[数学]归纳推理课件.ppt

1、 推理，是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。日常生活、学习中，我们经常需要进行推理。例如：人们看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时,就知道天要下雨了 古有谚语:八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯 一个人看见一群乌鸦是黑的，于是断言“天下乌鸦一般黑”。新课引入新课引入问题情境问题情境1、对自然数、对自然数n，考查，考查112nnn0123456112nn11111331172341都是素数都是素数结论：结论：对所有的自然数对所有的自然数n，都是质数都是质数.112nn2、前提前提：矩形的对角线的平方等于其长和宽的平方和：矩形的对角线的平方等于其长

2、和宽的平方和.结论结论：长方体的对角线的平方等于其长、宽、高的平：长方体的对角线的平方等于其长、宽、高的平 方和方和.3、前提前提：所有的树都是植物，：所有的树都是植物，梧桐是树梧桐是树.问题问题1是是归纳推理归纳推理；问题问题2是是类比推理类比推理；问题问题3是是演绎推理演绎推理；结论结论：梧桐是植物：梧桐是植物.归 纳 推 理我一定会回来的它肯定抓不到羊！小宝的爸爸有4个儿子，大儿子叫大宝，二儿子叫二宝，三儿子叫三宝，那小儿子叫什么名字呢？4=2+263+3，83+5，105+5,125+7，147+7，165+11,18=7+11,100029+971 1002=139+863,前提:“

3、任何一个大于任何一个大于2 2的偶数都可的偶数都可以表示为两个素数之和以表示为两个素数之和”-歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想结论:归纳推理归纳推理著名著名猜想猜想哥德巴赫哥德巴赫，德国数学家。，德国数学家。17421742年年6 6月月7 7日，他在日，他在写给著名数学家欧拉写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了的一封信中，提出了两个大胆的猜想：两个大胆的猜想：1 1、任何不小于、任何不小于6 6的偶数，的偶数，都是两个奇质数之和：都是两个奇质数之和：2 2、任何不小于、任何不小于9 9的奇数，的奇数，都是都是3 3个奇质数之和个奇质数之和.这就是数学史上这就是数学史上著名的著名的“哥德巴赫猜想哥德巴

4、赫猜想”.哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于19661966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理 .“任何充分大任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这通常都简称这个结果为大偶数可表示为个结果为大偶数可表示为 “1+2 1+2”的形式的形式.例例1 蛇是用肺呼吸的蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟也是用肺呼吸的，海龟也是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蜥蜴是

5、用肺呼吸的，蛇蛇、鳄鱼鳄鱼、海龟海龟、蜥蜴都是爬行动物蜥蜴都是爬行动物.例例2 三角形的内角和是三角形的内角和是 ,凸四边形的内角和是凸四边形的内角和是 ,凸五边形的内角和是凸五边形的内角和是 180360540180)2(n例题解析：例题解析：由此我们猜想由此我们猜想:凸边形的内角和是凸边形的内角和是 .所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的.特殊特殊一般一般以上的推理过程中，有何共同之处？根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性。这种推理方式，我们称之为归纳推理。共同之处在于：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。思考：推理是

6、人们对事物属性的推断，那么这种判断是否一定是正确的？费马猜想 法国数学家费马观察到：123422222152117212572165537于是他用归纳推理提出猜想：形如的数都是质数.这就是著名的费马猜想.22 1n(nN N)半个世纪之后，善于计算的欧拉发现第5个费马数 不是质数，从而推翻了费马猜想.5221429467297641 6700417 归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定

7、成立归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：试验、观察概括、推广猜测一般性结论例例1、由下图可以发现什么结论？、由下图可以发现什么结论？1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，由此猜想由此猜想:前前n个连续的奇数的和个连续的奇数的和等于等于n的平方的平方,即即1+3+5+(2n-1)=n2 例例2 已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa解：分别把解：分别把n=1,2,3,4代入代入 得得11nnnaaa23451111,2345aaaa归纳归纳:1nan 取倒数得取倒

8、数得1111 nnaa例例3 在印度北部的佛教圣地贝拿勒斯的圣庙里有三根木桩，在印度北部的佛教圣地贝拿勒斯的圣庙里有三根木桩，其中一根木桩上套有其中一根木桩上套有64个金属做的圆盘个金属做的圆盘,圆盘的尺寸由上到圆盘的尺寸由上到下一个比一个大，这就是所谓下一个比一个大，这就是所谓“梵塔梵塔”.现在有一位高僧正现在有一位高僧正在把这些圆盘在三根木桩上移来移去在把这些圆盘在三根木桩上移来移去,一次只能够移一个，一次只能够移一个，而且不管什么时候，较大的圆盘都必须放在较小的圆盘的下而且不管什么时候，较大的圆盘都必须放在较小的圆盘的下面面,当他把当他把64个圆盘从原来的木桩上移到另一根木桩上的时个圆盘

9、从原来的木桩上移到另一根木桩上的时候，就是候，就是“世界末日世界末日”到了到了,那一天，宇宙将在一声巨大的那一天，宇宙将在一声巨大的霹雳声中毁灭，梵塔、宇宙、高僧以及芸芸众生都将同归于霹雳声中毁灭，梵塔、宇宙、高僧以及芸芸众生都将同归于尽尽.有三根针和套在一根针上的若干金属片有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规按下列规则则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针

10、号针,最少需要最少需要移动多少次移动多少次?123123(1)1f n=1时时,123(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 123(3)7f n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)fn=3时时,123(3)f 15 n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff 1(3)f(4)f(4)f 15n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)7f(2)1(2)ff 1,1()2(1)1,2nf nf

11、 nn (3)1(3)ff 归纳归纳:()21nf n 1、通项公式的归纳、通项公式的归纳2、递推公式的归纳、递推公式的归纳126464a181018次）(103315360006060243657按按1秒钟搬动一次，而且整年整月都不停息，秒钟搬动一次，而且整年整月都不停息，1年可搬：年可搬：所以，搬运的时间大约需要：所以，搬运的时间大约需要：亿年）年）（6000(106)103()1018(11718例例5(2005年广东年广东)设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3),其中有其中有且仅有两条直线互相平行且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一任意三条直线不过同一点点.若用若用f(n)

12、表示这表示这n条直线交点的个数条直线交点的个数,f(4)=,当当n4时时,f(n)=.(用用n表示表示)5(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5)(4)4ff()(1)1f nf nn累加得累加得:()(2)234(1)f nfn1(2)(1)2nnf(n)=f(n-1)+n-1例6:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)顶点数顶点数(V)棱数棱数(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98

13、 8多面体多面体面数面数(F)顶点数顶点数(V)棱数棱数(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)顶点数顶点数(V)棱数棱数(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2=2猜想欧拉公式 归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，或者说是由个别事实概括出一般结论的推理过程。归纳推理的步骤：（1）通过观察个别情况发现某些共同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。小结 注意：归纳推理的结论不一定正确。成语成语“一叶知秋一叶知秋”总结：总结：归纳推理归纳推理