斜率型定值型问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）及答案.docx

1、斜率型定值型问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）一、斜率问题1已知，椭圆 C 过点 A(1,32) ，两个焦点为 (1,0),(1,0) . （）求椭圆 C 的方程；（） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值2已知椭圆C的中心在原点，一个焦点 F=(0，2) ，且长轴长与短轴长的比是 2：1 （）求椭圆C的方程；（）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（）在（）的条件下，

2、求PAB面积的最大值3如图，已知点 P(2，2) 是抛物线 C ： y2=2x 上一点，过点 P 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于 A 、 B 两点，直线 PA 的斜率为 k(k0) . （）若直线 PA 、 PB 恰好为圆 (x2)2+y2=1 的切线，求直线 PA 的斜率；（）求证：直线 AB 的斜率为定值.并求出当 PAB 为直角三角形时， PAB 的面积.二、斜率之和问题4已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=13，且椭圆C经过点P(1，83)（1）求椭圆C的方程（2）不过点P的直线l：y=kx+3与椭圆C交于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试

3、判断k1+k2是否为定值若是，求出该定值：若不是，请说明理由5已知抛物线E：y2=2px(p0)，点P(2，22)在抛物线E上.（1）求抛物线E的准线方程；（2）过点Q(2，0)的直线l与抛物线E交于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于N，记直线QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值.6如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0) 经过点 A(0,1) ，且离心率为 22 . (I)求椭圆 E 的方程；(II)经过点 (1,1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P,Q （均异于点 A ），问：直线 AP 与 AQ 的斜率之和是否为定值？若是，

4、求出此定值；若否，说明理由7已知椭圆 C ： x2a2+y2b2=1(ab0) 的上顶点 A 与下顶点 B 在直线 l ： x2y+1=0 的两侧，且点 B 到 l 的距离是 A 到 l 的距离的3倍 （）求 b 的值；（）设 C 与 l 交于 P ， Q 两点，求证：直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值8已知圆 C 和 y 轴相切于点 T(0，2) ，与 x 轴的正半轴交于 M 、 N 两点（ M 在 N 的左侧），且 MN=3 . （）求圆 C 的方程；（）过点 M 任作一条直线与圆 O ： x2+y2=4 相交于点 A 、 B ，连接 AN 和 BN ，记 AN 和 BN 的斜率分别为

5、 k1 ， k2 ，求证： k1+k2 为定值.9椭圆C: x2a2+y2b2=1 (ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2 ，离心率为 32 ，过焦点 F2 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 （）求椭圆C的方程；（）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为 k1 ，直线MB的斜率为 k2 ，证明 k1+k2 为定值，并求出该定值.10已知：点 A(1，2) 是离心率为 22 的椭圆 C ： y2a2+x2b2=1(ab0) 上的一点斜率为 2 的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合 （）求椭圆C的方程；

6、（）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值11已知椭圆 x2a2+y2b2=1 （ ab0 ）的焦距为2，离心率为 22 ，右顶点为 A . （I）求该椭圆的方程；（II）过点 D(2,2) 作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P、Q ，求证：直线 AP ， AQ 的斜率之和为定值.三、斜率之差问题12椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，a+b=3（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，

7、BP的斜率为n，证明：2mn为定值四、斜率之积问题13已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为 12 ，点 A(1，32) 在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的右顶点为B，直线l过定点 M(3，0) ，且交椭圆 C 于P，Q两点（异于点B），试探究直线 BP 与 BQ 的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 14如图，在直角坐标系 xOy 中，圆 O:x2+y2=4 与 x 轴负半轴交于点 A ，过点 A 的直线 AM , AN 分别与圆 O 交于 M , N 两点 （）若 kAM=2 , kAN=12 ，求 AMN 的面积；（）若直线 MN

8、 过点 (1,0) ，证明： kAMkAN 为定值，并求此定值15设 P(x,y) 是椭圆 x225+y216=1 上的点且 P 的纵坐标 y0 ，点 A(5,0) 、 B(5,0) ，试判断 kPAkPB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由16设 P(x,y) 是椭圆 x225+y216=1 上的点且 P 的纵坐标 y0 ，点 A(5,0) 、 B(5,0) ，试判断 kPAkPB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由五、斜率之商问题17如图，已知椭圆：x24+y2=1和圆C：(x4t)2+(y3t)2=25t2(0t0，b0)的左、右焦点分别为F1

9、，F2，点D为线段F1O的中点，过F2的直线l与C的右支交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，延长MD，ND分别与C交于点P，Q两点，若C的离心率为2，(3，7)为C上一点.（1）求证：x1y2x2y1=2(y2y1)；（2）已知直线l和直线PQ的斜率都存在，分别记为k1，k2，k10，判断k2k1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.19已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，长轴长为4，离心率为12过点Q(4，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k20)，求证：k1k2为定值20在平面直

10、角坐标系中，A1，A2两点的坐标分别为(2，0)，(2，0)，直线A1M，A2M相交于点M且它们的斜率之积是34，记动点M的轨迹为曲线E过点F(1，0)作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方记直线A1Q，A2P的斜率分别为k1，k2（1）证明：k1k2为定值：（2）设点Q关于x轴的对称点为Q1，求PFQ1面积的最大值21已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的长轴长为4，焦距为 22（）求椭圆 C 的方程；（）过动点 M(0,m)(m0) 的直线交 x 轴与点 N ，交 C 于点 A,P ( P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C

11、于另一点 Q ，延长 QM 交 C 于点 B .（）设直线 PM,QM 的斜率分别为 k1,k2 ，证明 k2k1 为定值；（）求直线 AB 的斜率的最小值. 六、斜率综合问题22如图.矩形ABCD的长AB=23，宽BC=12，以AB为左右焦点的椭圆M：x2a2+y2b2=1恰好过CD两点，点P为椭圆M上的动点.（1）求椭圆M的方程，并求PAPB的取值范围；（2）若过点B且斜率为k的直线交椭圆于MN两点（点C与MN两点不重合），且直线CMCN的斜率分别为k1、k2，试证明k1+k22k为定值.23已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，P(2，1)为椭圆C上一点.（1）求椭

12、圆C的标准方程.（2）若过点Q(2，0)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，试问k1+k22k是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.答案解析部分1【答案】解：（）由题意 c=1 ，设椭圆方程为 x21+b2+y2b2=1 ， 因为点 A(1,32) 在椭圆上，所以 11+b2+94b2=1 ，解得 b2=3 ， b2=34 舍去所求椭圆方程为 x24+y23=1（）设直线 AE 方程为 y=k(x1)+32 ，代入 x24+y23=1 得(3+4k2)x2=4k(32k)x+4k212k3=0设 E(xE,yE) ， F(xF,yF)

13、 ，点 A(1,32) 在直线 AE 上则 xE=4k212k33+4k2 ， yE=k(xE1)+32 ；直线 AF 的斜率与直线 AE 的斜率互为相反数，在上式中用 k 代替 k 得xF=4k2+12k33+4k2 ， yE=k(xF1)+32 ，直线 AE 的斜率 kEF=yFyExFxE=k(xE+xF)+2kxFxE=12所以直线 AE 的斜率为定值2【答案】解：（）设椭圆C的方程为 y2a2+x2b2=1(ab0)由题意 a2=b2+c2a：b=2：1c=2 ，解得a24，b22所以，椭圆C的方程为 y24+x22=1 故点P(1， 2 )（）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在

14、，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为 y2=k(x1)由 y2=k(x1)y24+x22=1 得， (2+k2)x2+2k(2k)x+(2k)24=0 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xB=1xB=k222k22+k2 ， 同理可得 xA=k2+22k22+k2则 xAxB=42k2+k2，yAyB=k(xA1)k(xB1)=8k2+k2 .所以直线AB的斜率 kAB=yAyBxAxB=2 为定值（）设AB的直线方程为 y=2x+m ，由 y=2x+m，y24+x22=1. 得 4x2+22mx+m24=0 .由 =(22m)216(m24)0 ， 得 m20) ， 由直线 PA

15、与圆 (x2)2+y2=1 相切，可得 |2k0+22k|1+k2=1 ，解 k=3 .（）设 A(xA，yA) ， B(xB，yB) .联立直线 PA 与抛物线方程 y2=k(x2)y2=2x ，消去 x 可得：ky22y+44k=0 ，yAyP=44kk ， yA=22kk ，A(2(1k)2k2，22kk) .用 k 代替 k 可得： yB=2+2kk ，B(2(1+k)2k2，22kk) .因此， kAB=yAyBxAxB=yAyByA2yB22=2yA+yB=12 .即直线 AB 的斜率为定值 12 .1 当 PAB=90 时，由 kABk=1 得 k=2 ，此时 P(2，2) ，

16、A(12，1) ， B(92，3) ，求得 |PA|=325 ， |AB|=25 ， SPAB=12|PA|AB|=1232525=152 .2 当 APB=90 时，可得 k=1 ，此时 P(2，2) ， A(0，0) ， B(8，4) ，求得 |PA|=22 ， |PB|=62 ， SPAB=12|PA|PB|=122262=12 .3 当 ABP=90 时，无解.综上所述，当 PAB 为直角三角形时， PAB 的面积为 152 或12.4【答案】（1）解：根据题意得：ca=13a2b2=c21a2+649b2=1a2=9b2=8c2=1，故椭圆C的标准方程为x29+y28=1（2）解：因

17、为直线l不过点P(1，83)，且直线PA，PB的斜率存在，所以k173设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y=kx+3x29+y28=1，得(8+9k2)x2+54kx+9=0，则x1+x2=54k8+9k2，x1x2=98+9k2.由=(54k)236(8+9k2)0，得k219且k173因为k1+k2=y1+83x1+1+y2+83x2+1=kx1+173x1+1+kx2+173x2+1=2kx1x2+(k+173)(x1+x2)+343x1x2+(x1+x2)+1，所以k1+k2=18k8+9k254k(k+173)8+9k2+34398+9k254k8+9k2+1=163(

18、9k254k+17)9k254k+17=163.即k1+k2为定值，且k1+k2=163.5【答案】（1）解：将P(2，22)代入E：y2=2px，解得p=2，E：y2=4x的准线方程为x=1.（2）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x=ny2，M(0，y3)，N(0，y4)，联立y2=4xx=ny2，整理得y24ny+8=0，由题意，=(4n)2480，即n2或n0 ，设 P(x1y1),Q(x2y2) ， x1x20则 x1+x2=4k(k1)1+2k2,x1x2=2k(k2)1+2k2 ，从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx

19、1+2kx1+kx2+2kx1=2k+(2k)(1x1+1x2)=2k+(2k)x1+x2x1x2=2k+(2k)4k(k1)2k(k2)=2k(2k1)=2 .7【答案】（）由椭圆的方程可得 A(0，b) ， B(0，b) ， 由题意可得 |2b+1|5=3|2b+1|5 ，解得 b=1 或 b=14 当 b=14 时，点 A ， B 都在直线 l 的下方，不符合题意，故 b=1 （）联立 x2a2+y2=1，x2y+1=0， 消去 y 可得 (4+a2)x2+2a2x3a2=0 ，设 P(x1，y1) ， Q(x2，y2) ，则 x1+x2=2a24+a2 ， x1x2=3a24+a2 直

20、线 BP 与 BQ 的斜率之和kBP+kBQ=y1+1x1+y2+1x2=12x1+32x1+12x2+32x2=1+32(1x1+1x2)=1+32x1+x2x1x2=1+322a24+a23a24+a2=2 因此直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值28【答案】解：（）依题意可设圆心 C 的坐标为 (m，2)(m0) ，则圆 C 的半径为 m . 又 |MN|=3 ，m2=22+(32)2=254 ，解得 m=52 .圆 C 的方程为 (x52)2+(y2)2=254 .（）由 (x52)2+(y2)2=254 ，令y=0得 x1=1，x2=4 ，所以 M(1，0) ， N(4，0) .当

21、直线 AB 的斜率为0时，可知 k1=k2=0 ，即 k1+k2=0 ；当直线 AB 的斜率不为0时，设直线 AB ： x=1+ty ，将 x=1+ty 代入 x2+y2=4 ，整理得 (t2+1)y2+2ty3=0 ，=4t2+12(t2+1)0 .设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，y1+y2=2tt2+1 ， y1y2=3t2+1 .k1+k2=y10x14+y20x24=y1ty13+y2ty23 ， =2ty1y23(y1+y2)(ty13)(ty23)=6tt2+1+6tt2+1(ty13)(ty23)=0 .综上可知， k1+k2=0 为定值.9【答案】解：（）将 x=

22、c 代入 x2a2+y2b2=1 中，由 a2c2=b2 可得 y2=b4a2 ， 所以弦长为 2b2a ， 故有 2b2a=1ca=32a2=b2+c2 ，解得 a=2b=1 ，所以椭圆 C 的方程为： x24+y2=1 （）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k0.所以直线l的方程为 y1=k(x2) ，即 y=kx2k+1 ， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：x24+y2=1,y=kx2k+1 消去y得: (1+4k2)x28k(2k1)x+16k216k=0 ,设 A(x1

23、,y1),B(x2,y2) ，则 x1+x2=8k(2k1)1+4k2,x1x2=16k216k1+4k2 ，k1=y1+1x1,k2=y2+1x2 ,k1+k2=y1+1x1+y2+1x2=(y1+1)x2+(y2+1)x1x1x2=(kx12k+1+1)x2+(kx22k+1+1)x1x1x2=2kx1x2+(2-2k)x2+(2-2k)x1x1x2=2k(2k2)(x1+x2)x1x2 把 x1+x2=8k(2k1)1+4k2,x1x2=16k216k1+4k2 代入上式，得k1+k2=2k(2k2)8k(2k1)16k216k=1 ，命题得证.10【答案】解：（） e=22=ca ，

24、1b2+2a2=1 ， a2=b2+c2a=2 ， b=2 ， c=2x22+y24=1 （）设直线BD的方程为 y=2x+my=2x+m2x2+y2=44x2+22mx+m24=0=8m2+64022m0 ，解得 k0 ，解得 k20得m24设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1+y2=24m3m2+4，y1y2=363m2+4，易知F(1，0)，k1k2=y1x11x21y2=y1my1+3my2+3y2=my1y2+3y1my1y2+3y2=my1y2+3(y1+y2)3y2my1y2+3y2=36m3m2+4324m3m2+43y236m3m2+4+3y2=36m324m3y2

25、(3m2+4)36m+3y2(3m2+4)=1所以k1k2为定值-120【答案】（1）证明：设M(x，y)，由题可知yx+2yx2=34，所以x24+y23=1（x2）设直线l的方程为x=my+1，Q(x1，y1)，P(x2，y2)，联立x=my+1x24+y23=1，得(3m2+4)y2+6my9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，所以k1=y1x1+2，k2=y2x22，所以k1k2=y1x1+2y2x22=(x22)y1(x1+2)y2=my1y2y1my1y2+3y2=9m3m2+4(6m3m2+4y2)9m3m2+4+3y2=3m+(3m2+4)y29m+3

26、(3m2+4)y2=13，所以k1k2为定值（2）解：设Q1(x1，y1)，由椭圆的对称性，不妨设m0，SPQQ1=12(2y1)(x2x1)=x1y1x2y1，SQQ1F=12(1x1)(2y1)=x1y1y1，而SPFQ1=SPQQ1SQQ1F=(x1y1x2y1)(x1y1y1)=y1(my2+1)y1=my1y2=9m3m2+4=93m+4m9212=334，当m2=43，即m=233时，等号成立，此时PFQ1的面积最大值为33421【答案】解：（）设椭圆的半焦距为c. 由题意知 2a=4,2c=22 ，所以 a=2,b=a2c2=2 .所以椭圆C的方程为 x24+y22=1 .（）（

27、）设 P(x0,y0)(x00,y00) ，由M(0,m)，可得 P(x0,2m),Q(x0,2m).所以直线PM的斜率 k=2mmx0=mx0 ，直线QM的斜率 k=2mmx0=3mx0 .此时 kk=3 .所以 kk 为定值3.（）设 A(x1,y1),B(x2,y2) .直线PA的方程为y=kx+m，直线QB的方程为y=3kx+m.联立 y=kx+m,x24+y22=1,整理得 (2k2+1)x2+4mkx+2m24=0 .由 x0x1=2m242k2+1 ，可得 x1=2(m22)(2k2+1)x0 ，所以 y1=kx1+m=2k(m22)(2k2+1)x0+m .同理 x2=2(m2

28、2)(18k2+1)x0,y2=6k(m22)(18k2+1)x0+m .所以 x2x1=2(m22)(18k2+1)x02(m22)(2k2+1)x0=32k2(m22)(18k2+1)(2k2+1)x0 ，y2y1=6k(m22)(18k2+1)x0+m2(m22)(2k2+1)x0m=8k(6k2+1)(m22)(18k2+1)(2k2+1)x0 ，所以 kAB=y2y1x2x1=6k2+14k=14(6k+1k).由 m0,x00 ，可知k0，所以 6k+1k26 ，等号当且仅当 k=66 时取得.此时 m48m2=66 ，即 m=147 ，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 6

29、2 .22【答案】（1）解：由题意得c=3.又点C(3，12)在椭圆M：x2a2+y2b2=1上，所以3a2+14b2=1，且a2b2=3，所以a=2，b=1，故椭圆M的方程为x24+y2=1.设点P(x，y)，由A(3，0)，B(3，0)得PAPB=x23+y2=x23+1x24=3x242.又x2，2，所以PAPB2，1（2）解：设过点B且斜率为k的直线方程为y=k(x3)，联立椭圆M方程得(1+4k2)x283k2x+12k24=0.设两点M(x1，y1)N(x2，y2)，故x1+x2=83k21+4k2，x1x2=12k241+4k2.因为k1+k2=y112x13+y212x23=(y1x2+x1y2)3(y1+y2)12(x1+x2)+3x1x23(x1+x2)+3，其中y1x2+x1y2=2kx1x23k(x1+x2)=8k1+4k2，y1+y2=23k1+4k2，故k1+k2=8k1+4k2+6k1+4k243k21+4k2+312k241+4k224k21+4k2+3=2k3所以k1+k22k=3为定值23【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c，则4a2+1b2=1a2=b2+c2ca=32，解得a2=8b2=2c2=6故椭圆C的方程为x28+y22=1.（2）解：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y=k(x2)，A(x1，