上海市长宁区高三上学期数学一模试卷（附答案）.pdf

1、 高三上学期数学一模试卷 高三上学期数学一模试卷一、填空题一、填空题1已知集合=|2，=1，3，5，7，则 =2(2+)4的二项展开式中2的系数为 3lim323+1=4若线性方程组的增广矩阵为(011112)，解为=1=1，则 12=5在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点(3，4)，则=12 63 位同学被推荐担任进博会 3 个指定展馆服务志愿者，每人负责 1 个展馆，每个展馆只需 1 位同学，则共有 种不同的安排方法.7已知双曲线：226=1的左，右焦点为1、2，过1的直线与双曲线的左、右支分别交于点、.若 2为等边三角形，则 2的边长为 8在复平面内，复数1

2、，2所对应的点分别为1、2，对于下列四个式子：12=|21|；|1 2|=|1|2|；2=|2；|1 2|=|1|2|，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）9设，0，0，若=3，+2=2 6，则1+1的最大值为 10已知公差不为 0 的等差数列的前项和为，若4，5，7 10，0，则的最小值为 11已知点、在抛物线：2=4上，点在的准线上，线段、的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点(0，)，则|的最小值为 12设曲线与函数()=3122(0 )的图像关于直线=3对称，若曲线仍然为某函数的图象，则实数的取值范围为 二、单选题二、单选题13“1 1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充

3、要条件D既不充分也不必要条件14给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（）A B C D 15已知平面经过圆柱12的旋转轴，点、是在圆柱12的侧面上，但不在平面上，则下列4个命题中真命题的个数是（）总存在直线，且与异面；总存在直线，且 ；总存在平面，且 ；总存在平面，且/.AlB2C3D416若函数()=3sin+4cos(0 3，0)的值域为4，5，则cos3的取值范围为（）A725，45B725，35C725，45D725，35三、解答题三、解答题17在直三棱柱111中，=1=2.（1）求四棱锥11的体积；（2）求

4、直线1与平面11所成角的正切值.18已知三个内角、所对的边分别为，=4，cos=14（1）若sin=2sin，求 的面积；（2）设线段的中点为，若=19，求 外接圆半径的值.19随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共 20 万元；购买后第 1 年燃油费共 2 万元，以后每一年都比前一年增加 0.2 万元.（1）若每年养护保险费均为 1 万元，设购买该种型号汽车()年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前 6 年，每年养护保险费均为 1 万元，由于部件老化和事故多发，第7年起，每一年的养护保险

5、费都比前一年增加10%，设使用()年后养护保险年平均费用为，当=0时，最小，请你列出 6时的表达式，并利用计算器确定0的值（只需写出0的值）20已知函数()=12+1().（1）求证：函数()是上的减函数；（2）已知函数()的图像存在对称中心(，)的充要条件是()=(+)的图像关于原点中心对称，判断函数()的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意1 1，都存在2 1，32及实数，使得(11)+(12)=1，求实数的最大值.21城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系中，定义

6、点(1，1)，(2，2)的“直角距离”(，)为：(，)=|12|+|12|，设(1，1)，(1，1).（1）写出一个满足(C，M)=(C，N)的点的坐标；（2）过点(1，1)，(1，1)作斜率为 2 的直线1、2，点、分别是直线1、2上的动点，求(，)的最小值；（3）设(，)，记方程(，)+(，N)=8的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；答案解析部分答案解析部分1【答案】12【答案】243【答案】14【答案】-15【答案】456【答案】67【答案】48【答案】（2）（3）9【答案】110【答案】-1211【答案】2 212【答案】(0，213【答案】

7、B14【答案】B15【答案】C16【答案】A17【答案】（1）解：因为直三棱柱111中，1 平面，所以1，1 因为 ，1=，所以 平面11，因为=1=2，所以11=4所以四棱锥11的体积=1311 =13 4 2=83.（2）解：因为直三棱柱111中，1 平面，所以1 因为 ，1=，所以 平面11，因为在直三棱柱111中，/11，所以11 平面11，故连接1，1，则11是直线1与平面11所成角，所以tan11=111=22 2=22，所以直线1与平面11所成角的正切值为22.18【答案】（1）解：因为sin=2sin，所以=2，因为=4，cos=14，所以=2，因为 (0，)，所以sin=1c

8、os2=154，所以 的面积为=12sin=12 4 2 154=15.（2）解：因为线段的中点为，=19，=4，cos=14，所以在 中，由cos=(2)2+222 2=24+16194=14，解得=2（=6舍），所以在 中，2=2+22cos=24，即=2 6，因为 (0，)，所以sin=1cos2=154，所以由正弦定理得 外接圆半经满足2=sin=2 6154=8 105，所以 外接圆半径=4 10519【答案】（1）解：根据题意，购买后第 1 年燃油费共 2 万元，以后每一年都比前一年增加 0.2 万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为 2，公差为 0.2，所以购买该

9、种型号汽车第()年的燃油费用为=0.2+1.8，所以购买该种型号汽车()年后燃油的总费用是(0.2+1.8+2)2=210+1910，因为每年养护保险费均为 1 万元，所以购买该种型号汽车()年后养护费用共万元，所以=210+1910+20=210+2910+20，.（2）解：当 6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加10%，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1，公比为1.1，所以从第七年起，第(，6)年的养护保险费用为1.16，所以购买该种型号汽车(，6)年后，养护保险费为6+1.1 (11.16)11.1=10 1.155，所以当 6时，使用()年后，养护保险费的年平均

10、费用为=10 1.155，6，.经计算器计算得0=7时，最小.20【答案】（1）解：设对于任意的实数1，2，1 2，则(1)(2)=121+1122+1=(22+1)(21+1)(21+1)(22+1)=2221(21+1)(22+1)，因为1，2，1 0，(21+1)(22+1)0，所以(1)(2)0，即(1)(2)所以函数()是上的减函数（2）解：假设函数()的图像存在对称中心(，)，则()=(+)=12+1的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为，所以()+()=12+1+12+1=0恒成立，即(12)(2+2+)+222 22=0恒成立，所以12=0222 22=0，解得 =0，=1

11、2，所以函数()的图像存在对称中心(0，12)（3）解：因为对任意1 1，都存在2 1，32及实数，使得(11)+(12)=1，所以1211+1+1212+1=1，即211+12=1，所以11+12=0，即2=111=11因为1 1，所以11 1，1因为2 1，32，所以 1，1 1，32，所以1 1132，即 21 32所以1(32)min=12，所以 2，即实数的最大值为 2.21【答案】（1）解：设点的坐标为(0，0)，若(C，M)=(C，N)，所以|01|+|01|=|0+1|+|0+1|，所以点在直线=上，故(0，0)满足要求.（2）解：由题可知，1：=21，2：=2+1，因此(1，211)，(2，221)，所以(，)=|12|+|(211)(22+1)|=|12|+2|121|，令12=，则(，)=|+2|1|，所以(，)=3+2，0+2，0 132，1，所以当=1时，(，)取得最小值 1.（3）解：因为(，)+(，)=8，所以|1|+|+1|+|1|+|+1|=8，所以，类比椭圆的几何性质，曲线的性质的性质有：对称性：曲线即是以轴、轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(3，1)，(1，3)范围：3 3，3 3图像如图所示：