[研究生入学考试]研究生翻译第1章课件.ppt
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1、课程名称:F数值分析F或计算方法第一章第一章 数值计算中的误差分析数值计算中的误差分析(绪论)(绪论)内容提要内容提要 1.1 1.1 计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点 1.2 1.2 误差与误差估计误差与误差估计(误差知识误差知识)1.3 1.3 选用算法时应遵循的原则选用算法时应遵循的原则1.11.1计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点F科学与工程计算过程:科学与工程计算过程:实际问题实际问题数学模型数学模型数值问题数值问题算法算法程序程序调试调试结果结果建立数学模型:建立数学模型:辨析实际问题其中的主要矛盾和次要矛盾辨析实际问题其中的主要矛盾和次要矛盾,并在合理假设的条件下,
2、运用各种数学理,并在合理假设的条件下,运用各种数学理论、工具和方法,建立起问题中不同量之间论、工具和方法,建立起问题中不同量之间的联系的联系 ,即得到数学模型。,即得到数学模型。计算机用途分类:计算机用途分类:科学计算、数据处理科学计算、数据处理F提出数值问题提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据(问题数值问题是指有限个输入数据(问题的自变量、原始数据)与有限个输出数据的自变量、原始数据)与有限个输出数据(待求解数据)之间函数关系的一个明确(待求解数据)之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所无歧义的描述。这正是数值分析所研究的研究的对象对象。数值问题举例数值问题举例 是用一阶常
3、微分方程初值问题表示的是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型,要求无穷多个输出,因而它不数学模型,要求无穷多个输出,因而它不是数值问题是数值问题 。但当我们要求出有限个点处。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时,便成为一数值问题。函数值的近似值时,便成为一数值问题。02010yyxyxdxdy)(,F设计高效可靠的算法设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法题近似解的方法算法。算法。算法:算法:指把对数学问题的解法归结为只有指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算,并确定运算次序加、减、乘、除等基本运算,并确
4、定运算次序的完整而准确的描述。的完整而准确的描述。算法分类算法分类:从算法执行所花费的时间角度来讲,若从算法执行所花费的时间角度来讲,若算术运算占绝大多数时间则称其为算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算数值型算法法,否则为,否则为非数值型算法非数值型算法。本课程介绍数值型串行算法。(其它类本课程介绍数值型串行算法。(其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。)型算法参阅数据结构、并行算法等课程。)算法的可靠性算法的可靠性:算法的可靠性包括算法的收:算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是这些是数值分析研究的第二个任务。数值分析研究的第
5、二个任务。一个算法在保证可靠的大前提下再评价其一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。优劣才是有价值的。算法的优劣评价算法的优劣评价:可靠算法的优劣,应该考:可靠算法的优劣,应该考虑其虑其时间复杂度时间复杂度(计算机运行时间)、(计算机运行时间)、空间空间复杂度复杂度(占据计算机存储空间的多少)以及(占据计算机存储空间的多少)以及逻辑复杂度逻辑复杂度(影响程序开发的周期以及维护(影响程序开发的周期以及维护)。)。这是数值分析研究的第三个任务这是数值分析研究的第三个任务。计算方法的特点F严密的科学性、操作的实践性、高度抽严密的科学性、操作的实践性、高度抽象性、应用的广泛性、提供算法
6、、算法象性、应用的广泛性、提供算法、算法分析、兼顾计算机的特点:有效数字(分析、兼顾计算机的特点:有效数字(精度)、运算量、存储量等。精度)、运算量、存储量等。算法应用状态算法应用状态 计算方法研究对象以及解决问题方法的计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性,著名流行软件如广泛适用性,著名流行软件如MapleMaple、MatlabMatlab、MathematicaMathematica等已将其绝大多数内容设计成函等已将其绝大多数内容设计成函数,简单调用之后便可以得到运行结果。数,简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性,但由于实际问题的具体特征、复杂性,以及算
7、法自身的适用范围决定了应用中必须以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法,因选择、设计适合于自己特定问题的算法,因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。科学与工程计算过程小结科学与工程计算过程小结提出实际问题提出实际问题建立数学模型建立数学模型提出数值问题提出数值问题设计可靠、高效的算法设计可靠、高效的算法程序设计、上机实践计算结果程序设计、上机实践计算结果计算结果的可视化计算结果的可视化 在具体问题的求解过程中,上述步骤形成一个在具体问题的求解过程中,上述步骤形成一个循环。循环。科学计算(数值模拟)已经被公认为与理论分
8、科学计算(数值模拟)已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。鉴于实际问题的复杂性,通常将其具体地鉴于实际问题的复杂性,通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究,本课程主要涉分解为一系列子问题进行研究,本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法:及如下几个方面问题的求解算法:函数的插值和曲线拟合函数的插值和曲线拟合数值积分和数值微分数值积分和数值微分线性方程组求解、非线性方程(组)求解线性方程组求解、非线性方程(组)求解代数特征值问题代数特征值问题常微分方程数值解法常微分方程数值解法 本课程主要内容本课程主要内容1.2 1.2 误
9、差知识误差知识(误差与数值计算中的误差估计)(误差与数值计算中的误差估计)内容提要:内容提要:1.1.误差的来源及其分类误差的来源及其分类2.2.误差的度量(误差与有效数字)误差的度量(误差与有效数字)3.3.数值计算的误差估计数值计算的误差估计一、误差来源及其分类一、误差来源及其分类1)1)模型误差(描述误差)模型误差(描述误差)反映实际问题有关量之间的计算公式(反映实际问题有关量之间的计算公式(数学模型)通常是近似的。数学模型)通常是近似的。2 2)观测误差)观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。测得到的。221rmmGF 在计算方法中不研究这
10、两类误差,总是假在计算方法中不研究这两类误差,总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。3 3)截断误差(方法误差)截断误差(方法误差)数值方法精确解与待求解模型的理论分数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程,而使得算法必须在有限步内执行结限过程,而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。束而导致的。neeee,!n1!21!111,!21!111n例如:例如:4 4)舍入误差)舍入误差 在实现数值方法的过程中,由于计算机表示在实现数值方法的过程中
11、,由于计算机表示浮点数采用的是有限字长,因而仅能够区分有限浮点数采用的是有限字长,因而仅能够区分有限个信息,准确表示某些数,不能准确表示所有实个信息,准确表示某些数,不能准确表示所有实数,这样在计算机中表示的原始输入数据、中间数,这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差,称计算数据、以及最终输出结果必然产生误差,称此类误差为舍入误差。此类误差为舍入误差。如利用计算机计算如利用计算机计算e e的近似值的近似值e en n时,实际上时,实际上得不到得不到e en n的精确值,只能得到的精确值,只能得到e en n的近似的近似e e*;这样;这样e e*作为作为e
12、 e的近似包含有的近似包含有舍入误差舍入误差和和截断误差截断误差两部两部分:分:)()(nn*eeeeee二、误差的度量二、误差的度量1)绝对误差2)相对误差3)有效数字4)度量间的关系1.绝对误差F绝对误差定义:准确值绝对误差定义:准确值 x 减近似值减近似值 x*)(*xExx 绝对误差限:绝对误差限:书上有错!改正2.2.相对误差相对误差RemarkRemark:绝对误差限虽然能够刻划对同一真值绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏,但它不能刻划对不同真值近似不同近似的好坏,但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏程度的好坏 。有效数:当有效数:当x*为为四舍五入得到的近似四舍五入得
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