江苏南通如皋市2023届高三上学期8月诊断测试数学试卷及答案.pdf

1、 如皋市如皋市 2023 届高三上学期届高三上学期 8 月诊断测试月诊断测试 数数 学学 试试 题题 2022.08 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1.已知集合|25Axx=，|121Bx mxm=+，若ABB=，则实数 m 的取值范围是（）.A.23m B.3m C.23m的解集为（）.A.(,2)B.(2,)+C.(0,)+D.(,0)4.1883 年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集如图是

2、其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间0,1平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间103，和213，；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：109，2 19 3，2 73 9，819，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集若经历 n 步构造后，注意事项（请考生注意事项（请考生作答前作答前认真阅读以下内容）：认真阅读以下内容）：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息

3、点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共 4 页，共 22 小题；答题卡共 2 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.6.命题：马超命题：马超.命题范围：集合与逻辑用语、不等式、函数与导数、数列、三角函数与解三角形 20212022不属于剩下的闭区间，则 n 的最小值是（）.A.7 B.8 C.9 D.10 5.已知数列na是等比数列，数列 nb是等差数列，若2610=3 3aaa，1611

4、+=7bbb，则21039+tan1-bbaa的值是（）.A.1 B.22 C.22 D.3 6.若sin()cos()2 2cos()sin4+=+，则（）.A.tan()1=B.tan()1+=C.tan()1=D.tan()1+=7.已知实数 a、b 满足225ln0aab=，cR，则22()()acbc+的最小值为（）.A.12 B.22 C.3 22 D.92 8.如图，为测量某公园内湖岸边 A，B 两处的距离，一无人机在空中 P 点处测得 A，B 的俯角分别为，此时无人机的高度为 h，则 AB 的距离为（）.A.22112cos()sinsinsinsinh+B.22112cos(

5、)sinsinsinsinh+B.C.22112cos()coscoscoscosh+D.22112cos()coscoscoscosh+二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.设扇形的圆心角为，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，周长为 L，则（）.A.若，r 确定，则 L，S 唯一确定 B.若，l 确定，

6、则 L，S 唯一确定 C.若 S，l 确定，则，r 唯一确定 D.若 S，L 确定，则，r 唯一确定 10.已知 a，bR，则使“1ab+”成立的一个必要不充分条件是（）.A.221ab+B.|1ab+C.221ab+D.4110bab+11.朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如 下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天比前一天多派 7 人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米 3 升.”则下列结论正确的有（）.A.将

7、这 1864 人派谴完需要 16 天 B.第十天派往筑堤的人数为 134 C.官府前 6 天共发放 1467 升大米 D.官府前 6 天比后 6 天少发放 1260 升大米 12.函数ln|()(0)sinaxxf xax+=在2,2上的大致图像可能为（）.A.A.B.C.D.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.已知ABC内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，那么当a=时，满足条件“2b=，30A=”的ABC有两个.(仅写出一个 a 的具体数值即可)14.已知0 x，0y，39xyxy+=，则3xy+的最小值

8、为 .15.若数列na满足11a=，且142nnnaa+=+，则6a=.16.已知函数()|ln(1)|f xx=+，10 x，函数()f x的图象在点11(,()A xf x和点22(,()B xf x的两条切线互相垂直，且分别交 x 轴于 M，N 两点，则1211xx+=；|AMBN的取值范围是 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共6 6小题，共小题，共7070分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说，解答时应写出文字说明、证明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）在sinsin2ABbcB+=，3(cos)sincAba

9、C=，coscoscoscabCAB+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 .（1）求 C；（2）若ABC的面积为8 3，AC 的中点为 D，求 BD 的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18.（本小题满分 12 分）函数2()223.f xaxxa=+（1）当1a=时，求函数()f x在区间上的值域；（2）若任意12,0,1x x，对任意(0,1,a总有不等式212|()()|21f xf xmam函数()yf x=的最小正周期为.（1）求函数()f x在0,内的单调递增区间；（2）不

10、等式()2sin()2cos()644f xmxx+在0,2内恒成立，求 m 的取值范围 20.（本小题满分 12 分）已知函数2()(2)(1).xf xa xex=（1）当1a=时，求()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性 21.（本小题满分 12 分）设等比数列na的前 n 项和为nS，且121nnaS+=+，*().nN（1）求数列na的通项公式;（2）在na与1na+之间插入 n 个实数，使这2n+个数依次组成公差为nd的等差数列，设数列1nd的前 n 项和为nT，求证：15.8nT 22.（本小题满分 12 分）已知函数()elnxf xxxax=+.（1）若()0f

11、x，求 a 的取值范围；（2）证明：若()f x有两个零点12,x x，则121.x x 如皋市如皋市 2023 届高三上学期届高三上学期 8 月诊断测试月诊断测试 数学试题解析数学试题解析 23.已知集合|25Axx=，|121Bx mxm=+，若ABB=，则实数 m 的取值范围是()A.23m B.3m C.23m；B 时，求出实数 m 的取值范围【解答】解：ABB=，BA，若B=，则121mm+，2;m，故“2abab+”是“16ab”的不充分条件，综上所述，abab+“2”是“16ab”的必要不充分条件，故选：.B 25.已知()sinf xxx=，则不等式(21)(1)0fmfm+的

12、解集为()A.(,2)B.(2,)+C.(0,)+D.(,0)【答案】B 【知识点】利用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、奇偶性的综合应用【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性以及利用函数的导数确定函数的单调性，属于基础题.先判断函数的奇偶性和单调性，然后求出结果.【解答】解：由题意知()f x的定义域为 R，由()()fxf x=，得()f x为奇函数，且()1cos0fxx=，()f x在(,)+上单调递增，由(21)(1)0fmfm+得(21)(1)fmf m+，即211mm+，解得2.m 故本题选.B 26.1883 年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集如图是其构造

13、过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间0,1平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集 若经历 n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则 n 的最小值是.()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A 【知识点】利用指数函数的单调性解不等式【解析】【分析】本题主要考查了归纳总结，把实际问题转化为解不等式，属于中档题 利用归纳总结可得第 n 步中包含 1 的区间为为，然后列出不等式进行求解可得.【解答】解：第一步中包含

14、 1 的区间为；第二步中包含 1 的区间为，通过归纳总结可得第 n 步中包含 1 的区间为，若20212022不属于剩下的闭区间，则只需31202112021111320223202232022nnnn，因为7321872022=，又 n 为整数，可得 n 的最小值为7.故选：.A 27.已知数列na是等比数列，数列 nb是等差数列，若2610=3 3aaa，1611+=7bbb，则21039+tan1-bbaa的值是()A.1 B.22 C.22 D.3【答案】D 【知识点】等比数列的性质、等差数列的性质、利用诱导公式化简【解析】【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质，也考查了诱导公式，三

15、角函数值的求法，是中档题 利用等差数列和等比数列的性质求出21039143tantan12bbaa+=，再利用诱导公式求解即可.【解答】解：在等差数列 nb中，由16117bbb+=，得637b=，673b=，21061423bbb+=，在等比数列na中，由26103 3a a a=，得363 3a=，63a=，23911(3)2a a=，则21039143tantan12bbaa+=7tan()tan(2)3.33=故选.D 28.若sin()cos()2 2cos()sin4+=+，则()A.tan()1=B.tan()1+=C.tan()1=D.tan()1+=【答案】C 【知识点】逆用

16、两角和与差的余弦公式【解析】【分析】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题 由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而求解【解答】解：因为sin()cos()2 2cos()sin4+=+，所以2sin()2 2cos()sin44+=+，即sin()2cos()sin44+=+，所以sin()cossincos()2cos()sin444+=+，所以sin()cossincos()044+=，所以sin()04+=，所以4k+=，kZ，所以4k=，所以tan()1.=故选：.C 29.已知实数 a、b 满足225l

17、n0aab=，cR，则22()()acbc+的最小值为()A.12 B.22 C.3 22 D.92【答案】C 【知识点】两点间的距离公式、已知切线（斜率、倾斜角）求参数、点到直线的距离【解析】【分析】本题考查已知切线斜率求参数、点到直线的距离、两点间的距离公式，属于中档题.根据题意结合两点间的距离公式，分析得出22()()acbc+的最小值，即为曲线2()25lnyf xxx=上的点到直线0yx+=的距离的最小值，求出函数()f x的导数，由切线与直线0yx+=平行求出切点坐标，求出切点到直线0yx+=的距离即可得到答案【解答】解：以 x 代换 a、y 代换 b，则 x、y 满足225ln0

18、 xxy=，即225ln(0)yxx x=，以 x 代换 c，可得点(,)xx，满足0.yx+=则22()()acbc+的最小值，即为曲线225lnyxx=上的点到直线0yx+=的距离的最小值 设直线0yxm+=与曲线2()25lnyf xxx=相切于点00(,)P xy，则5()4fxxx=，所以0005()41fxxx=，解得01x=，所以切点为(1,2).P 点 P 到直线0yx+=的距离33 222d=，故22()()acbc+的最小值为3 2.2 故选：.C 30.如图，为测量某公园内湖岸边 A，B 两处的距离，一无人机在空中 P 点处测得 A，B 的俯角分别为，此时无人机的高度为

19、h，则 AB 的距离为()A.22112cos()sinsinsinsinh+B.22112cos()sinsinsinsinh+C.22112cos()coscoscoscosh+D.22112cos()coscoscoscosh+【答案】A 【知识点】利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、三角恒等变换的综合应用【解析】【分析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 利用正弦定理求出 AB，再结合选项化简即可得出答案【解答】解：如图所示，由题意作/PEAB，可得APE=，BPE=，2APO=，则APB=，ABP=，在AOP中，sincos()2hhPA=，在PAB中，B=

20、，APB=，由正弦定理sinsinABPAAPBB=，解得sin()sin()sinsinsinsinhABh=；又222222112cos()sinsin2sinsin(coscossinsin)sinsinsinsinsinsin+=22222222(sinsinsin)2sinsincoscos(sinsinsin)sinsin+=222222sincos2sincoscossincossinsinsin+=222sin()sinsin=，又(0,)2，且、(0,)2，所以sin()0sinsin，所以22112cos().sinsinsinsinABh=+故选：.A 31.设扇形的圆心

21、角为，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，周长为 L，则()A.若，r 确定，则 L，S 唯一确定 B.若，l 确定，则 L，S 唯一确定 C.若 S，l 确定，则，r 唯一确定 D.若 S，L 确定，则，r 唯一确定【答案】ABC 【知识点】弧长及扇形面积【解析】【分析】本题主要考查弧长公式与扇形面积公式，属于中档题.根据题意，若扇形的圆心角为，半径为 r，得到扇形弧长lr=，面积为21122Slrr=，周长为，分析得知 A、B、C 正确，对 D，可举出反例得 D 错误.【解答】解：由题意，扇形的圆心角为，半径为 r，则 其弧长lr=，面积为21122Slrr=，周长为 易知若，r 确定，则

22、 L，S 唯一确定；，l 确定，则，r 确定；S，l 确定，则，r 唯一确定，对照各选项，易知 A、B、C 正确，对 D，若 S，L 确定，则，r 不能唯一确定，如，可得或，故 D 错误.故选.ABC 32.已知 a，bR，则使“1ab+”成立的一个必要不充分条件是.()A.221ab+B.|1ab+C.221ab+D.4110bab+【答案】BC 【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、指数幂的化简求值与证明、充分、必要、充要条件的判断【解析】【分析】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题 对于 A、D 选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可;对于 B，先取特殊值说明不

23、充分，再同时平方证必要即可;对于 C，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可.【解答】解：对于 A，当1ab=时，满足221ab+，不满足1ab+，即221ab+推不出1ab+，不充分;当12a=，34b=时，满足1ab+，不满足221ab+，即1ab+推不出221ab+，不必要;A错误;对于 B，当1ab=时，满足|1ab+，不满足1ab+，即|1ab+推不出1ab+，不充分;当1ab+时，平方得2221aabb+，又22222(|)|2|21abaabbaabb+=+，又|0ab+，故|1.ab+即 1ab+能推出|1ab+，必要;B正确;对于 C，当0ab=时，满足221ab+

24、，不满足1ab+，即221ab+推不出1ab+，不充分;当1ab+时，由20a，20b，222 222 22 21ababa b+=，即1ab+能推出221ab+，必要;C正确;对于 D，当12ab=时，满足4110bab+，不满足1ab+，即4110bab+推不出1ab+，不充分;当2a=，1b=时，满足1ab+，不满足4110bab+，即1ab+推不出4110bab+，不必要;D错误.故选：.BC 33.朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续

25、派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天比前一天多派 7 人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米 3 升.”则下列结论正确的有()A.将这 1864 人派谴完需要 16 天 B.第十天派往筑堤的人数为 134 C.官府前 6 天共发放 1467 升大米 D.官府前 6 天比后 6 天少发放 1260 升大米【答案】ACD 【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的实际应用、等差数列的前 n 项和公式【解析】【分析】本题考查等差数列的应用，属于基础题.利用等差数列的通项公式和求和公式，逐一判断.【解答】解：记数列na为第 n 天派遣的人数，数列 nb为第 n 天获得的大

26、米升数，则na是以 64 为首项，7 为公差的等差数列，则757nan=+，nb是以 192 为首项，21 为公差的等差数列，即21171nbn=+所以10647 9127a=+=，B 不正确.设第 k 天派遣完这 1864 人，则7(1)6418642k kk+=，解得16k=，A 正确.官府前 6 天共发放6 5192 62114672+=升大米，C 正确.官府前 6 天比后 6 天少发放21 10 61260=升大米，D 正确.故选.ACD 34.函数ln|()(0)sinaxxf xax+=在上的大致图像可能为.()A.B.C.D.【答案】ABC 【知识点】判断或画对数函数的图象、函数

27、图象的识别、判断或证明函数的奇偶性【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于中档题 根据 a 的取值分类讨论，研究函数性质后判断图象.【解答】解：当0a=时，()f x为奇函数，由1x=时，()0f x=，选项 A 正确;当0a 时，令()ln|g xx=，()h xax=，作出两函数图象，研究其交点，数形结合可知在(1,0)内必有一交点，记横坐标为0 x，此时0()0f x=，排除;D 当02xx；当00 xx时，()()0g xh x；若在(0,2)内无交点，则()()0g xh x，sin1B，11a，即12.a，0y，39xyxy+=，则3xy+的最小值为_.【答案】6 【知识点】

28、由基本不等式求最值或取值范围、解不含参的一元二次不等式【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于较难题 由于要求3xy+的最小值，故在解题时注意把3xy+看为一个整体，需将已知方程中的 xy利用基本不等式转化为3xy+的形式【解答】解：由于0 x，0y，39xyxy+=，则211(3)9(3)3334xyxyxyxy+=，当且仅当3xy=，即3x=，1y=时等号成立，令3txy=+，0t，则2912tt，即212108 0tt+，解得18(t舍去)，或6t，即36xy+，所以3xy+的最小值为6.故答案为6.37.若数列na满足11a=，且142nnnaa+=+，则6a=_.【答案

29、】2016 【知识点】等比数列的判定或证明、等比数列的通项公式、根据数列的递推公式求数列的项【解析】【分析】本题考查数列的递推关系和等比数列的判定、通项公式，属于中档题.根据题干式子可得1124(2)nnnnaa+=+，再根据等比数列的概念及其通项公式进行求解即可.【解答】解：因为142nnnaa+=+，所以1124(2)nnnnaa+=+，所以数列12nna+是等比数列，首项为 2，公比为 4，则11224nnna+=，可得21122nnna=，则2 6 16 1115622222016.a=故答案为2016.38.已知函数()|ln(1)|f xx=+，10 x，函数()f x的图象在点1

30、1(,()A xf x和点22(,()B xf x的 两 条 切 线 互 相 垂 直，且 分 别 交 x 轴 于 M，N 两 点，则 1211xx+=_；|AMBN的取值范围是_.【答案】1(0,1)【知识点】简单复合函数的导数、两点间的距离公式、求曲线上一点的切线方程（斜率、倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【分析】本题考查了两条切线垂直问题，两条直线垂直与斜率的关系、两点间的距离公式、求曲线上一点的切线方程、简单复合函数的导数，属于较难题.(1)将函数()f x写为分段函数的形式，求出导函数()fx，分别求出直线 AM、BN 的

31、斜率和直线方程，根据两直线垂直可得12(1)(1)1xx+=，即可求出1211xx+的值；(2)分别求出点 M 和 N 的坐标，进而求得|AM和|BN的长度，根据12(1)(1)1xx+=可得1|1|AMxBN=+，根据1x的取值范围即可得到|AMBN的取值范围.【解答】解：，当10 x 时，1()1fxx=+，当0 x时，1()1fxx=+，所以直线 AM 的斜率为111x+，直线 BN 的斜率为211x+，直线 AM：1111ln(1)()1yxxxx+=+，直线 BN：2221ln(1)()1yxxxx+=+，所以点111(1)ln(1),0)M xxx+，点222(1)ln(1),0)

32、N xxx+，因为两条切线互相垂直，所以1211111xx=+，即12(1)(1)1xx+=，所以12120 x xxx+=，所以12111xx+=；(2)由题意知点11(,()A xf x和点22(,()B xf x，22111(1)ln(1)(ln(1)AMxxx=+，22222(1)ln(1)(ln(1)BNxxx=+，22111111ln()(ln()111xxx=+221121ln(1)ln(1)(1)xxx+=+，则2221111122121211(1)ln(1)(ln(1)(1)1|1|1|ln(1)1ln(1)(1)(1)xxxxAMxBNxxxx+=+，因为110 x，则10

33、11x+，所以|AMBN的取值范围是(0,1).故答案为：1；(0,1).39.(本小题12.0分)在sinsin2ABbcB+=，3(cos)sincAbaC=，coscoscoscabCAB+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_.(1)求 C；(2)若ABC的面积为8 3，AC 的中点为 D，求 BD 的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】解：(1)若选择条件:由sinsin2ABbcB+=可得，cossin2CbcB=，由正弦定理得

34、sincossinsin2CBCB=，因为，所以sin0B，则有cossin2CC=，即cos2sincos222CCC=，又，所以，所以cos02C，则有1sin22C=，所以26C=，则.3C=若选择条件:3(cos)sincAbaC=，由正弦定理得3(sincossin)sinsinCABAC=，于是，即3sincossinsinACAC=，因为，所以sin0A，所以3cossinCC=，所以tan3C=，又，所以.3C=若选择条件:coscoscoscabCAB+=+，由正弦定理得sinsinsincoscoscosCABCAB+=+，所以sincossincoscossincossi

35、nCACBCACB+=+，即sincoscossincossinsincosCACACBCB=，于是有，因为，所以CABC=，即2CAB=+，所以，所以.3C=(2)由题意知ABC113sin8 3222SabCab=，得32ab=，由余弦定理得22222111cos216442222bbbBDaabCaabaabab=+=+=，当且仅当12ab=且32ab=，即4a=，8b=时取等号，所以 BD 的最小值为4.【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查解三角形，考查正弦定理、余弦定理、基本不等式等知识点的应用，属于

36、较难题(1)分别选，利用正弦定理、三角恒等变换都能得到3C=；(2)由三角形面积公式可得32ab=，在BCD中，利用余弦定理结合基本不等式可得2222211121642422bbBDaabaabab=+=，进而可求得 BD 最小值 40.(本小题12.0分)函数2()223.f xaxxa=+(1)当1a=时，求函数()f x在区间上的值域；(2)若任意12,0,1x x，对任意(0,1,a总有不等式212|()()|21f xf xmam，对称轴102xa=+恒成立，设22g()=(21)(22)2(1)1amamamam+=+，由于在区间上恒成立，则，即，解得1m 【知识点】求函数的值域、

37、由函数的最值求参、利用函数的单调性求最值、一元二次不等式存在性或恒成立问题、二次函数的最值【解析】本题考查二次函数值域、不等式恒成立问题，属于中档题.(1)当1a=时，利用二次函数的性质，求得()f x在区间上的值域；(2)首先求得()f x在区间0,1上的最大值和最小值，由此得到对任意(0,1,a不等式22122mama+恒成立，构造函数22g()=(21)(22)2(1)1amamamam+=+，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得 m 的取值范围.41.(本小题12.0分)42.已知(sin,cos)axx=，(cos,3cos)bxx=，3()()(0).2f xaba=函数(

38、)yf x=的最小正周期为.43.()I求函数()f x在0,内的单调递增区间；44.()II若关于 x 的不等式()2sin()2cos()644f xmxx+在0,2内恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】解：22333()()()sincos3222I f xabaa baxxcosx=+133sin2(1cos2)222xx=+sin(2)3x=+，()yf x=的最小正周期为，22T=，1=，()sin(2)3f xx=+，令22,2322xkk+，kZ，则5,1212xkk+，kZ，0,x，()f x在0,内的单调递增区间为0,12，7,.12()()2sin()2cos()644

39、IIf xmxx+在0,2内恒成立，sin2()2sin()2cos()6344xmxx+，化简得：sin2(1)(sincos)xmxx+，又0,2x，sincos0 xx+，sin22sin cos1sincossincosxxxmxxxx=+在0,2内恒成立，记sincos2sin()4txxx=+=+，0,2x，3,444x+，1,2t，且22222sin cos(sincos)(sincos)1xxxxxxt=+=，211()th tttt=，在1,2上单调递增，min()(1)0h th=，10m，即1m+在0,2内恒成立，令sincostxx=+，由辅助角公式求出 t 的范围，从

40、而得21()th tt=，结合其单调性，求出min()h t，即可 45.(本小题12.0分)46.已知函数2()(2)(1).xf xa xex=47.(1)当1a=时，求()f x的极值；48.(2)讨论函数()f x的单调性【答案】解：(1)当1a=时，2()(2)(1)xf xxex=，()(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)xxxxfxexexxexxe=+=，令()0fx=，得1x=或ln2x=，所以在(,ln2)，(1,)+上，()0fx，()f x单调递增，在(ln2,1)上，()0fx，()f x单调递减，所以ln22()(ln2)(ln22)(ln2 1)f xfe=极

41、大值 222(ln22)(ln2 1)(ln2)4ln25=+，2()(1)(12)(1 1).f xfee=极小值(2)()(2)2(1)xxfxaea xex=+(1)2(1)(1)(2)xxxaexxae=，当0a=时，()2(1)fxx=，所以在(1,)+上，()0fx，()f x单调递增，当0a 时，2()(1)()xfxa xea=，令()0fx=得1x=或2lnxa=，当2ln1a，即20ae，()f x单调递增，在2(1,ln)a上，()0fx，()f x单调递减，当2ln1a时，在2(,ln)a，(1,)+上，()0fx，()f x单调递增，在2(ln,1)a上，()0fx，

42、()f x单调递减，当2ln1a=，即2ae=时，()0fx，()f x在 R 单调递增，当0a，()f x单调递增，在(1,)+上，()0fx，()f x单调递减，综上所述，当0a时，()f x在(1,)+上单调递减，在(,1)上()f x单调递增，当20ae时，()f x在2(,ln)a，(1,)+上()f x单调递增，在2(ln,1)a上()f x单调递减，当2ae=时，()f x在 R 单调递增.【知识点】利用导数求函数的单调区间（含参）、利用导数求已知函数的极值或极值点（不含参）【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题(1)当1a=时，2()(2)(1

43、)xf xxex=，求导分析()f x的单调性，即可得出答案(2)求导得()(1)(2)xfxxae=，分五种情况：当0a=时，当20ae时，当2ae=时，当0a 时，根据()fx的正负，判断()f x的单调性，即可得出答案 49.(本小题12.0分)50.设等比数列na的前 n 项和为nS，且121nnaS+=+，*().nN 51.(1)求数列na的通项公式;52.(2)在na与1na+之间插入 n 个实数，使这2n+个数依次组成公差为nd的等差数列，设数列1nd的前 n 项和为nT，求证：15.8nT 【答案】解：(1)由112121,(2)nnnnaSaSn+=+=+两式相减得112(

44、)2nnnnnaaSSa+=，所以13(2).nnaa n+=因为na是等比数列，所以公比为 3，又2121aa=+，所以11321aa=+，所以11.a=故13;nna=(2)由题设得1(1)nnnaand+=+，所以111112 3nnnnnndaa+=，所以011121112312 32 32 3nnnnTddd+=+=+，即0112312333nnnT+=+，则21223133333nnnnnT+=+，由-得：12111(1)4111113322133333313nnnnnnnT+=+=+，所以1152588 3nnnT+=，所以15.8nT 【知识点】等比数列的通项公式、错位相减法求

45、和、数列的前 n 项和及 Sn 与 an 的关系【解析】本题考查利用递推关系求数列通项，等差数列和等比数列的通项公式，注意错位相减法求和的合理运用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属 于中档题.(1)由已知得12nnnaaa+=，即13(2)nnaa n+=，213aa=，2121aa=+，由此能求出13nna=；(2)由 题 设 得1(1)nnnaand+=+，得1112 3nnnd+=，由 此 利 用 错 位 相 减 法 求 和1152588 3nnnT+=，即可证得结论.53.(本小题12.0分)已知函数(1)若()0f x，求 a 的取值范围；(2)证明：若(

46、)f x有两个零点12,x x，则121.x x 【答案】解：(1)()f x定义域为(0,)+，22(1)1()(1)()1xxexex xfxxxx+=+=，令()01fxx=，所以当01x时，()0fx时()0fx，()f x单调递增min;()(1)1f xfea=+，要使得()0f x 恒成立，即满足min()101.f xeaa e=+(2)由(1)知，若()f x有两个零点12,x x，则12()()0f xf x=，而ln()lnlnxxxef xxxaexxax=+=+，即1122lnln1122lnlnxxxxexxexx+=+，因为函数xyex=+在 R 上单调递增，所以

47、1122lnlnxxxx=成立，令()lnh xxx=，且12()()h xh x=，易知()h x在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，不妨设1201.xx 要证明121x x，即证明2111xx，即证明211()()h xhx 证明111()()h xhx在(0,1)上恒成立.下面构造函数1()()()(01)F xh xhxx=恒成立，()F x在(0,1)单调递增，而(1)(1)(1)0Fhh=，所以()(1)0F xF=，即111()()h xhx在(0,1)上恒成立.，从而121x x 得证.【知识点】利用导数解（证明）不等式、利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数研究函数的零点（或方程的根）【解析】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，零点，证明不等式等问题.属于较难题.