人教版八年级下册数学第十六章二次根式全套课件.ppt

1、,人教版八年级下册数学优质课件（RJ）,（课件全套）,用心整理 精心汇编,第十六章 二次根式,16.1 二根次式,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次根式的概念,1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）,导入新课,情景引入,里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？,你们是根据哪些特征猜出的呢？,下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.,通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？,“数学根本上

2、是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” -中科院数学与系统科学研究院 李邦河,复习引入,问题1 什么叫做平方根?,一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.,问题2 什么叫做算术平方根?,如果 x2 = a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.,问题3 什么数有算术平方根?,我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.,思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？,(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m,(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m,图

3、,图,（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_,问题1 这些式子分别表示什么意义？,分别表示2，S，3， 的算术平方根,上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ,讲授新课,根指数都为2;,被开方数为非负数.,问题2 这些式子有什么共同特征？,归纳总结,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.,注意：a可以是数，也可以是式.,例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,解：,(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大

4、于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.,是否含二次根号,被开方数是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否,分析：,典例精析,例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义?,解：由x-20，得,x2.,当x2时， 在实数范围内有意义.,【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：由题意得x-10，,x1.,解：被开方数需大于或等于零， 3+x0，x-3. 分母不能等于零， x-10，x1. x-3 且x1.,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.,【变式题2】当

5、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：(1)无论x为何实数， 当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20， 无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.,被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；,(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：,(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A0；,(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A0且B0.,归纳总结,1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ）,A.3个 B.4个 C.5

6、个 D.6个,B,2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;,(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.,x 1,x 0且x2,练一练,问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？,前者x为全体实数；后者x为正数和0.,当a0时， 表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时， 0.,问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：,（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0； （2）

7、表示一个数或式的算术平方根，可知 0.,二次根式的被开方数非负,二次根式的值非负,二次根式的双重非负性,归纳总结,例3 若 ，求a -b+c的值.,解：,由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4.,所以a-b+c=2-3+4=3.,多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.,典例精析,例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.,解：由题意得 x=3，y=8， 3x+2y=25. 25的算术平方根为5， 3x+2y的算术平方根为5,【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长

8、,解：由题意得 a=3， b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11,若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.,已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根,解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0 解得x=1，y=2 x+4y=1+24=9， x+4y的平方根为3.,练一练,当堂练习,2.式子 有意义的条件是 （ ）,A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.当x=_时，二次根式 取最小值，其最小值 为_,1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）,C,A,-1,0,4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内

9、有 意义？,5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围,解：由题意得m-20且m2-m-20， 解得m2且m-1，m2， m2,(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围,解：由题意得x2+6x+m0， 即(x+3)2+m-90. (x+3)20， m-90，即m9.,6.若x，y是实数，且y ,求 的值.,解：根据题意得， x=1. y , y ， .,7.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)0 由乘法法则得 解得x1 或x0 即当x1 或x0时， 有意义.,能力提升：,体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？,解：由题意得 则

10、解得x2或x ， 即当x2或x 时， 有意义,课堂小结,二次根式,定义,带有二次根号,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.,被开方数为非负数,二次根式的双重非负性,二次根式 中,a0且 0,16.1 二根次式,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 二次根式的性质,1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点） 2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）,导入新课,情景引入,问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,a,a0,1,我们都

11、是非负数哟,问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,1,16,4,1,a,a为任意数,我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.,思考 你发现了什么？,正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又面积为a， 即 .,讲授新课,活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？,这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？,活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？,.,算术平方根,平方运算,0 2 4 .,a(a0

12、),02 = 0 .,观察两者有什么关系？,22 = 4,4,2,0,根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：,是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.,归纳总结,的性质：,一般地， a (a 0).,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.,注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.,典例精析,例1 计算：,解：,(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？,积的乘方： （ab）2=a2b2,例2 在实数范围内分解因式：,解：,本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数

13、范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.,练一练,计算：,解:,.,平方运算,算术平方根,2 0.1 0 .,a(a0),2 .,观察两者有什么关系？,填一填：,a (a0).,.,平方运算,算术平方根,-2 -0.1 .,2 .,观察两者有什么关系？,a(a0),思考：当a0时， =,？,-a,归纳总结,a (a0),-a (a0),即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.,的性质：,例3 化简：,解：,计算：,练一练,解:,辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,议一议：如何区别 与 ？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算

14、结果看,先开方,后平方,先平方，后开方,a0,a取任何实数,a,|a|,意义,表示一个非负数a的算术平方根的平方,表示一个实数a的平方的算术平方根,例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:,解：由数轴可知a0，b0，a-b0， 原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.,a,b,【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .,解：根据数轴可知ba0， a+2b0，a-b0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b,利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.,例5 已知a、b、c是A

15、BC的三边长，化简：,解：a、b、c是ABC的三边长， a+bc，b+ca，b+ac， 原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c,分析：,利用三角形三边关系,三边长均为正数，a+bc,两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0,用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.,概念学习,数,表示数的字母,想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？,代数式,整式,分式,二次根式,（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，

16、船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；,例6,解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h,（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.,（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为,列代数式的要点： 要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； 理清语句层次明确运算顺序； 牢记一些概念和公式,归纳总结,1.在下列各式中，不是代数式的是（ ） A.7 B.32 C. D,B

17、,练一练,2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_.,方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“”或“”等.,当堂练习,1.化简 得（ ） A. 4 B. 2 C. 4 D.-4,C,2. 当1x3时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1,D,3.下列式子是代数式的有 ( ),a2+b2 ; ; 13; x=2; 3（4 5）; x10; 10x+5y=15 ; ,A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,C,4.化简： （1） ; （2） ; （3） ; （4） .,3,7,4,81,5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .

18、,1,6.利用a （a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .,7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.,解：由题意得a+20，-4-2a0， a=-2， .,(2)已知a为实数，求代数式 的值.,解：由题意得-a20，又a20， a2=0，a=0， ,能力提升：,课堂小结,二次根式,性质,拓展性质,|a|（a为全体实数）,16.2 二根次式的乘除,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次根式的乘法,1.理解二次根式的乘法法则.（重点） 2.会运用二次根

19、式的乘法法则和积的算术平方根的性 质进行简单运算.（难点）,导入新课,情景引入,近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就，无论是嫦娥探测器还是玉兔月球车，既体现了中华民族传统文化的意味，又契合了我国和平利用太空的意愿，下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频：,问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.,第一宇宙速度v1可以表示为 .,问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速

20、度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.,第二宇宙速度v2可以表示为 .,思考 若已知地球半径R6371km及重力加速度g10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？,(1) _=_;,=_;,讲授新课,计算下列各式:,(2) _=_;,(3) _=_;,=_;,=_.,2,3,6,4,5,20,5,6,30,观察两者有什么关系？,观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：,(1),(2),(3),思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？,猜测：,你能证明这个猜测吗？,求证：,证明：根据积的

21、乘方法则，有,就是ab算术平方根.,又 表示ab算术平方根，, .,证一证,一般地，对于二次根式的乘法是,语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.,二次根式的乘法法则:,二次根式相乘，_不变，_相乘.,根指数,被开方数,归纳总结,注意：a,b都必须是非负数.,典例精析,例1 计算:,解:,(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .,可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则,例2 计算:,解:,当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .,问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？,试回顾如

22、何计算3a22a3= .,6a5,提示：可类比上面的计算哦,二次根式的乘法法则的推广：,归纳总结,多个二次根式相乘时此法则也适用，即,当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即,例3 比较大小(一题多解):,解：(1)方法一： ， ， 又2027， ，即 .,方法二： ， ， 又2027， ，即 .,解：(2) ， ， 又5254， ， ,即,比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小 被开方数大的，其算术平

23、方根也大.也可以采用平方法.,两个负数比较大小，绝对值大的反而小,A. B. C. D.,1.计算 的结果是 ( ),A. B.4 C. D.2,B,2.下面计算结果正确的是 ( ),D,3.计算： _.,30,练一练,这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”,我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.,语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.,解：（1） ；,例4 化简：,（1） ；（2） ,（2）,(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.,（1） ； （2） ,【变式题】 化简：,解：（1） （2）,当二次根式内的

24、因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.,例5 计算：,（1） ；（2） ； （3） ,解：（1）,（2）,（3）,3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 = 把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .,1.把被开方数分解因式(或因数) ；,2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因 式(或因数)的算术平方根的积；,化简二次根式的步骤：,归纳总结,1. 计算：,解：,练一练,易错提醒： 中，a,b必须是非负数.,2.下面是意大利艺术家列奥纳多达芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积.,解：它的面积为,当堂练习,1.若 ，

25、则 （ ） Ax6 Bx0 C0x6 Dx为一切实数,A,2.下列运算正确的是 （ ）,A.,B.,C.,D.,D,4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“”“” 或“=”）：,3. 计算：,5.计算：,6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.,(1)已知 , ，求S；,解：S = ab = = = =,（2）已知 , ，求S.,解：S = ab = = = =240.,7.已知 试着用a,b表示 .,解：,能力提升：,课堂小结,二次根式乘法,法则,性质,拓展法则,16.2 二根次式的乘除,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 二次根式的除法,1.了解二次

26、根式的除法法则.（重点） 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点） 3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）,站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .,导入新课,情景引入,解：,问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？,问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？,问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？,解：,二次根式的除法该怎样算呢,解：,思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？,(1) _=_

27、;,= _;,讲授新课,计算下列各式:,(2) _=_;,(3) _=_;,= _;,= _.,2,3,4,5,6,7,观察两者有什么关系？,观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：,(1),(2),(3),思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？,特殊,一般,议一议,问题 在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？,不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.,a,b同号就可以啦,你们都错啦，a0，b0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦,归纳总结,二次根式的除法法则:,文字叙述:,算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.,当

28、二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得,例1 计算：,解:,除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算,典例精析,解:,类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.,我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.,语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.,我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.,类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到,二次根式的商的算术平方根的性质:,例2 化简:,解:,还有其他解法吗?,补充解法：,典例精析,解：,先商的算术平方根的性质，再运用积的平方根

29、性质,1.能使等式 成立的x的取值范围是（ ） A.x2 B.x0 C.x2 D.x2,C,2.化简：,解：,练一练,问题1 你还记得分数的基本性质吗？,分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即,问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子分母的根号吗？,是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？,下面让我们一起来做做看吧：,把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.,概念学习,例3 计算:,解:,典例精析,分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使分母不含根号.,满足如下两个特点：,（1）被开方数不含分母；,（2）被开方数中不含能开

30、得尽方的因数或因式.,我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.,简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.,归纳总结,在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.,在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简,解：只有(3)是最简二次根式；,练一练,例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.,解: ,例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高

31、空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？,解:由题意得,当堂练习,1.化简 的结果是（ ） A9 B3 C D,B,2.下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D.,C,3.若使等式 成立，则实数k取值范围是 （ ）,B,A.k1 B.k2 C. 1k2 D. 1k2,4.下列各式的计算中，结果为 的是（ ） A. B. C. D.,C,5. 化简：,解:,6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=

32、100欧姆，t=15秒试求电流I,解：当W=2400，R=100，t=15时，,7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？,解：刘敏说得不对，结果不一样理由如下： 按 计算，则a0，a-30或a0，a-30, 解得a3或a0； 而按 计算，则a0，a-30, 解得a3,能力提升：,课堂小结,二次根式除法,法则,性质,拓展法则,相关概念,分母有理化,最简二次根式,16.3 二根次式的加减,第十六章 二次根式,导入新课,

33、讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次根式的加减,16.3 二根次式的加减,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 二次根式的混合运算,1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）,导入新课,问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?,问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?,m(a+b+c)=ma+mb+mc；,(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb,复习引入,(ma+mb+mc)m=a+b+c,分配律,单多,转化,前面两个问题的思路是：,思考 若把字母a,b,c,m

34、都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？,单单,讲授新课,二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.,例1 计算：,解：,二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.,解：,此处类比“多项式多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.,解：(1)原式,(2)原式,【变式题】计算：,有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.,例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基

35、的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积路基的长度)为多少立方米呢？,典例精析,解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：,答：这段路基的土石方为,计算：,练一练,问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?,平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;,完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;,(a-b)2=a2-2ab+b2.,问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?,整式的乘法公式就是多项式多项式,前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以

36、适用哟,例3 计算：,解：,典例精析,解：,进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.,【变式题】计算：,解：(1)原式,(2)原式,计算：,练一练,先用乘法交换律，再用乘法公式化简.,例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.,解： x2+2xy+y2=（x+y)2,把 代入上式得,原式=,解: ， x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy(x+y)2-2xy,【变式题】 已知 ，求x3y+xy3.,用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的

37、值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值.,在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:,拓展探究,思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？,根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？,例4 计算:,解:,分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.,【变式题】 已知 ,求 .,解:,解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.,已知 的整数

38、部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.,解：,练一练,当堂练习,1.下列计算中正确的是（ ）,B,2.计算：,5,3.设 则a b(填“”“ ”或 “= ”）.,=,4.计算：,解：,解：原式,5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.,解：由题意得,即剩余部分的面积是,6.(1) 已知 ，求 的值；,解：x2-2x-3=(x-3)(x+1),(2)已知 ，求 的值.,解：,6.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：,方法一：,方法二：,能力提升：,(1)请用两种不同的方法化简： (2)化简

39、：,解：(1),课堂小结,二次根式混合运算,乘法公式,化简求值,分母有理化,化简已知条件和所求代数式,(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,小结与复习,第十六章 二次根式,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,要点梳理,1二次根式的概念 一般地，形如_(a0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： 带有二次根号；被开方数是非负数，即a0. 易错点 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.,2二次根式的性质: 3最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根

40、式 (1)被开方数不含_； (2)被开方数中不含能_的因数或因式,开得尽方,分母,4二次根式的乘除法则： 乘法： _(a0，b0)； 除法： _(a0，b0) 可以先将二次根式化成_，再将_的二次根式进行合并,被开方数相同,最简二次根式,5二次根式的加减：,类似合并同类项,逆用也适用.,注意平方差公式与完全平方公式的运用！,6二次根式的混合运算,有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.,例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:,解:(1)由题意得,(3)(a+3)20，a为全体实数；,(4)由题意得 a0且a1.,考点讲练,求二次根式中字母的取值范围

41、的基本依据：,被开方数大于或等于零；,分母中有字母时，要保证分母不为零.,1.下列各式： 中，一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,B,2.求下列二次根式中字母的取值范围:,解得 - 5x3.,解：(1) 由题意得 x=4.,(2) 由题意得,例2 若 求 的值.,解： x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则,【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为0.,考点二 二次根式的性质,初中阶段主要涉及三种非负数： 0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.,例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：,解：由数轴可以确定a0， 原式=-a-(-a)+b=b.,解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.,4.若1a3,化简 的结果是