《大学物理》第三章动量和角动量课件.ppt

1、第第3 3章章 动量和角动量动量和角动量主要内容主要内容3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理 3.2 动量守恒定律动量守恒定律 3.3 火箭飞行原理火箭飞行原理*3.4-5 质心和质心运动定理质心和质心运动定理3.6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律3.8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理23.1 冲量与动量定理冲量与动量定理 1.冲量冲量:力对时间的积累力对时间的积累dF t无穷小时间间隔内的冲量无穷小时间间隔内的冲量0dttIF t有限长时间间隔内的冲量有限长时间间隔内的冲量恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI平均冲力：平均冲力：

2、ttotFttFd10tFI3(2)积分形式积分形式000ddtPtPF tP PP 2.质点的动量定理质点的动量定理(1)微分形式微分形式ddF tP牛顿第二定律牛顿第二定律质点的动量定理：质点的动量定理：00dvvmmpptFItto质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，其动量的增量等于质点所受质点在运动过程中，其动量的增量等于质点所受合力的冲量。合力的冲量。说明：说明：（1 1）冲量的方向冲量的方向 与动量增量与动量增量 的方向一致。的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边量叠加原理。因此在

3、计算时可采用平行四边形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。分量形式进行计算。（2 2）43 3质点系的动量定理质点系的动量定理设设 有有n n个质点构成一个系统个质点构成一个系统第第i i个质点：个质点：外力外力iF内力内力if初速度初速度iov末速度末速度iv质量质量im由质点动量定理：由质点动量定理：ioiiittiimmtfFovv diFif5F F1f f12m1m2f f21F F2 ioiiittiimmtfFovvd 0if其中：其中：系统总末动量：系统总末动量：iimPv系统总初动量：系统总初动量：ioimPv0合外力的

4、冲量：合外力的冲量：ttitF0d内力不能改变整个系统的总动量内力不能改变整个系统的总动量根据叠加原理根据叠加原理6质点系的动量定理：质点系的动量定理：PPPtFtti 00d微分式：微分式：iF tPdd质点系统总动量的增量等于系统所受质点系统总动量的增量等于系统所受合外力的冲量合外力的冲量。质点系和一个质点的动量定理的形式一样。质点系和一个质点的动量定理的形式一样。质质点系的动量定理一般用于处理碰撞问题和变质点系的动量定理一般用于处理碰撞问题和变质量问题。量问题。73.2 动量守恒定律00dPPtFtti 质点系的动量定理：质点系的动量定理：0 iF当当时，0PP 有有质点系所受合外力为零

5、时，系统的总动量保持不变。质点系所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。常矢量iimPv条件：条件：0iF动量守恒定律：动量守恒定律：8(3)(3)合外力沿某一方向为零合外力沿某一方向为零(4)(4)适用于惯性系；适用于惯性系；.constpii 说明：说明：（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2 2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）动量守恒定律

6、是物理学中最重要、最普遍动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观粒子。合微观粒子。9例例1 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4 105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005t

7、Fs003.010440035t10（2）50.00304 104003IF tttdd（3）0vmI0.62300Im gv0.0035204 104000.62 3ttN s11例例2 2：如图，质量为的滑块正沿着光滑水平地面向右：如图，质量为的滑块正沿着光滑水平地面向右滑去，一质量为滑去，一质量为mm的小球水平向右飞行，以速度的小球水平向右飞行，以速度 （相对地面）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速（相对地面）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速度为度为 ，试计算此过程中，滑块对地面的平均作用力，试计算此过程中，滑块对地面的平均作用力及滑块速度的增量及滑块速度的增量,设作用时间为设作用

8、时间为 t.t.1v2v1v2vMvNN解：解：选选mm、为系统，则、为系统，则系统受的合外力为系统受的合外力为 、gmgM0)(212 ttmvdtNMgmg2)(mvtNtMgmg y ym mgmgMgN 以及地面的支持以及地面的支持由动量定理得由动量定理得12解：解：选选mm、为系统，则、为系统，则系统受的合外力为系统受的合外力为 和和 以及地面的支持力以及地面的支持力 由动量定理得由动量定理得gmgMN0)(212 ttmvdtNMgmg2)(mvtNtMgmg tmvMgmgN 2 又水平方向合外力为零，所以水平方向动量守恒又水平方向合外力为零，所以水平方向动量守恒MMMvMvmv

9、 01MmvvM1 1v2vNNm mgMgMgy y13 例例3 3：如图，已知：如图，已知m=50kg,m=50kg,l=3.6l=3.6mm,M=100kg,M=100kg,当人从当人从船头走到船尾时，船移动的距离是多少？忽略水的阻船头走到船尾时，船移动的距离是多少？忽略水的阻力。力。解：设船的速度为，而人相对船的速度为解：设船的速度为，而人相对船的速度为-u,-u,对人、对人、船组成的系统，水平方向受的合力为船组成的系统，水平方向受的合力为 零，动量守恒零，动量守恒 ：m(V-u)+MV=0m(V-u)+MV=0mMmuV udtmMmVdtsXuvmmMMmlMmm2.1 153.3

10、火箭飞行原理火箭飞行原理*“神州神州”号飞船升空号飞船升空16质点系选：质点系选：(M+dM,dm)设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：)()(vvMMuvmMvd dd dd d )()(vvMMuvMd dd dd d Mm md d)(uvMMd d vv d t时刻时刻)(ttd d 时刻时刻：dm相对火箭体喷射速度，定值。相对火箭体喷射速度，定值。uMmd dd d 质点系总质量保持不质点系总质量保持不变！变！17,ddMMuv fiifMMuvvln ffiMiMMMuvvvdd提高速度的途径提高速度的途径：1、提高气体、提高气体喷射速度喷射速度

11、u；2、增大、增大Mi/Mf（受限制），采用多级火箭，（受限制），采用多级火箭，终速度为终速度为设火箭质量比设火箭质量比fiMMN，火箭增加的速度为，火箭增加的速度为Nuvvifln 332211lnlnlnNuNuNuv18火箭体对喷射的气体的推力：火箭体对喷射的气体的推力：t td dd dd dd dmutvuvm )(喷射的气体对火箭体的推力：喷射的气体对火箭体的推力：t td dd dmuF 19思考思考:自由空间火箭质量随时间变化，应用牛顿自由空间火箭质量随时间变化，应用牛顿定律定律 ，求出，求出0ddddd)(d tmvtvmtmvfiifmmvv 错在哪里？错在哪里？牛顿力学中

12、所谓变质量问题，指的是质点系的一部牛顿力学中所谓变质量问题，指的是质点系的一部分质量增加，另一部分质量减少，质点系的总质量分质量增加，另一部分质量减少，质点系的总质量保持不变。质点系的整体运动即质心服从牛顿定律。保持不变。质点系的整体运动即质心服从牛顿定律。3.4-5 质心与质心运动定理1 1质心质心nnncmmmrmrmrmr 212211Mrmii 设由设由n n个质点构成一质点系个质点构成一质点系 质量：质量：mm1 1、mm2 2、mmn n，位矢：位矢：、1r2rnrim c质心质心质点系质点系ircro20质心位置的分量式：质心位置的分量式：iiicmxmx iiicmymy ii

13、icmzmz连续体的质心位置：连续体的质心位置：mmxxcdd mmyycdd mmzzcdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。心都在它的几何中心。说明：说明：212 2质心运动定理质心运动定理 iicrmrM质心位置公式：质心位置公式：trmtrMiicdddd iicmMvv结论：结论：质点系的总动量等于总质量与其质质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。心运动速度的乘积。222 2质心运动定理质心运动定理 iicmMvv由质点系动量定理的微分式可得：由质点系动量定理的微分式可得：iPFtddiimtddvcMtddv ciaM

14、F质心运动定理：质心运动定理：作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。心加速度的乘积。23质心的两个重要性质：质心的两个重要性质：系统在外力作用下，质心的加速度等于外系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。力的矢量和除以系统的总质量。（2 2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量矢量，内力既不能改变质点系的总动量,也就也就不能改变质心的运动状态不能改变质心的运动状态 。（1 1）24质心的运动反应了质点系整体的运动情况。质心的运动反应

15、了质点系整体的运动情况。25解：解：xc 0例例4 4：半径为：半径为 R R的均匀半圆形铁丝的质心的均匀半圆形铁丝的质心mydmyc mRdR 0sinmR/22 )/(Rm单位长度质量为 R2 d d d dl l=Rd=Rd R Ry yx xy y 26例例5.5.有质量为有质量为2m2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为地点为x xc c。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。抛出，它

16、们同时落地。问第二块碎片落在何处。在爆炸的前后，质心始在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为物线，它的落地点为xc。x xc c212211mmxmxmxc0,121xmmmmmxxc22cxx22x2 2ox x27第第3章章 之之 角动量角动量开普勒第二定律开普勒第二定律(1602)：行星对太阳的径矢在相：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过的面积相等等的时间内扫过的面积相等 。mxyzrLpO运动质点相对于参考原运动质点相对于参考原点点OO的角动量定义为的角动量定义为vmrprL 1.1.质点的角动量质点的角动

17、量角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点OO的位置有关。的位置有关。注意：注意：3.6 质点的角动量和角动量定理质点的角动量和角动量定理角动量大小：角动量大小：sinsinvmrrpL 角动量的方向：角动量的方向：矢经矢经 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向vmrprL 例例.圆周运动的质点关于圆心圆周运动的质点关于圆心O O的角动量的角动量SI单位：单位：kgm2/s,或或 J s 2mrmrvrpL orL vm 质点的角动量质点的角动量 随时间的变化率为随时间的变化率为 L tprptrtprtLdddddddd 2.2.质点的角动量定理质点的角

18、动量定理0dd pvptr式中式中Ftp ddFrtL ddFrtL dd 质点角动量的改变不仅与所受的作用力质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有有关，而且与参考点关，而且与参考点OO到质点的位矢到质点的位矢 有关。有关。rF定义：外力定义：外力 对参考点对参考点OO的力矩：的力矩：FMrFmN力矩的大小：力矩的大小：sinMrF力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于 确确定的平面。定的平面。,rFLMtdd2121ttM tLLd1 1、质点的角动量定理微分式质点的角动量定理微分式2 2、角动量定理的积分式、角动量定理的积分式21ttM td称为称为“冲量

19、矩冲量矩”3 3力对轴的矩力对轴的矩力力 对点的力矩对点的力矩 在过该点的轴线上的投影。在过该点的轴线上的投影。FM力力 对轴对轴Oz Oz 的力矩：的力矩：F()zzMrF()yxxFyFr F转动转动平面平面oFF/Fz rr1.质点系的角动量质点系的角动量 niniiii11)(prLL对时间求导：对时间求导：tprptrtLiiiidddddd0dd iiptr上式中上式中 iiiiifFrtpr dd3.7 质点系的角动量和角动量定理质点系的角动量和角动量定理0 iifr上式中上式中 iiiifrFrtLdd合内力矩是否为零合内力矩是否为零?tprptrtLiiiidddddd0dd

20、 iiptr iiiiifFrtpr dd一对内力矩一对内力矩 iijjiifr0jijijifrfr 0)(ijjifrr j jiiLMrFtddiiLMrFtdd 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。2.2.质点系角动量定理质点系角动量定理质点系对质点系对z z 轴的角动量定理：轴的角动量定理：tzzddLM 质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式：2121ttM tLLd 作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间作用于质点系的冲量矩等于质点

21、系在作用时间内的角动量的增量内的角动量的增量 。2121tzzztMtLLd如果如果0M 则则L 恒矢量3.8 3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 当系统所受外力当系统所受外力对某参考点对某参考点的力矩之矢量和始终的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。为零时，质点系对该点的角动量保持不变。2121ttM tLLd质点系对质点系对z z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律：系统所受外力系统所受外力对对z z轴轴力矩的代数和等于零，则力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。质点系对该轴的角动量守恒。zL 恒量0zM 注：有心力场中角动量守恒。注：有心力场中角动量守恒

22、。例例1.1.证明开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相证明开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等时间的内扫过的面积相等等时间的内扫过的面积相等 。12Srrddrrdv rtrrtS21dd21dd1122SrmLtmmddvStdd恒矢量有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证毕证毕 证证例例2 2：哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳最近的距离：哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳最近的距离为为 时时 ，它距离太阳最远它距离太阳最远时，时，这时，这时mr1011075.8?2 rsmv/1046.541 smv/1008.922 1v?2 r1r2v解解：2211v

23、mrvmrL mrvvr1212121026.5 例例3 3：绳往下拉，小球半径由：绳往下拉，小球半径由 r r 1 1减为减为 r r2 2，小球速度，小球速度v v1 1v v2 2与与的关系？的关系？解：分析解：分析:F:F为有心力，为有心力，角动量守恒。角动量守恒。2211rvmrvm v1r12vr2F光滑桌面光滑桌面2121vrrv 例例4 4：质量为：质量为mm的质点，在有心斥力场的质点，在有心斥力场 中运动，式中中运动，式中r r是质点到力心的距离，为常数。当质点是质点到力心的距离，为常数。当质点 离点很远时，离点很远时，质点速度为质点速度为 ，而其渐近线与点的垂直距离为，而其

24、渐近线与点的垂直距离为 ，（瞄准距离），试求质点与（瞄准距离），试求质点与OO点的最近距离（如图所示）点的最近距离（如图所示）3rmc v 解：质点受的力通过解：质点受的力通过OO点，因此，质点在运动过程点，因此，质点在运动过程中受的力矩为零（对点），所以质点角动量守恒中受的力矩为零（对点），所以质点角动量守恒 mvL1amvLA 221LL )1(amvmvA a v AvA A又质点从无穷远处运动到点时，斥力做的功为：又质点从无穷远处运动到点时，斥力做的功为：drrcmfdrsdfAa 32222amcrmca 应用动能定理可得：应用动能定理可得：)2(22121222amcmvmvAAA 解式（）、（）得解式（）、（）得212 vca47第第3章章 冲量与角动量冲量与角动量 总结总结1.概念：动量、冲量、质心、角动量、概念：动量、冲量、质心、角动量、力矩力矩2.动量定理，动量守恒定律，质心运动定理，动量定理，动量守恒定律，质心运动定理，角动量定理，角动量守恒定律角动量定理，角动量守恒定律2121dttF tPP2121ttM tLLd