3*x5)/40-x3/6+x%求(2)taylor(1+2*x+3*xx)/(1-2*x-3*xx),x,1,Order,5)ans=(5*x)/8-(13*(x-1)2)/32+(29*(x-1)3)/128-(45*(x-1)4)/512-17/82ln(1)xx221231 23xxxx8.4 符号方程求解求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式如下。Y=solve(s,v,Name,Value)Y=solve(

27、s1,s2,sn,v1,v2,vn)y1,y2,.,yn=solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)第1种格式求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。v缺省时，按默认规则确定自变量；第2、3种格式求解符号表达式s1，s2，sn组成的代数方程组，自变量分别为v1，v2，vn。选项Name和Value成对使用，用于设置求解过程的参数.8.4.1 符号代数方程求解8.4 符号方程求解【例8.88.8】求解下列方程。syms x%解方程（1）y=solve(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1,x)y=3%解方程（2）sx=solve(sin(x)=1,x)sx=pi/2要得到方程（2）的完

28、全解，则使用以下命令：solx,params,conds=solve(sin(x)=1,x,ReturnConditions,true)solx=pi/2+2*pi*kparams=kconds=in(k,integer)8.4 符号方程求解【例8.98.9】求下列方程组的解。syms x y;%解方程组（1）sx,sy=solve(x2+x*y+y=3,x2-4*x+3=0,x,y)sx=1 3sy=1-3/2%解方程组（2）syms u v solv,solu=solve(2*u2+v2=0,u-v=1,v,u)solv=-(2(1/2)*1i)/3-2/3 (2(1/2)*1i)/3-2

29、/3solu=1/3-(2(1/2)*1i)/3(2(1/2)*1i)/3+1/38.4 符号方程求解8.4.2 符号常微分方程求解结果中的C1、C2、代表任意常数。8.4 符号方程求解【例8.108.10】求下列微分方程的解。%解方程(1)syms y(t)y1=dsolve(diff(y,t)=(t2+y2)/t2/2)y1=t-t*(1/(C3+log(t)/2)-1)%解方程(2)syms y(x)a y2=dsolve(diff(y,x)=a*y,y(0)=5)y2=5*exp(a*x)8.4 符号方程求解【例8.108.10】求下列微分方程的解。%解方程(3)syms f(x)y3

30、=dsolve(x*diff(y,x,2)-3*diff(y,x)=x2,y(1)=0,y(5)=0)y3=(31*x4)/468-x3/3+125/468%解方程组(4)syms x(t)y(t)x,y=dsolve(diff(x,t)=4*x-2*y,diff(y,t)=2*x-y)x=C11/2+2*C10*exp(3*t)y=C11+C10*exp(3*t)8.5 符号计算的可视化分析是一个可视化符号计算器，提供了一些常用的符号运算工具在命令行窗口输入funtool命令，会打开一个funtool计算器窗口和两个图形窗口。funtool计算器窗口上半部面板中的f和g编辑框用于编辑参与运算的符号表达式，x编辑框用于设置符号表达式f和g的自变量的值域，a编辑框用于编辑表达式f的常因子。下半部的控制面板中的按钮用于符号表达式f的转换和多种符号计算。1funtool8.5 符号计算的可视化分析用于将自变量为x的符号表达式f展开为泰勒级数，并以图形化的方式展现计算时的逼近过程。在命令行窗口输入taylortool命令，会打开一个Taylor Tool窗口窗口下部的编辑器用于输入原函数、修改计算参数、自变量的值域。2taylortool