天津市南开区高三下学期数学三模试卷及答案.pdf

1、 高三下学期数学三模试卷 高三下学期数学三模试卷一、单选题一、单选题1设全集为=1，2，3，4，5，6，=2，3，5，=2，5，6，则 ()=（）A1，4B2，5C6D1，3，4，62已知命题：2 2+3和命题：|1|2，则 p 是 q 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在9，11)的学生人数为25，则的值为（）A40B50C60D704函数=ln2+2，(2，2)的图象大致为（）ABCD5已知函数()是定义在上

2、的偶函数，且()在0，+)单调递增，记=(log132)，=(2.30.3)，=(log210)，则 a，b，c 的大小关系为（）A B C D 0)的图象向左平移3个单位，得到函数=()的图象，若函数()在区间0，4上单调递增，则的值可能为（）A73B13C3D47已知双曲线：2222=1(0，0)的左顶点与抛物线2=2(0)的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1，2)，则双曲线的焦距为（）A6 5B3 5C6 3D3 38已知三棱锥中，侧面 ABC底面 BCD，ABC 是边长为 6 的正三角形，BCD 是直角三角形，且=2，=4，则此三棱锥外接球的表面积为（

3、）A36B48C64D1289设函数()=|21|，函数()=()log(+1)，(0，1)在0，1上有 3 个不同的零点，则实数的取值范围为（）A(1，32)B（1，2）C(32，2)D(2，+)二、填空题二、填空题10i 是虚数单位，则1+3+4的虚部为 11若(2)的展开式中各项的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为 12设直线 +3=0 与圆(1)2+(2)2=4 相交于 A,B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则 =.13已知 0，0，+=1，则1+3+12+的最小值为 14为了抗击新冠肺炎疫情，现在从 A 医院 200 人和 B 医院 100 人中，按分层抽样的方法，选出

4、 6人加入“援鄂医疗队”，再从此 6 人中选出两人作为联络员，则这两名联络员中 B 医院至少有一人的概率是 .设两名联络员中 B 医院的人数为，则随机变量的数学期望为 .15在等腰梯形中，已知/，=4，=2，=60，动点 E 和 F 分别在线段和上，且=，=19，当=时，则 有最小值为 三、解答题三、解答题16已知 中，角，的对边分别为，=1，=2，=3.（1）求：（2）求(2)；（3）求的长.17如图，在四棱锥中，底面是边长为 4 的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O 分别是 PC，PD，BC，AD 的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）线段 PA 上是否存

5、在点 M，使得直线 GM 与平面所成角为6，若存在，求线段 PM 的长；若不存在，说明理由.18已知焦点在 x 轴上，中心在原点，离心率为32的椭圆经过点(2，1)，动点 A，B（不与点 M 重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为 1（1）求椭圆的方程；（2）证明直线经过定点，并求这个定点的坐标19已知数列是公比 1的等比数列，前三项和为 13，且1，2+2，3恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项（1）求和的通项公式；（2）已知 ，数列满足=1+2，=21，=2，求数列的前 2n 项和2；（3）设=(810)1(2+1)(2+2+1)，求数列的前 n 项和20已知函数()=122+(+1

6、)()，记()的导函数为()（1）讨论()的单调性；（2）若()有三个不同的极值点1，2，3，其中1 2 3求的取值范围；证明：(3)(1)(2).答案解析部分答案解析部分1【答案】A2【答案】A3【答案】B4【答案】D5【答案】A6【答案】B7【答案】A8【答案】C9【答案】C10【答案】12511【答案】6012【答案】013【答案】2 2+3514【答案】35；2315【答案】23；58916【答案】（1）解：=1，0 ，=4，由正弦定理sin=sin可得，sin=sin=2 223=13（2）解：sin=13且 ，=4，cos=1sin2=119=2 23，cos2=2cos21=79

7、，sin2=2sincos=4 29，(2)=cos2cos+sin2sin=7922+4 2922=8+7 218（3）解：sin=sin()=sin(4+)=22(cos+sin)=221+2 23=4+26，由正弦定理，sin=sin可得=sinsin=3 4+2622=2 2+117【答案】（1）证明：因为 是正三角形，O 是 AD 的中点，所以 .又因为 平面，平面，所以 .=，AD，平面，所以 面（2）解：如图，以 O 点为原点分别以 OAOGOP 所在直线为 x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系.则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(2，4，0)，(2，0，0)，(

8、0，4，0)，(0，0，2 3)，(1，2，3)，(1，0，3)，=(0，2，0)，=(1，2，3)设平面的法向量为=(，)，所以 =0 =0，即2=0+2 3=0，令=1，则=(3，0，1)，又平面的法向量=(0，0，1)，所以|cos，|=|=1(3)2+12 1=12.所以平面与平面所成角为3.（3）解：假设线段 PA 上存在点 M，使得直线 GM 与平面所成角为6，则直线 GM 与平面法向量所成的夹角为3，设=，0，1，=(2，0，2 3)，(2，0，2 32 3)，所以=(2，4，2 3(1)，所以cos3=|cos，|=32 426+7，整理得223+2=0，0)，由离心率为32，

9、得=32，又因为2=2+2，所以2=42由(2，1)在椭圆上可得42+12=1，解得2=2，2=8所以椭圆的方程为28+22=1（2）证明：当直线与 x 轴垂直时，设(，)(1)，则(，)由题意得：12+12=1，即=0所以直线的方程为=0当直线不与 x 轴垂直时，可设直线为=+，(1，1)，(2，2)，将=+代入28+22=1得(1+42)2+8+428=0，所以1+2=81+42，1 2=4281+42由已知可得1112+2122=1，将1=1+和2=2+代入，并整理得(21)12+(2+1)(1+2)4=0，将1+2=81+42，1 2=4281+42代入，并整理得2+(2+1)+42=

10、0，可得(2+1)(+2)=0，因为直线：=+不经过点(2，1)，所以2+1 0，故=2所以直线的方程为=2，经过定点(0，2)综上所述，直线经过定点(0，2)19【答案】（1）解：1+2+3=132(2+2)=1+31(1+2)=131(12+2)=41=1=3或1=9=13，又 1，则1=1=3，=31（）设等差数列的公差为，由题意得，1=1=1，3=2+2=3+2=5，即1=11+2=5,1=1=2，所以=21（）（2）解：=21时，=21=1212+1=1(43)(4+1)=14(14314+1)，奇=1+3+5+21=14(1115)+14(1519)+14(19113)+14(14

11、314+1)=14(1115+1519+19113+14314+1)=14(114+1)=4+1=2时，=2=22=(41)321偶=2+4+6+2偶=3 31+7 33+11 35+(41)321，9偶=3 33+7 35+(45)321+(41)32+1，由可得，8偶=3 31+4 33+4 35+4 321(41)32+1=9+4 334 321 919(41)32+1偶=(83)32+1+9162=奇+偶=4+1+(83)32+1+916（）（3）解：由（1）知=31，则=(810)1(2+1)(2+2+1)=(810)311(2 31+1)(2 3+1+1)=12(12 31+1+1

12、2 3+1+1)=12(02 30+122 32+1)+12(12 31+132 33+1)+12(22 32+142 34+1)+12(12 31+1+12 3+1+1)=12(02 30+1+12 31+12 3+1+12 3+1+1)=11412(2 3+1+12 3+1+1)故=11412(2 3+1+12 3+1+1)（）20【答案】（1）解：由已知可得()=1，故可得()=1+12=2+12当 (，2时，()0，故()在(0，+)单调递增；当 (2，+)时，由()=0，解得=242，或+242，记1=242，2=+242，则可知当变化时，()，()的变化情况如下表：(0，1)1(1

13、，2)2(2，+)()+00+()极大值极小值所以，函数()在区间(0，242)单调递增，在区间(242，+242)单调递减，在区间(+242，+)单调递增（2）解：解：由已知，函数()有三个零点1，2，3，且1 2 2的情况由于()=1+12=2+12，故1 2=1，因此0 1 1 0，(2)0又因为(3)=33+3，(3)=333，由于 2，故(3)33+3(1)3+333+1=(1)3 333(1)=333+31+13=(1)3+13 0.因此，()在(3，1)恰有一个零点（即在(0，1)恰有一个零点），在(1，2)恰有一个零点（即=1），在(2，3)恰有一个零点（即在(2，+)恰有一个

14、零点）所以，的取值范围是(2，+)证明：由（i）可知2=1，且()在(0，1)单调递减，在(1，2)单调递增，在(2，3)单调递减，在(3，+)单调递增由此可得(1)(3)故只需证明(3)(1).因为()=1，故(1)=1+=()，由此可得13=1由()=0（其中=1，2），可得1+=0，整理得=21，故()=122+21(21+1)，整理得()=122+21+1因此，(1)(3)=(1)(11)=122121221+21+12121.令=21，可知 (0，1)，则(1)(3)=12(1)2()2+4(+12)令()=(1)2()2+4(+12)，则()=(2+4+1)+3(21)2=3(21)2+4+122+4+1令()=3(1+2)1+4+2，则()=(1)4(24+1)2(1)=0，可得()在(0，1)单调递增，故()0，因此(3)(1)(2)