《高等数学》第二章第二节课件.ppt

1、上页下页结束返回首页复 习1.1.导数的定义导数的定义:2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.4.可导可导 连续连续;5.5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.6.判断可导性判断可导性不连续不连续 不可导不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000上页下页结束返回首页第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等

2、函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 上页下页结束返回首页思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1)(C)sin(x)ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容上页下页结束返回首页一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、差、差、积、积、商商(除分母除分母为为 0的点外的点外)都在点都在点 x 可导可导,且且)()()()()1(xvxux

3、vxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并同时给出相应的推论和例题例题.)0)(xv上页下页结束返回首页此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设设,则则vuvu)()1()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立.wvuwvu)(,例如例如例如,上页下页结束

4、返回首页(2)vuvuvu)(证证:设设,)()()(xvxuxf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu)log()3xaaxlnlnaxln1(C为常数为常数)上页下页结束返回首页例例1.解解:xsin41(21)1sin,)1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23(xx)1xy1cos4)1sin43(

5、1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx上页下页结束返回首页)()(lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证:设设)(xf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC(C为常数为常数)上页下页结束返回首页)(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2.

6、求证求证,sec)(tan2xx证证:.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx上页下页结束返回首页 )(xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导,证证:在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 dd

7、xy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf11上页下页结束返回首页1例例3.求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设设,arcsin xy 则则,sin yx,)2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用0cosy,则则上页下页结束返回首页2)设设,)1,0(aaayx则则),0(,logyyxa)(xa

8、)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e()arcsin(x211x)arccos(x211x)arctan(x211x)cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当特别当ea时时,小结小结:上页下页结束返回首页在点在点 x 可导可导,lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu)(ufy 在点在点)(xgu 可导可导复合函数复合函数 fy)(xg且且)()(ddxgufxy在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导,故故)(lim0ufuyuuuufy)(（当（当 时时

9、 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy上页下页结束返回首页例如例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.上页下页结束返回首页例例4.求下列导数求下列导数:.)(sh)3(;)()2(;)()1(xxxx解解:(1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 x

10、exexch说明说明:类似可得类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax上页下页结束返回首页例例5.设设,)cos(lnxey 求求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考:若若)(uf 存在存在,如何求如何求)cos(lnxef的导数的导数?xfdd)cos(ln(xef)cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习:设设,)(xfffy.,)(yxf求可导其中上页下页结束返回首页例例6.设设,)1(ln2xxy.y求解解:y112

11、xx11212xx2112x记记,)1(lnarsh2xxx则则)(arsh x112x(反双曲正弦反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见其它反双曲函数的导数见 P94例例16.2shxxeex的反函数的反函数上页下页结束返回首页四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数(P94)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(

12、arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x上页下页结束返回首页2.有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数为常数)0(v3.复合函数求导法则复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xuf4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,)(C0)(sin xxcos)(ln xx1由定义证由定义证,说明说明:最基本的公式最基本的公式uyddxudd其它公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数上页下页结束返回首页例例7.求求解解:,1

13、111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2(x112xx例例8.设设),0(aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求求.yaaxln上页下页结束返回首页例例9.求求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan)(2xy)(2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导上页下页结束返回首页例例10.设设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解:

14、y22)1(1121x21xx)11ln()11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx上页下页结束返回首页内容小结内容小结求导公式及求导法则求导公式及求导法则 (见见 P94)注意注意:1),)(vuuvvuvu2)搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗对吗?2114341xx上页下页结束返回首页2.设设,)()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxa

15、x)()(lim)(limxax)(a阅读阅读 L.P 51 例例1 正确解法正确解法:)(af 时时,下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,上页下页结束返回首页3.求下列函数的导数求下列函数的导数解解:(1)1bxaby2xa1bbxba(2)y)(x.)2(,)1(xbbayxayxbabalnxabbaln或或xabyababxln上页下页结束返回首页4.设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解:方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导

16、公式.)(xf)(xx)99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f上页下页结束返回首页作业作业P 96 2(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(4),(8);12 (3),(8),(10)上页下页结束返回首页备用题备用题 1.设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x2.设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f)(xf)(xf 其中)(xf可导,求.y求.y机动 目录 上页 下页 返回 结束