《大学物理》第五章刚体的定轴转动课件.ppt

1、1第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动主要内容主要内容5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述5.2 转动定律转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算5.4 转动定律的应用转动定律的应用5.5 角动量守恒角动量守恒5.6 转动中的功和能转动中的功和能Q：什么物体可看做是刚体？：什么物体可看做是刚体？第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力作用下，各个质元的相对位置保持不变。作用下，各个质元的相对位置保持不变。5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述1.刚体的概念刚体的概念因此，刚体的运动规律，可通

2、过把牛顿运动定律应因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应用到这种特殊的质点系上得到。用到这种特殊的质点系上得到。刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。刚体刚体:在受力时不改变形状和体积的物体。在受力时不改变形状和体积的物体。2.2.刚体的运动刚体的运动 平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。始终保持平行。刚体的平动可看做刚体质心刚体的平动可看做刚体质心的运动。的运动。转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 .

3、刚体的一般运动：刚体的一般运动：质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+53.刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动平面转动平面:垂直于转轴的平面。垂直于转轴的平面。除转轴上的质元之外，刚体除转轴上的质元之外，刚体各个质元都在转动平面内作各个质元都在转动平面内作圆周运动。圆周运动。转轴转轴质元质元转动平面转动平面刚体角速度刚体角速度ddt刚体角加速度刚体角加速度22ddddatt质元线速度质元线速度rv质元加速度质元加速度tar2nar5.2 5.2 刚体对定轴的刚体对定轴的角动量和角动量和转动定律转动定律 刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，刚体依然满足质点系的角动量刚体依然满足质点系的

4、角动量定理定理ddLMt刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理tzzddLM 刚体中不同质元的速度不一样，但角速度一样，用角速刚体中不同质元的速度不一样，但角速度一样，用角速度表示角动量可得到刚体的转动定律。度表示角动量可得到刚体的转动定律。1.1.刚体对定轴的角动量的角量表示刚体对定轴的角动量的角量表示 质元：组成物体的质量微元质元：组成物体的质量微元质元对点的角动量为质元对点的角动量为 iiiimRLviiiiRmLv沿转轴沿转轴OzOz的投影为的投影为iL)2cos(iizLLsiniiiRmvziLOxyimiriRiviiirmv 2iirm izL刚体对刚体对O Oz z轴的

5、角动量为轴的角动量为 iiiiiiiizzrmrmLL )(22令 iiizrmJ2为刚体对为刚体对 Oz Oz 轴的转动惯量。轴的转动惯量。zJzzJL2(kg m)2.2.刚体对定轴刚体对定轴的转动的转动定律定律 由质点系对轴的角动量定理，可得由质点系对轴的角动量定理，可得dd()ddzzzLJMtt两边乘以两边乘以d dt t，并积分，并积分 2121dtzzztMtLL刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。当当 J Jz z 转动惯量是一个恒量时，有

6、转动惯量是一个恒量时，有ddzzMJt或或zzMJ刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动定律：转动定律：转动惯量转动惯量 J Jz z 是刚体转动惯性的量度。是刚体转动惯性的量度。一般省略下标一般省略下标MJ与牛顿第二定律与牛顿第二定律比较。比较。5.3-4 转动惯量的计算转动惯量的计算 转动定律的应用转动定律的应用2zi iJm r 2dzJrm 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置质量、形状及转轴的位置 1.质量离散

7、分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量e.g.223mL222133()2()JmLmL对OO轴：SI单位：kgm2OO m2m13L23L12dm 质量元2.质量连续分布刚体的转动惯量2dzJr m22zVVJr dmrdV22zSSJr dmrdS（面质量分布）（面质量分布）22zLLJr dmrdl（线质量分布）（线质量分布）13如果刚体的一个轴与过质如果刚体的一个轴与过质心轴平行并相距心轴平行并相距d，则质量，则质量为为 m 的刚体绕该轴的转动的刚体绕该轴的转动惯量，等于刚体绕过质心惯量，等于刚体绕过质心轴的转动惯量与轴的转动惯量与 md2 之和：之和：请同学们自己证明平行轴定理

8、的。请同学们自己证明平行轴定理的。3 平行轴定理平行轴定理2mdJJcz 2222iiirrddx提示：利用余弦定理提示：利用余弦定理14设棒线密度为设棒线密度为，取一距，取一距OO为为r处的质量元处的质量元 dm=dr，则，则/223012d12lcJrrl 例例1 一一质量为质量为 m、长为长为 l 的的均匀细长棒，求通过棒中心并均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。与棒垂直的轴的转动惯量。2112ml 若转轴过端点垂直于棒若转轴过端点垂直于棒lOOrdrrd2l2lOOr解解d J=r 2dm=r 2 dr2201d3lJrrml 22clJmoR例例2.2.一质量为一质量为

9、mm，半径为，半径为R R的均匀圆盘，求通过盘中的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：解：rrmd2d mrJd2 rr d23302Rrrd24212mRR rdr例例3 3.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为mm，半径为半径为r r，摆杆质量也为，摆杆质量也为mm，长度为，长度为2 2r r）ro摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：22134231mrrmJ 摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：22222219321mrrmmrmdJJc 2222166521934mrmrmrJJJ 例例4.一质量为一质量为m，长为

10、，长为l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o点，点，距距A端端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，点转动，求：水平位置的角速度和角加速度。求：水平位置的角速度和角加速度。解：2mdJJco 2220916121mllmmlJ 0 o lgmlmglJM239620 coBA例例5.5.一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受重力为，绳下端挂一物体，物体所受重力为G,滑轮的角滑轮的角加速度为加速度为1，若将物体去掉而以与，若将物体去掉而以与G相等的力直相等的力直接向下拉绳子，滑轮接向下

11、拉绳子，滑轮的角加速度的角加速度2 将将(A)(A)不变不变 (B)(B)变小变小(C)(C)变大变大(D)(D)无法判断无法判断G1 12 2RR解解JGRJGR22选（选（C C）JRFJRFT11T12T FG又G1 12 2FTGFTRR 例例 6 在图示的装置中求在图示的装置中求：1TT2m滑轮可视作均质圆盘。滑轮可视作均质圆盘。T.a,12Tgm1T11mammm12rTT12m22T2gmaJ12=2mrTgmm22=2aa=r1TT2Jrr=1T11mmgaammm12rTT12a2mmmmmg1212=+()()mmg(mm22211=+()mrTmg21122=22+()m

12、mm1mm+g122=2T)(m1mm+mmm222ammm12rTT12补充：分析滑轮受的力矩是由摩擦力产生的补充：分析滑轮受的力矩是由摩擦力产生的*T T2 2T T1 1NN1 1f f1 1NNi i-1 1Nif fi im m i imm1 1NNn nf fn nm101112amfNT0221fNNm2mi01nnfTNmn01iiifNNifTT12012ifTTRfRTTi)()(12mi=0对轻绳对轻绳例例7、如图，两个匀质圆盘同轴地粘在一起，可以绕通、如图，两个匀质圆盘同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑轴转动，对转轴的转动惯过盘心且垂直盘面的水平光滑轴转

13、动，对转轴的转动惯量为量为 J4.5mr2 ,大小盘都绕有绳子大小盘都绕有绳子，绳子下端都挂，绳子下端都挂质量为质量为m的重物，求盘的角加速度的重物，求盘的角加速度？rg192 )1(22maTmg)2(11mamgT )3(212 JrTrT22ar 1ar mmr2r T2T1a2a1mgmg例题例题 8:8:如图如图 求圆盘从静止开始转动后，它转过的求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系角度和时间的关系 。定轴定轴ORthmv0=0绳绳23dgdtRctRg32 对轮：对轮：解解：(1)TRJ对对m m:(2)mgTma(3)aR23ga ctRg32 00 c tRg32 R

14、gt32 tRgdtd32 例例9.一质量为一质量为M2kg，半径，半径R=0.1m的圆盘，盘上绕的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为有细绳，一端挂有质量为m=5kg的物体。其初角速度的物体。其初角速度 rad/s,方向垂直向里。方向垂直向里。（）（）圆盘的角加速度的大小；圆盘的角加速度的大小；（）角速度（）角速度 时，物体上升的高度；时，物体上升的高度；（）当物体回到原来的位置时，（）当物体回到原来的位置时，圆盘的角速度的大小。圆盘的角速度的大小。mgmMT JTR mgmMTmaTmg Ra 2mRJmgR sradmMmg/7.8122 解解mgmMT（）（）2202 0 2020 ra

15、d612.0220 物体上升物体上升 的高度为的高度为mRh21012.6 （）（）srad/102 方向垂直向外方向垂直向外例例10.10.一半径为一半径为R R，质量为，质量为mm的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为水平面上。若它的初速度为 o o，绕中心，绕中心o o旋转，问经旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）or解解dMdF r22mmr drRddrRdmg r22mr rRd22d2dRrgrmM dFor2202RmgrrMRddrRdF22d2dRrgrmM 23mgRtJMdd d43dgRt

16、000d43d gRttgRt 430 例例11、一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为、一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J，t=0时刻角速度为时刻角速度为 0，此后飞轮在阻力矩，此后飞轮在阻力矩M的作用下经历的作用下经历制动过程，阻力矩制动过程，阻力矩M与角速度平方成正比，比例系数为与角速度平方成正比，比例系数为K0.则当则当=0/3时，飞轮的角加速度等于多少？从开始时，飞轮的角加速度等于多少？从开始制动到制动到=0/3时所经历的时间时所经历的时间t=？220119MkkJ dtdJJkM 2dtdJk 2 32000 dJkdtt02 kJt 2019kJ（1）（2）5.5 5.5

17、刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量守恒定律 1221dLLtMttz刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理 JLz恒量恒量0zM当当时时刚体对定轴的角动量守恒定律：刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。刚体对该转轴的角动量保持不变。说明：说明：1.1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。量和角速度的乘积不变。2.2.几个物体组成的系统，几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力

18、矩为零公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角时，该系统对此轴的总角动量守恒动量守恒 iiiJC例例1212、对一个绕固定水平轴、对一个绕固定水平轴OO匀速转动的圆盘，沿匀速转动的圆盘，沿如如 图所示的同一水平直线从相反方向入射两颗质量图所示的同一水平直线从相反方向入射两颗质量相同、速率相等的子弹，则子弹相同、速率相等的子弹，则子弹 射入后，转盘的角射入后，转盘的角速度速度 将如何变化？将如何变化？)2(2000mRJJ 0 若一个子弹改为从左下边入射，结果如何？若一个子弹改为从左下边入射，结果如何？1.1.力矩的功力矩的功 dsinddrFsFW zOdsdPFr sinFrM ddMW

19、 力矩对刚体所作的功：力矩对刚体所作的功：oMWd MtMtWP dddd力矩对刚体的瞬力矩对刚体的瞬时功率等于力矩时功率等于力矩和角速度的乘积和角速度的乘积 5.6 5.6 转动中的功和能转动中的功和能 2 2 刚体的定轴转动动能和动能定理刚体的定轴转动动能和动能定理z zmiiriv第第i i个质元的动能：个质元的动能：2222121 iiiikirmmE v整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：kkiEE22)(21 iirm221 JEk 2212i im r设在外力矩设在外力矩 M M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d d 元功：元功：ddMW 由转动

20、定律由转动定律tJMdd dddddJtJW 有有 21d JW21222121 JJ 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。做的功等于刚体转动动能的增量。3.3.定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：刚体重力势能：刚体重力势能：若若A外外+A内非内非=0则则Ek+Ep=常量。常量。C Ch hc ch hi iE Ep p=0=0im ighiPmEmmmi ighcmgh)(1122PkPkEEEEWW 内内外外）LL22解解 例例13 13 一均质细杆可绕一

21、水平轴旋转，开始时处于一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求：水平位置，然后让它自由下落。求：)(cos2LmgM 00cos2dLmgMdW sin2Lmg 0212 JWLg sin3 gm方法一方法一 动能定理动能定理）LL22 例例13 13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求：水平位置，然后让它自由下落。求：)(gm解解2110sin22Jmgl3singL方法二：对刚体利用机械能守方法二：对刚体利用机械能守恒定律恒定律例例1414 .一长为一长为l l，质量为，质量为MM的杆可

22、绕支点的杆可绕支点o o自由转动。一自由转动。一质量为质量为mm，速度为，速度为v v的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为a a的棒内。若棒的棒内。若棒偏转角为偏转角为3030。问子弹的初速度为多少。问子弹的初速度为多少。解：解：角动量守恒：角动量守恒：2231maMlamv机械能守恒：机械能守恒：30cos1230cos13121222lMgmgamaMl 22323261maMlmaMlgma voalv3030例例1515、如图质量为、如图质量为MM的匀质强细棒可以在竖直平面内的匀质强细棒可以在竖直平面内绕通过其中心绕通过其中心OO的水平轴转动，开始的水平轴转动，开始 时细棒静止在水时细

23、棒静止在水平位置。一质量为平位置。一质量为mm的小球以速度的小球以速度 u u垂直落到棒的垂直落到棒的 端端点。设小点。设小 球与棒作为弹性碰撞。求碰撞后，小球的回球与棒作为弹性碰撞。求碰撞后，小球的回跳速度跳速度 V V以及棒的角速度以及棒的角速度 是多少？是多少？llouz0)(mulmvlJ 222212121mvJmu mMmMuv3)3(lmMmu)3(6 第五章刚体的定轴转动第五章刚体的定轴转动 总结总结概念概念:刚体，转动惯量，力矩的功，转动刚体，转动惯量，力矩的功，转动动能动能理论理论:刚体的定轴转动定律，刚体的机械刚体的定轴转动定律，刚体的机械能守恒能守恒质点的牛顿定律和刚体的定轴转动定律可质点的牛顿定律和刚体的定轴转动定律可类比。类比。d()dzzzJMJt2zJ=r dm 221 JEk