[工学]ch4-1-向量及其线性运算课件.ppt

1、福福 州州 大大 学学12022-8-9 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 n维向量的概念及表示法维向量的概念及表示法 向量的线性运算向量的线性运算 小结小结 第四章第四章 福福 州州 大大 学学22022-8-9定义定义1 11212 1,nTniaanaaaaiai称矩阵为一个n维列向量，称列向量的转置=为一个n维行向量.第个数 称为第个分量分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、维向量的概念n福福 州州 大大 学学32022-8-9例如例如),3,2,1(n)1(,32,21(innii n维实

2、维实(行行)向量向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量福福 州州 大大 学学42022-8-9注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；2行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算进行运算；3当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.福福 州州 大大 学学52022-8-9二、向量的线性运算二、向量的线性运算1 1、加法：、加法：Tnnbaba),(11 向量和向量和2、数乘：、数乘：Tnkakak),(1 求求）（且且），

3、（），（例例,5225 881211,2374 解：解：1 1 22(1,)3 3 3152()2(15,5,5,10)两个向量只有维数相同时才能有相等与不相等,才能有和、差运算,否则是没有意义的.注意：注意：福福 州州 大大 学学62022-8-9 1)8()t(k)kt)(7(kk)(k)6(tk)tk)(5()(0)()4()(0)3()()()2()()1(（乘法对数的结合律）（乘法对数的结合律）（乘法对数的分配律）（乘法对数的分配律）（乘法对向量的分配律（乘法对向量的分配律负元律负元律零元律零元律（加法结合律）（加法结合律）加法交换律加法交换律,n 设为 维向量为实数，则福福 州州

4、大大 学学72022-8-9第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量、向量组与矩阵向量、向量组与矩阵 向量的线性组合向量的线性组合 线性相关性的概念线性相关性的概念 线性相关性的判定线性相关性的判定 小结小结 第四章第四章 福福 州州 大大 学学82022-8-91 1、若干个若干个同维数同维数的列向量（或的列向量（或同维数同维数的行向量）的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组2、aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵 2j n 1维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)(

5、向向量量组组 ,称称为为矩矩阵阵 的的列列向向量量组组.A 1 2n 福福 州州 大大 学学92022-8-9 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T 1T 2Ti Tm 维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵、类似地、类似地nmijAanm)(,3 向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组T 1T 2Tm 福福 州州 大大 学学102022-8-94、反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.12 ,mmnn m 个 维列向量所组成的向量组构成一个矩阵矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量

6、量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21),(21mA 福福 州州 大大 学学112022-8-9 b bnnxxx 11225、线性方程组的向量表示、线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应)b,(21nB 其中：增广矩阵其中：增广矩阵福福 州州 大大 学学122022-8-9 nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解.bAx 2.非齐次线性方程组非齐次线性方程组m nAxb1.齐次线性方

7、程组齐次线性方程组m nAx 0 nAR;0只只有有零零解解 Ax nAR 0)m-R(A)12 R A,(,)mmA 其中121122 ,0mmmxxx 线性无关仅有零解 R A .m福福 州州 大大 学学222022-8-9 已已知知向向量量组组,线线性性无无关关 ,试试证证,线线性性无无关关 .bbbb b b 123112223331123例例1 1 设设有有,使使 xxxx bx bx b1231122330,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线线性性无无关关，故故有有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxx

8、xxx证证10111020011由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式.,0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 福福 州州 大大 学学232022-8-93,5,6,1,0,11,1,0,0,1,1.,.123123123例2.设,讨论 和的线性相关性 123TTTTB 11111111（，）31110301150119r-r11030115101632110301150024r+r 解：解：123A 111111，令令（）3()R B 3()R A ,.123线性无关 说明：说明：n+1 个个 n 维列向量组成的向量组维

9、列向量组成的向量组 必线性相关必线性相关,.123线性相关 4 福福 州州 大大 学学242022-8-9推论推论:1.m个个n维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，一定线性相关一定线性相关.1,0,0,0,0,1,0,00,0,0,112n例3.考察n维单位坐标向量组ee,e的线性相关性.TTT当当nm时时1212122.,0;,0.nnnnnAA 个 维 向量线性相关的充要条件是线性无关的充要条件 是12311111,1,例4：t为何值时，向量组（，-，-），（，t，），（-）线性相关？t tt t 福福 州州 大大 学学252022-8-9定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时

10、）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证：证：充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk.02211 mmkkk 不妨设则有不妨设则有,01

11、k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余能由其余向量线性表示向量线性表示.1 福福 州州 大大 学学262022-8-9问问:若若 A 线性相关，则线性相关，则 A 中中任何任何向量可由其余向量可由其余向量线性表示向量线性表示,对吗？对吗？如：如：a=(1,1,0),b=(-1,-1,0),c=(0,0,1),则则a,b,c 线性线性相关相关,但但c 不可由不可由a,b线性表示线性表示.不一定不一定定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中中至少至少有一个向有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,21

12、2 mm ,211 m福福 州州 大大 学学272022-8-9五、线性相关性的性质五、线性相关性的性质.,:,:(3)121且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示必必能能由由向向量量组组向向量量则则线线性性相相关关组组而而向向量量线线性性无无关关设设向向量量组组AbbBAmm 定理定理4证明证明.),(,)()(21一一线线性性表表示示，且且表表示示式式唯唯组组能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程组组由由AbbxmBRARm .)(1)(.1)(;)().()(),(),(2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm ，即即有有所所以以组组线线性性

13、相相关关，有有因因组组线线性性无无关关，有有因因有有记记 证明证明.),(,)()(21一一线线性性表表示示，且且表表示示式式唯唯组组能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程组组由由AbbxmBRARm .)(1)(.1)(;)().()(),(),(2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm 高维高维 线性无关线性无关 高维线性相关高维线性相关低维线性相关低维线性相关福福 州州 大大 学学302022-8-9六、六、在线性方程组中的线性相关性在线性方程组中的线性相关性若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的；(2)当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）(1).福福 州州 大大 学学312022-8-9.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，定理定理（难点难点）七、小结七、小结