《高等数学下教学》new-11-课件3.ppt

1、1=1110 1 (1)(31)(2)(0,0)1 (3)1nnnnnnnnanabbnn 例例判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性，。，211 lim0(!)nnnn 例例证证明明：。111112 0 0 nnnnnnnnnnababbaba 例例设设，且且。若若级级数数收收敛敛,则则级级数数也也收收敛敛。电气学院学习部资料库一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数.111(1)(1)nnnnnnuu 或或)0(nu其中其中3 3 交错级数与任意项级数交错级数与任意项级数111111 0,lim0,(1)(1).设

2、设(n n=1 1,2 2,)且且则则交交错错级级数数收收敛敛且且余余和和的的绝绝对对值值nnnnnnnnnNnNnNuuuuuruu定理定理1(Leibnitz1(Leibnitz判别法判别法)电气学院学习部资料库证明证明:nnnnuuuuuus212223212)()(又又21234212()()()nnnsuuuuuu 且且1u,01 nnuu.lim12ussnn ,0lim12 nnu2,ns 数数列列是是单单调调增增加加的的2,ns 数数列列是是有有界界的的)(limlim12212 nnnnnuss,s 电气学院学习部资料库.,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 n

3、nnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.121(1).lnnnn例1.判断交错级数的敛散性例1.判断交错级数的敛散性解解:1lnnun单单调调递递减减,1limlnnn且=0,且=0,121(1).lnnnLeibnitzn故故由由判判别别法法知知交交错错级级数数收收敛敛电气学院学习部资料库11(1)(1-.innne例例3.3.讨讨论论级级数数)的的敛敛散散性性解解:11cossin,ineinn由于故由于故11111111(1)(1-(1)(1-cos)(1)sininnnnnnneinn)=11(1)(0).npnpn例

4、例2.2.判判断断交交错错级级数数的的敛敛散散性性解解:1pn单单调调递递减减,1limpnn且且=0,=0,11(1).npnLeibnitzn故故由由判判别别法法知知交交错错级级数数收收敛敛电气学院学习部资料库111cos0,sin0,nn因因 所以上述复级数的实部级数所以上述复级数的实部级数和虚部级数都是交错级数和虚部级数都是交错级数.又因又因 1111sinsin,1cos1cos11nnnn且且11lim(1cos)0,limsin0,nnnn由由LeibnitzLeibnitz判别法知交错级数判别法知交错级数11111(1)(1-cos)(1)sin nnnnnn和和都都收收敛敛，

5、11(1)(1-.innne再再由由复复级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件知知级级数数)收收敛敛电气学院学习部资料库二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.证明证明:1()(1,2,),2nnnvuun令令 ,0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.11.设是实数列,若收敛,则也收敛设是实数列,若收敛,则也收敛nnnnnuuu定理定理2 2电气学院学习部资料库定义定义2 2 11.nnnnnuuu 设设是是实实数数列列或或复复数数列列,

6、若若级级数数收收敛敛,则则绝绝对对收收敛敛说说级级数数定理定理3 3 11.nnnnnuuu 设设是是实实数数列列或或复复数数列列,若若级级数数收收敛敛,则则级级数数必必定定收收敛敛证明证明:nu若若是是实实数数列列,由由定定理理2 2知知结结论论成成立立.(1,2,),现假定是复数列:现假定是复数列:nnnnuuaibn这时这时,(1,2,),nnnnaubun电气学院学习部资料库111.因级数收敛,由比较判别法知,正项级数因级数收敛,由比较判别法知,正项级数和都收敛和都收敛nnnnnnuab11由定理2,级数和都收敛.由定理2,级数和都收敛.nnnnab111=nnnnnnuaib:从而根

7、据复数项级数收敛的充要条件知 级数从而根据复数项级数收敛的充要条件知 级数收敛收敛.1(43)6nnni例例4 4 判判别别级级数数的的敛敛散散性性.电气学院学习部资料库例例5.5.1(1)2判别级数的敛散性.判别级数的敛散性.nnnni解解:11(1),22=nnnnnnin1 2nnn收收敛敛，1(1)2nnnni因因此此，级级数数绝绝对对收收敛敛,由定理由定理3 3知知:此级数收敛此级数收敛.1 limlim122nnnnnna且且电气学院学习部资料库定理定理3 3的作用：的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数注注:由定理由定理3 3知绝对收敛必收敛知绝对收敛必收敛,但反之不对但反

8、之不对.定义定义3 3111 ,.nnnnnnuuu若若级级数数收收敛敛 而而级级数数发发散散,则则说说级级数数条条件件收收敛敛电气学院学习部资料库例例6.6.2lnnnin证证明明级级数数条条件件收收敛敛.证明证明:221,lnlnnnninn11,ln而而nn21,nn级级数数发发散散21,lnnn由由比比较较判判别别法法知知级级数数发发散散2lnnnin所所以以也也发发散散.电气学院学习部资料库另一方面另一方面,21111(1)(1),lnln(2)ln(21)nkknkkiinkk而而11,ln(2)ln(21)和关于 单调减少和关于 单调减少kkk 11 lim0,lim,ln(2)

9、ln(21)kkkk且且=0=0111(1)ln(2)1(1),ln(21)由判别法知级数和由判别法知级数和均收敛均收敛kkkkLeibnitzkk2.lnnnin故故级级数数收收敛敛得证得证.电气学院学习部资料库11221 (1)(1)(2)(1)2(1)1 (3),(4)sin().(1)nnnnnnnnnnnnnn 例例7 7 判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性，并并指指出出是是条条件件收收敛敛，还还是是绝绝对对收收敛敛。电气学院学习部资料库例例8.8.1(1),npnpn是是实实数数,讨讨论论级级数数何何时时绝绝对对收收敛敛 何何时时条条件件收收敛敛,何何时时发发散散.解解:(1

10、)0,limppnpn如如果果0,0,故故原原级级数数发发散散.0,如果如果 p 11(1)1 pppnnpnn是是级级数数.1,;当时 此级数收敛当时 此级数收敛p 01,p当当时时 此此级级数数发发散散,11,lim0,但这时单调减少 且但这时单调减少 且ppnnnn1(1)pnLeibnitzn由由判判别别法法知知交交错错级级数数收收敛敛.电气学院学习部资料库n1(1)pnn级级数数综上所述综上所述,1 时,时,p 绝对收敛,绝对收敛,01 时,时,p条件收敛,条件收敛,0 时时.p 发散,发散,1111|nnnnnnnn 注注记记：一一般般地地，级级数数发发散散，则则级级数数不不一一定

11、定发发散散。但但是是如如果果比比值值法法或或根根值值用用得得到到级级数数发发散散，则则级级数数法法一一定定发发散散。电气学院学习部资料库定理定理5(Cauchy5(Cauchy定理定理)1111 112211111 ,()().nnnnnknknknnuvsCauchyu vu vu vu vu vu vs 若若级级数数和和都都绝绝对对收收敛敛 其其和和分分别别为为 和和则则它它们们的的乘乘积积也也是是绝绝对对收收敛敛且且其其和和为为 定理定理4 4 绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛,且且其和不变其和不变.电气学院学习部资料库四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun电气学院学习部资料库