[工学]CH5-控制系统的稳定性分析课件.ppt

1、 稳定性是线性控制系统中最重要的问题第五章 控制系统的稳定性分析本章目录4系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念4系统的稳定条件系统的稳定条件4代数稳定判据代数稳定判据4乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据4应用乃奎斯特稳定判据分析延时系统的稳定性应用乃奎斯特稳定判据分析延时系统的稳定性4对数幅频特性对数幅频特性(利用利用Bode图图)的稳定性判据的稳定性判据4控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。稳定的概念Mbcoodfabcde条件稳定系统b、c允许偏

2、差范围d、e规定偏差边界稳定系统不稳定系统 稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。至于机械工程系统往往用激振或外力的方法施以强迫振动或运动，而造成系统共振或偏离平衡位置，这并不是控制理论所要讨论的稳定性。说

3、明：)不稳定现象的存在是由于反馈作用。)稳定性是指自由响应的收敛性。系统稳定的充要条件t tnt txit=0 txot 00iooxx-sG1 sG2 sXi sXo sN-sG1 sG2 sXi sXo sN sNbsbsbsbsXasasasammmmonnnn 11101110 nnnnmmmmoasasasabsbsbsbsGsGsGsNsX 111011102121 01110 sXasasasaonnnn 方程撤除扰动，即得到齐次 0 1110txatxatxatxaononnono条件：拉氏反变换并代入初始 0sincos11齐次方程的解应趋于时，系统稳定，当按照稳定性定义，如

4、果 ttFtEeeDtxkinkjjjjjttioji 00 ji ，件是：系统稳定的充分必要条 统是稳定的。的系应最终衰减到零，这样均为负值，则零输入响实部，若系统所有特征根的因此对于线性定常系统特征根的实部，对应闭环系统传递函数，ji 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。可见，稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否并不与初始偏差的大小有关。控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发

5、散的。上述结论对于任何初始状态（只要不超出线性工作范围）都成立，且当特征根具有相同值时，也成立。控制系统稳定的充分必要条件是：n系统特征方程式的根全部具有负实部。n闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。显然，稳定性与零点无关。4roots(den)；4pzmap(sys)；4pole(sys)应用MATLAB判断系统稳定性系统稳定的判别方法：1)特征方程根的分布；2)开环传递函数-闭环系统的稳定性；代数稳定判据 为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。4劳斯判据4Hurwitz判据一、劳斯判

6、据稳定的必要条件：特征方程中各项系数0稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项0 0asasasasasDn1n2n21n1n0 系统特征方程为：系统特征方程为：劳斯阵列如下：0123213n3212n75311n6420nssscccsbbbsaaaasaaaas 一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。130211aaaaab 150412aaaaab 170613aaaaab 121311bbaabc 131512bbaabc 0asasasasasDn1n2n21n1n0 01234

7、 4 2 3 3 1 sssss 判断系统稳定性判断系统稳定性、系统特征方程为：、系统特征方程为：例例 03s4s3s2ssD1234 解：满足必要条件 13-23 系统不稳定。系统不稳定。个右根，个右根，有有次，次，符号改变符号改变劳斯阵列第一列劳斯阵列第一列2sD20 K必要条件：-sXi sXo21sssK例K为何值时，系统稳定 K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio 解：解：02323 KssssD系统特征方程为：0123ssKs2s 3 1 3K6 K60 K 系统稳定的充要条件：0K0K60 有：有：符号符号满足劳斯阵列第一列满足劳斯阵列第一列 低阶系统的劳斯稳定判据

8、 q 二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：q 三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：s3a0a2s2a1a3s1 0s0a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30 q 例题例：系统方框图如下，试确定开环增益K为何值时，系统稳定。s1)5)(1(ssKXi(s)Xo(s)解解：系统闭环传递函数为：KsssKKsssKs56)5)(1()(23由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：056)(23Kss

9、ssD0560KK即：当0K30时系统稳定。劳斯判据0,0,0210aaa421230321)4,3,2,1,0(0aaaaaaaiai3021)3,2,1,0(0aaaaiai4劳斯列阵中第一列所有项均为正号二阶系统：三阶系统：四阶系统:例如：(1)(2)(3)0565053652323sssss一项为负，不稳定缺项，不稳定023822234ssss满足必要条件，可能稳定1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零劳斯判据的两种特殊情况：01234sssss 3 3 1 1 1 判断系统稳定性判断系统稳定性：例例 01s3ss3ssD4234 33 第一列系数符号改变两次，系

10、统有两个右根，所以，系统不稳定。101 判断系统稳定性判断系统稳定性：例例 02ss2ssD523 0123ssss 2 2 1 1 02第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。2,02s122 s223sjssssS 行为0，上下两行的符号相同，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。1s由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。2、某一行所有元素均为零 表明在 S 平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，S显然，这些根的数目一定是

11、偶数。016s16s20s12s8s2ssD623456 ：例例0123456sssssss 16 12 2 16 12 2 16 20 8 1 辅助多项式辅助多项式8624 ss 1 331 第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程辅助方程08s6s24 3 8 8ss1243 求导：ss343：除以 04s2s22 2js2js4.32.1 1 6 80 0 系统临界稳定系统临界稳定 用劳斯判据判断系统的相对稳定性 系统相对稳定性可通过极点距虚轴的距离来表征。为了使系统具有良好的动态响应，常希望极点与虚轴具有一定的距离。为此，可将原 s 平面虚轴向左平移期

12、望的最小距离a，即用 sa 替换原特征方程中的s，得到新的特征方程，再利用劳斯判据即可判断系统的特征根是否位于垂线s=a的左边。解解：令ss-1：0101836)(231KssssD要使D1(s)的特征根实部均小于0，即D(s)的特征根实部均小于1，须：)1018(1801018KK91495 K例：已知018189)(23KssssD若要求特征根的实部均小于-1，判断K的取值范围。乃奎斯特稳定判据是一种几何判据。以后的稳定性，可以说闭环统的乃式图来判断系统稳定判据是利用开环系Nyquist该判据的优点：n 当系统的传递函数无法直接写出时，可用实验方当系统的传递函数无法直接写出时，可用实验方法

13、获得系统的各个环节然后是整个系统的开环频法获得系统的各个环节然后是整个系统的开环频率特性曲线，即可分析系统闭环以后的稳定性；率特性曲线，即可分析系统闭环以后的稳定性；n 应用乃氏判据可以解决代数判据不能解决的诸应用乃氏判据可以解决代数判据不能解决的诸如包含延迟环节的系统稳定性问题。如包含延迟环节的系统稳定性问题。n 乃氏判据还能指出系统的稳定储备，即系统相乃氏判据还能指出系统的稳定储备，即系统相对稳定性定量指标，以及进一步提高和改善系对稳定性定量指标，以及进一步提高和改善系统动态性能统动态性能(包括稳定性包括稳定性)的途径。的途径。sXi sXo sG sH-sHsG1sGsXsXio 闭环传

14、递函数：闭环传递函数：是稳定的。平面内，则系统半征方程的根）均位于左所有极点（闭环特但如果闭环传递函数的平面，的极点可能位于右半递函数平面。虽开环传半全部根，都必须位于左的为了保证系统稳定，SSsHsGSsHsG01 利用开环频率特性分利用开环频率特性分析闭环系统的稳定性析闭环系统的稳定性 判据。联系起来的面内的零点数和极点数平在右半特征多项式与闭环开环频率特性一种将乃奎斯特稳定判据正是ssHsGjHjG 1 。都是开环频率特性曲线通常我们画的乃奎斯特 jHjG 1、Nyquist稳定判据 sXi sXo sG-sGsD 1 引进新函数 sDsNasasasabsbsbsbsGKKnnnnmm

15、mm 11101110 sDsNKK 1 sDsNsDKKK sDsDKB 平面个根位于左半个根在原点上，其余有平面个根位于右半假设特征方程有sqpnqsp,sDsDsGsDKB 1 由 jDjDjGjsKBargarg1arg0 从且当令 2arg001 njDqpjDKK 根据米哈伊洛夫定理中若开环稳定，即 2arg00 njDqpjDBB 中这时，若闭环稳定，即 01arg jG 0jG1ReIm00jG1ReIm0 来判断闭环稳定性。的幅角增量反过来，可根据 jG 1 2qp 2qp2n2njG1arg ，个在原点有，个在右S平面有 若开环2根根qpsDK 22arg qpnjDK 2

16、arg00 njD qpjDBB 中这时，若闭环稳定，即 的角增量来判断。用复数定，可这样，系统闭环是否稳 jG 1 有用价值。来判断闭环稳定性，很上根据标平移得到，所以工程可以根据坐与开环而图不好画，的但 jGjGjGNyquistjG 11 。每一个极点使角增量为开环传递函数在零点的，角增量为半平面的每一个极点使时，开环传递函数在右从连续增加到定的闭环系统来说，当也就是说，对于一个稳o90180o0jG1ReIm00,1 jjG1jGIm0,1 j0jG0Re2、米哈伊洛夫定理 证明Nyquist判据的一个引理 0 111ajbassssD其中：假设 qnqssssssAssDn21 次多

17、项式设jbas1并令 11sssD，则必有由于复根总是成对出现的变化情况连续变化时从研究 0 1jD证明：先看一次式)arctan(2)arctan(2arg1ababss0jjb1s)arctan(aba 0ajbassssD111 其中：其中：bjajbajjDjs1 则有则有命命2)arctan(0 1abjD的幅角将从连续变化从命2 情况再观察11sssD)arctan(2arg1abss0j1sjb)arctan(abajbas1若 bjajbajjD1 2)tan(arc 0 1abjD的幅角将从连续变化从命2 情况再观察11sssDjbas1若2arg)(qpnqpnsD左左根的

18、总角变化量为：有个根位于左平面，则所共有现0j1sjba1sjb 22tan2tan2argarg1111 ababssss 复数根总是共轭出现的再来研究根在右半S平面的一次式)arctan(2)arctan(2arg2ababss0jjb2sa)arctan(ab 0ajbassssD222 其中：其中：bjajbajjDjs2 则有则有命命2)arctan(0 2abjD的幅角将从连续变化从命2)arctan(2 )arctan(2arg2ababss0jjb2sa)arctan(abjbas2若 bjajbajjD2 2)tan(arc 0 2abjD的幅角将从连续变化从命2 22sss

19、D 22022argargargarg1 qpnpqpnssnii 原点右左 22tan2tan2argarg1122 ababssss 同理2arg)(pPsD右个右根共有现 0arg2,原点的幅角恒为当令（原点处的零点）中含有至于 qqsjsssD 量应等于的角增变化时，复数从并令入代平面，则当以个根位于左半个根在原点上，其余有平面个根位于右半有jDsDjssqpnqsp0,qnqssssssAssDn21 次多项式设 22 22arg 1qpnpqpnssnii例 1s05.01s1.0sKsG 判别系统稳定性 1 ,0 1:qp系系统统开开环环解解 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关

20、于的变化时，从当22arg010 qpjG,jNyquistjG 图图画画Nyquist2 105.011.0 jjjKjG 105.011.022 KjG 05.0arctan1.0arctan2 90 :0 jG 2700 :jG 30114.1405.0114.141.014.1414.1422KKjG 05.01.02:arctgarctgNyquist 即即令令曲线与负实轴的交点曲线与负实轴的交点求求14.14 200:05.01.01 ,2 即即得得两边取正切两边取正切 90 :0 jG 2700 :jGjGReIm30 K30 K 0 30 K-1故系统不稳定时：270 arg3

21、0jGK 系统稳定系统稳定时：时：90 arg300 jGK 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关于的变化时，从当22arg010 qpjG,jNyquistjG-1 sXi sXo1 TsK-K为何值时,系统稳定 闭环稳定。时，系统幅角增量点的曲线关于的变化时，从当 2arg010qpjG,jNyquistjG例 0 ,1 1:qp系系统统开开环环解解 图图画画Nyquist2 1 TjKjG 12 TKjG 1arctan T T arctan180 T arctan180 180 :0 KjG 900 :jG0 jGReIm-10 1 K10 K0 故系统稳定故系统稳定时：时：180 a

22、rg1 jGK 系统不稳定系统不稳定时：时：0 arg10 jGK 5.5 由伯德图判断系统的稳定性一、Nyquist图与Bode图的对应关系 点。点。，不包围不包围条件是条件是，则闭环稳定的充要，则闭环稳定的充要一个系统，若一个系统，若0j1jG0p 0,1 j L jG00180011cg g 2c2c 1801A 1800dBL11c11c二、利用Bode图判断稳定性 ，则闭环稳定。值，的所有，且在若18000Lp00,1 j L jG0018011cg 1cg 2c2c 1801A 1800dBL稳定不稳定：Frequency(rad/sec)Phase(deg);Magnitude(

23、dB)bode plot-150-100-50050From:U(1)10-210-1100101102103-300-250-200-150-100-50To:Y(1)250s5.0ss4s100sG 例例Phase(deg);Magnitude(dB)bode plot-100-50050100From:U(1)10-310-210-1100101102103-300-250-200-150-100-50To:Y(1)1005.0102.015125.1100 22ssssssG例利用Nyquist判据判断使系统稳定的K值范围。2121 11 TTsTsTsKsG例c 012 dBLc1K

24、2Kc12 使KK180jG Nyquist曲线刚好通过（-1，j0）点，系统临界稳定。0TT1sT1sTsKsG2121 1j1jjKjG21 212221arctgarctg211KjG 令：令：令：令：21arctgarctg2 即：即：21arctg2arctg 21212 两边取正切得两边取正切得 的几何中点上的几何中点上、图图在在2121Bodelglg21lg 012c dBL180jG K21 求使系统稳定的临界K值图幅频特性表达式代入将Bodec 21 01lg201lg20lg20Klg20L22c21ccc 忽略KK12c1cc 1112221ccccKjG0lg20lg

25、20Klg201cc 有：有：1cclg20Klg20 即：即：忽略时，系统稳定。时，系统稳定。显然显然系统临界稳定系统临界稳定即即221cKKK 若采用劳斯判据判断系统稳定的K值范围K S K-S K S 1 S 01232121212121TTTTTTTTTT 0K1sT1sTssD21 0KssTTsTTsD221321 0KK 2121TTTT若想系统稳定若想系统稳定212121TTTT K0 即：即：注意：利用Nyquist判据的结论与利用劳斯判据的结论 不一致，其原因是Bode图用的是渐进线，有误差。只要 两种方法结论一致。2K21K21 5-7 控制系统的相对稳定性一、利用劳斯判

26、据看系统相对稳定性 有根。以右是否求出距离虚轴再应用劳斯判据，即可的方程式，代入系统特征式，得到即将，令向左平移虚轴 zzssz ,统有一定的稳定裕量。虚轴有一段距离，则系左半平面，且和在如果系统闭环特征根均s S0 程程度度越越低低。点点越越近近，稳稳定定性性，的的轨轨迹迹离离高高；点点越越远远，稳稳定定性性程程度度越越，迹迹离离的的轨轨，且且闭闭环环稳稳定定，则则若若图图可可知知：从从0j1jG0j1jG0pNyquist jG0,1 j这便是通常所说的相对稳定性，它通过 对（-1，j0）点的靠近程度来度量。jG定量表示为：gK 幅值裕量相位裕量二、利用乃氏判据看系统相对稳定性 及其相对稳

27、定性指标 1、相位裕量 线线的的相相位位差差。时时，相相频频特特性性距距当当180c jGccc180正相位裕量 具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在 的频率下，允许相位再增加 度才达到临界稳定条件。c因此相位裕量也叫相位稳定性储备。0,1 j 2、幅值裕量当 时，开环幅频特性 的倒数。jGKg1jGgK在Bode图上，jGlg20jG1lg20Klg20g 正相位裕量 线以上180jGcc jG L 0180正幅值裕量0dB线以下c正幅值裕量11gK负幅值裕量11gK负相位裕量 线以下180jGcc gK1 L0负幅值裕量0dB线以上 180c G(j)具有负幅值裕

28、量及负相位裕量时，闭环不稳定。负相位裕量 工程实践中，为使系统有满意的稳定储备，一般希望：dBKKgg6lg202;6030或 20-5 2222nnnssssG 例时系统的稳定性分析0 如果仅以相位裕量来判断系统的稳定性,就会得出系统稳定程度很高的结论,而系统的实际稳定程度绝不是高,而是低。所以,必须同时根据相位裕量和幅值裕量全面地评价系统的相对稳定性,避免得出不合实际的结论。0,1 j L jG00cg 270gK1c180g dBKgdecdB/20decdB/6090和幅值裕量。试计算系统的相位裕量递函数为已知高阶系统的开环传)1001.0)(10025.0)(103.0()10167

29、.0(5G(s)sssssnum=5*0.0167 1;den=conv(conv(1,0,0.03,1),conv(0.0025,1,0.001,1);G=tf(num,den);w=logspace(0,4,50);Bode(G,w);Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)n两个版本教材相同n作业：5-3 5-4（1）5-5（2）n 5-6（1）n 5-10 5-22 思考题与编程题1.如何基于如何基于MATLAB平台来确定开环增益取值平台来确定开环增益取值范围，来保证闭环系统稳定？范围，来保证闭环系统稳定？2.应用应用MATLAB语言，编写应用劳斯定理判断语言，编写应用劳斯定理判断系统稳定性的子程序。系统稳定性的子程序。3.应用应用MATLAB语言，编写应用乃奎斯特稳定语言，编写应用乃奎斯特稳定判据判断系统稳定性的子程序。判据判断系统稳定性的子程序。