两个计数原理的应用课件.ppt
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1、两个计数原理的应用两个计数原理的应用 412 4【例1名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,有多少种报名方法?名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军,共有多少】种可能的结果?【解析】(1)每人选报一个项目,都有三种选法,当每个人的项目选定后,这件事才算完成.故由分步计数原理,知共有3333=81种不同的报名方法.(2)若以学生获得冠军的可能性考虑,第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军,跑步得冠军,跳高得冠军,跳远得冠军),但考虑第二位学生时,并不是有4种可能,他受到第一位学生得冠军的可能性的影响,因为第二位学生要获得冠军,要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况,考虑第三位、第
2、四位获得冠军,相同的情况就会变得越来越复杂.显然,以学生获得冠军的可能性来分步,会使解决问题更加困难.若以每个项目冠军产生的可能性考虑,问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军,事情才算完成,每个项目的冠军只有一个,4个人都有可能获得某个项目的冠军,所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理,知共有可能的结果为444=64种.应用分步计数原理时,也要明确分步的标准应用分步计数原理时,也要明确分步的标准.分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,各个步骤完成了,这件事才算完互依存的,各个步骤完成了,这件事才算完成成.本题中第本题中第(1
3、)问,是以人来分步的,每人选问,是以人来分步的,每人选报一个项目,都有三种选法,报一个项目,都有三种选法,4个人都选定了个人都选定了项目,这件事就完成了;第项目,这件事就完成了;第(2)问是以项目分问是以项目分步的,每个项目的冠军都有步的,每个项目的冠军都有4种可能的结果,种可能的结果,三个项目的冠军确定了,这件事就完成了三个项目的冠军确定了,这件事就完成了.11,2,34,521,2,3,4,51bABABa已知集合,则从 到 的函数共有多少个?取五个数字中不同的两个数字分别作为 中的底数和指数,得到的幂的不同值【变有式练习】多少个?422 2 2812111444 416241 16 11
4、6bABaaaab 完成这件事情要分三步,每一步中有两种方法,由分步乘法原理,得从 到 的函数共有个先分类:第一类,若,则;第二类,若,则 有 种选法,也有 种选法,由分步乘法计数原理,得有个不同的幂,再减去重复的一【解析个,所以共有】个不同的幂排列问题排列问题 .2712人站成一排照相要求甲、乙、丙三人相邻,有多少种不同的站法?要求甲、乙、丙三人不相邻,有多少种不【例】同的站法?【解析】(1)分两步:甲、乙、丙捆绑在一起,有=6种方法;把甲、乙、丙三人看成一个人,与其他4人共5个元素做全排列,有=120种方法.所以有=6120=720种不同的站法.(2)分两步:先将其他4人站成一排,有=24
5、种方法;再将甲、乙、丙三人插入到这4人的空隙中(包括两端),有=60种方法.所以有=1440种不同的站法.33A55A3535A A 44A35A4345A A 排列问题中的难点就是定位排列,捆绑和插入是两种重要的解题思想方法.元素相邻,先将其捆绑并看成一个“大”的元素与其他元素进行排列,再对捆绑的元素进行排列,这就是“捆绑法”;元素不相邻,先把其他元素进行排列,再把不相邻元素插入先排好的元素(包括两端的空隙)之间,这就是“插空法”.【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数1234241=2=4 3 2=242 2448()本题是数字组数问题,有特殊元素和特殊位
6、置,先考虑特殊位置个位,个位上数字可以从 和 中选择 个,有种排法,其余三个数位上的数字从余下的四个数中任取三个排列,有种排法于是由分步计数原理,得符合题意的偶数共有】【解个析AA 组合问题组合问题【例3】从从7名男同学和名男同学和5名女同学中,选出名女同学中,选出5人,分人,分别求符合下列条件的选法总数为多少?别求符合下列条件的选法总数为多少?(1)A、B必须当选;必须当选;(2)A、B都不当选;都不当选;(3)A、B不全当选;不全当选;(4)至少有至少有2名女同学当选;名女同学当选;(5)选出选出3名男同学和名男同学和2名女同学,分别担任体育名女同学,分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的
7、工作,但体育委员必委员、文娱委员等五种不同的工作,但体育委员必须由男同学担任,文娱委员必须由女同学担任须由男同学担任,文娱委员必须由女同学担任.【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可,有=120种;(2)5个人全部从另外10人中选,总的选法有=252种;(3)直接法:分两类:A、B一人当选,有=420种;A、B都不当选,有=252种;所以总的选法有420+252=672种;间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数,得到总的选法有=672种;310C510C14210C C510C531210CC(4)直接法:分四步:选2名女生,有=1035=350
8、种;选3名女生,有=210种;选4名女生,有=35种;选5名女生,有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种;间接法:从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和,即总选法有=596种;2357C C3257C C4157C C55C551412757CCC C (5)分三步:先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种;再选出2男1女,补足5人的方法有=60种;最后为第二步选出的3人分派工作,有=6种方法.所以总的选法有35606=12600种.1175C C2164C C33A组合应用题是计数问题中的核心问题,题目呈现方式通常由关键词表现出来
9、,如“至多”“至少”“平均分摊”等.解决的方法一般有分组法、排除法、间接法.要注意掌握几何问题、分配问题、分组问题的处理方法.1010(10)(10)平面上给定 个点,任意三点不共线,由这个点确定的直线中,无三条直线交于同一点 除原 点外,无两条直线互相平行求这些直线的交点个数 除原【变式练3】点外习2102452922459104545101091010630().CCCCC由题设知,这个点所确定的直线是条,这条直线除原点外无三条直线交于同一点,任意两条直线相交于一个点,共有个交点,而在原来点上有 条直线共点于此,所以,在原来点上有点被重复计数,所以这些直线【新的交点是】个解析排列与组合的综
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