《概率论与数理统计》多维随机变量连续课件.ppt
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- 关 键 词:
- 概率论与数理统计 概率论 数理统计 多维 随机变量 连续 课件
- 资源描述:
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1、yx,实数实数xdttfxF)()(有有0)(xf若若(X,Y)是是二维二维连续型连续型随机变量随机变量0),(yxf若若二维连续型随机变量二维连续型随机变量X 是是(一维一维)连续型连续型随机变量随机变量 类比类比 yxdudvvufyxF),(),(有有badxxfbXaPxfxFdxxfxf)()()(1)(0)(2(,)0(,)1(,)(,)(,)(,)Df x yf x y dxdyx yFf x yx yPx yDf x y dxdy 位于位于xOy 面上方的曲面面上方的曲面.它与它与xOy 面围成的空间区域面围成的空间区域体积为体积为1.随机点随机点(X,Y)落在落在平面区域平面
2、区域D内的概率内的概率=以以D为底、曲面为底、曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积1),(0),(dxdyyxfyxf=F(+(+,+)非负性非负性 规范性规范性 x (-,+)随机变量随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)f(x)是是 X 的的概率密度概率密度二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)f(x,y)是是X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度 P(0 X 1,0 Y 2)Gdxdyyxf),()0,1()2,0()0,0()2,1(FFFF 例例4(P P88 例例4)34()0,0;(,),0.其他xyxyCf x y e e 试
3、求:试求:常数常数C;分分布函数布函数F(x,y);P(0X 1,0Y 2)与与P(Y X).解解 dxdyyxf),(1由规范性知:由规范性知:,12C C=12;yxdudvvufyxF),(),(记为记为D()340012,0,0;xyuvdudvxy e e yxoG43(1)(1)0,0;,(,),.0yxxyF x y 其其他他eeeexy()340012xxydxdy e e.74 3400 xydxdyC eeee,0其他其他38(1)(1);eeeeG()()(,),GDf x y dxdyPX YP(Y X)例5 设 r.v.(X,Y)的联合 d.f.为其他,0,10,0,
4、),(yyxkxyyxf其中k 为常数.求(1)常数 k;(2)P(X+Y 1),P(X 0.5);(3)联合分布函数 F(x,y);(4)边缘 d.f.与边缘分布函数y=x10 xy10,0),(yyxyxD解解 令D(1)1),(dxdyyxf1),(Ddxdyyxf10210082kdyyykkxydxdyy8kx+y=1y=x10 xy(2)1(YXP0.5x+y=1y=x10 xy15.018yyxydxdy.6/5y=x10 xy0.5)5.0(XP5.0018xxydydx.16/7的分段区域0 x),(yxF0yy=x10 xyD10 xxy 01 yx1y1x10 y1y当0
5、 x 1,0 y x 时,1(3)xydvduvufyYxXPyxF),(,),(当x0 或 y0 时,F(x,y)=04008yuvdudvyv当0 x1,x y1时,422028),(xyxuvdvduyxFxyuv=u10uv),(yxF当0 x 1,y 1时,xuuvdvduyxF018),(v=u10uv1422xx 当x 1,0 y 1时,v=u10uv1当 x 1,y 1 时,1),(yxF4yyvuvdudv008),(yxFF(x,y)=0,x 0 或 y 0y4,0 x 1,0 y x,2x2y2y4,0 x 1,x y 1,2x2x4,0 x 1,y 1,y4,x 1,0
6、 y 1,1,x 1,y 1,(4),()(xFxFX=0,x 0,2x2x4,0 x 1,1,x 1),()(yFyFY0,y 0y4,0 y X 2);(3)(X,Y)在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.求解解(1)y=x10 xy1其他,010,0,2),(xxyyxfG(2)y=x21022xxdydx.3/1)(2XYP(3)3.03.0()3.0|(|XPXP09.0)3.0(2122y=x10 xy10.3例例7 7 甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会面在某地会面.假设两人都在假设两人都在这期间的任一时刻随机到达,先到者最多等待这期间的任一时刻随
7、机到达,先到者最多等待1515分分钟后就离开钟后就离开.求两人能见面的概率求两人能见面的概率.2022-8-917 0,601,060,060;(,)36000,XYXYXUXYxyf x y解:设、分别表示甲、乙到达的时刻,则 与 同分布,又因为 与 相互独立,所以它们的联合概率密度函数为否则.2022-8-9187P|15360016XY所以,两人能见面的概率为:阴影图像的面积|15XY根据题意,两人能见面6060606015xy15yx 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 )1(21exp121),(222 1yxf)()()(2)(2222211211 yy
8、xx其中其中均为常数均为常数,21212.正态分布正态分布 则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.,2121记作记作(X,Y)N().().,22221122()21(),2xxf x e e,0,021 1,|且且 二维正态分布剖面图二维正态分布剖面图),(limyxFy ),(xF,YxXP2 边缘分布边缘分布 联合分布联合分布F(X,Y)(X,Y)整体地看整体地看 局部地看局部地看 FY(y)FX(x)X Y 二维联合分布二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值的取值及其概率规律及其概率规律.问题:二者之间有
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