立体几何（解答题）-大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）含答案.pptx

1、立体几何（立体几何（解解答题答题）大数据之五大数据之五年年（2018-2022）高考真题高考真题汇汇编（新高编（新高考考卷与全国理卷与全国理科）科）一、解答题一、解答题1如图，是三棱锥 的高，=，E 是 的中点（1）求证：平面 ；（2）若 =30，=3，=5，求二面角 的正弦值2如图，四面体 中，=，=，E 为 AC 的中点1证明：平面 平面 ACD；（2）设 =2，=60，点 F 在 BD 上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积3在四棱锥 中，底面，=1，=2，=3（1）证明：；2求 PD 与平面 所成的角的正弦值4小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边

2、长 为 8（单位：cm）的正方形，均为正三角形，且它们所在的 平面都与平面 垂直（1）证明：平面 ；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）5如图，四面体 中，=，=，E 为 的中点（1）证明：平面 平面 ；（2）设 =2，=60，点 F 在 上，当 的面积最小时，求 与平 面 所成的角的正弦值6如图，在三棱柱 111 中，侧面 11 为正方形，平面 11 平面 11，=2，分别为 11 ，的中点（I）求证：/平面 11；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直线 与平面 所成角的正弦值。条件：；条件：=注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。7如图，直三棱柱

3、 111 的体积为 4，1 的面积为 2 2.1求 A 到平面 1 的距离；（2）设 D 为 1 的中点，1=，平面 1 平面 11，求二面角 的正弦值.8在四棱锥 中，底面 是正方形，若 =2,=5,=3（1）证明：平面 平面 ；2求二面角 的平面角的余弦值9已知正方体 1111，点 为 11 中点，直线 11 交平面 于点 （1）证明：点 为 11 的中点；311（2）若点 为棱 11 上一点，且二面角 的余弦值为 5，求 1 的值10如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，=120,=1,=4,=15，M，N 分别为,的中点，,.（1）证明：；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.11如

4、图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD 底面 ABCD，M 为 BC 的中点，且 PB AM.1证明：平面 PAM 平面 PBD；2若 PD=DC=1，求四棱锥 P-ADCD 的体积.12已知直三棱柱 111 中，侧面 11 为正方形 2，分别为 和1 的中点，11 （1）求三棱锥 FEBC 的体积；（2）已知 为棱 11 上的点，证明：13已知直三棱柱 ABC-A1B1C1.中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB=BC=2，E，F 分别为 AC 和 CC1的中点，D 为棱 A1B1 上的点，BF 丄 A1B1.1证明：BFDE；2当为 B1D 何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所

5、成的二面角的正弦值最小？14.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，且 PBAM，1求 BC；2求二面角 A-PM-B 的正弦值。15.如图，在棱长为 2 的正方体 1111 中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点（1）求证：1/平面 11；（2）求直线 1 与平面 11 所成角的正正弦值（3）求二面角 11 的正弦值16.如图，在三棱锥 A-BCD 中.平面 ABD 丄平面 BCD，AB=AD.O 为 BD 的中点.1证明：OACD：2若OCD 是边长为 1 的等边三角形.点 E 在 棱 AD 上.DE=2EA.且二面

6、角 E-BC-D 的大小为 45，求三棱锥 A-BCD 的体积.17如图，在长方体 1111 中，点,分别在棱 1,1 上，且 2=1，=21（1）证明：点 1 在平面 内；（2）若 =2，=1，1=3，求二面角 1 的正弦值18.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.1证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F；2设 O 为A1B1C1 的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A

7、1AMN 所 成角的正弦值.19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，为底面直径，=是底面的内接正三角形，P 为 上一点，=6 6（1）证明：平面 ；（2）求二面角 的余弦值20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l1证明：l平面 PDC；2已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值21如图，在三棱柱 111 中，1 平面,=2 ，1=3 ，点,分别在棱 1 和棱 1 上，且 =1 =2,为棱 11 的中点（）求证：1 1；（）求二面角 1 的正弦值；（）求直线 与平

8、面 1 所成角的正弦值22在三棱锥 ABCD 中，已知 CB=CD=5,BD=2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO=2，E为 AC 的中点（1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF=1 BC，设二面角 FDEC 的大小为，求 sin 的值423.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点1求证：EF平面 AB1C1；2求证：平面 AB1C平面 ABB124如图，在正方体 1111 中，E 为 1 的中点（）求证：1/平面 1；（）求直线 1 与平面 1 所成角的正弦值25.如图，

9、在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：1A1B1平面 DEC1；2BEC1E26.如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1AC1C平面 ABC，ABC=90.BAC=30，A1A=A1C=AC，E，F 分别是 AC，A1B1 的中点1证明：EFBC2求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.27如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，为等边三角形，平面 平 面 ，=2,=3，（）设,分别为,的中点，求证：平面 ；（）求证：平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值.28如图，平面 ，,，,=1,=2.（）求证：平面 ；（）求直

10、线 与平面 所成角的正弦值；（）若二面角 的余弦值为 1，求线段 的长.329图 1 是由矩形 ADEB、RtABC 和菱形 BFCC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DC，如题 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.30.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.1证明：BE平面 EB1C1；2若 AE=A1E，求二面角 BECC1 的正弦值

11、.31.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点.（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由.32.如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分 别是 BC，BB1，A1D 的中点1证明：MN平面 C1DE；2求二面角 A-MA1-N 的正弦值。33如图，四边形 为正方形，分别为，的中点，以 为折痕把 折 起，使点 到达点 的位置，且 .（1）证明：平面 平面 ；（2）求

12、与平面 所成角的正弦值.34如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中 点，AB=2，AD=2 3，BAD=90（）求证：ADBC；（）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；（）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值35如图，在三角锥 中，=2 2，=4，为 的中 点.（1）证明：平面 ；（2）若点 在棱 上，且二面角 为 30，求 与平面 所成角的正弦值.36如图，边长为 2 的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，是 上异于，的点。（1）证明：平面 平面（2）当三棱锥 M-ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MC

13、D 所成二面角的正弦值。37如图，在三菱柱 ABC-111 中，1 平面 ABC。D，E，F，G 分别为 1，AC，11 ，1 的中点，AB=BC=5，AC=1=2。（）求证：AC平面 BEF：（）求二面角 B-CD-1 的余弦值：（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交。答案解析部答案解析部分分1【答案】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、，因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ，平面 ，所以 、，又 =，所以 ，即 =，所以 =，又 ，即 =90，所以 +=90，+=90，所以 =所以 =，即 =，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以/，又 平面 ，平面 ，所以/平面（2）解：过点

14、 作 ，以 AB 为 轴，AC 为 轴，AF 为 z 轴建立如图所示的空问直角 坐标系.因为 =3，=5，由(1)=4，义 =30，所以，=4 3，所以(2 3，2，3)，(4 3，0，0)，(0，0，0)，(3 3，1，23)，设 =，则(0，0)，3 1=0平面 AEB 的法向量设为 1=(，)，=(4 3，0，0)，=(3 3，1，)，所2 1=0以4 3=03 3+=023，所以 =0，设 =2，则 =3，所以 1=(0，3，2)：3 2=0平面 AEC 的法向量设为 2=(，)，=(0，0)，=(3 3，1，)，所以2 2=03 3+=02=03，所以 =0，设 =3，则 =6，阦以

15、 2=(3，0，6)：12所 以 cos，=12 1212|1|2|13 3913 3=4 31313二面角 的平面角为 ，则 sin=1cos2=11，所以二面角 的正弦值为11。132【答案】（1）证明：由于 =，是 的中点，所以 .由于=，所以 ，所以 =，故 ，由于 =，所以 平面 ，平面 ，由于 平面 ，所以平面 平面 .（2）解：依题意 =2，=60，三角形 是等边三角形，所 以 =2，=1，=3，由于 =，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 =1.2+2=2，所以 ，由于 =，平面 ，所以 平面 .由于 ，所以 =，=由于=，所以 ，=所以 =，所以 ，由于 =1 ，所以当 最短

16、时，三角形 的面积最小值.2过 作 ，垂足为 ，222在 中，1 =1 ，解得 =3，所以 =212()2 3=12，=2=32，所以 =344过 作 ，垂足为 ，则/，所以 平面 ，且 =3，4所 以 =3，33244所 以 =1 =1 1 2 3 3=3.3【答案】（1）证明：在四边形 中，作 于 ，于 ，因为/，=1，=2，所以四边形 为等腰梯形，所 以 =1，2故 =3，=2+2=3，2所 以 2+2=2，所以 ，因为 平面 ，平面 ，所以 ，又 =，所以 平面 ，又因 平面 ，所以 （2）解：由(1)知，PD，AD，BD 两两垂直，=22=3，建立空间直角坐标系如图 所示，则(0，0

17、，0)，(1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，3)，=(0，0，3)，=(1，0，3)，=(1，3，0)，设平面 PAB 的法向量为 =(，)，则 =0 =0,即 3=0+3=0不妨设 =1，则 =(3，1，1)，设 PD 与平面 PAB 的所成角为，则sin=|cos，|=|=3 5|3|55=，PD 与平面 PAB 的所成的角的正弦值为5.54 【答案】（1）证明：分别取，的中点，连接 ，因为 ，为全等的正三角形，所以 ，=，又平面 平面 ，平面 平面 =，平面 ，所以 平面，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知/，而=，所以四边形 为平行四边形，所以/，又 平面 ，平面 ，所

18、以/平面 （2）解：分别取，中点，由（1）知，/且 =，同理有，/，=，/，=，/，=，由平面知识可知，=，所以 该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 4 倍因为 =4 2，=8sin60=4 3，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ，=2 2，所以该几何体的体积 =(4 2)213 4 3+4 4 2 4 3 2 2=128 3+256 3=640 3 335【答案】（1）证明：因为 =，E 为 的中点，所以 ；在 和 中，因为 =，=，=，所以 ，所以 =，又因为 E 为 的中点，所以 ；又因为，平面 ，=，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）解：连接

19、，由（1）知，平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 =1 ，2当 时，最小，即 的面积最小.因为 ，所以 =2，又因为 =60，所以 是等边三角形，因为 E 为 的中点，所以 =1，=3，1因为 ，所以 =1，2在 中，2+2=2，所以 .以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则(1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，1)，所以 =(1，0，1)，=(1，3，0)，设平面 的一个法向量为 =(，)，则 =+=0 =+3=0，取 =3，则 =(3，3，3)，34又因为(1，0，0)，(0，4 343)，所以 =(1，43)，|21 747所以 cos，=6=4 3，设 与平面 所成的角的

20、正弦值为(0 2)，所 以 sin=|cos，|=4 3，7所以 与平面 所成的角的正弦值为 4 3.76【答案】（I）设点 P 为 AB 中点，由于 P 为 AB 中点，N 为 AC 中点所以 PN 为 中位线/又 M 为 AB 中点，PM 是正方形 11 的中位线所以/11/1 =面 11 面 又 面/平面 11（II）选择条件，面 11 面 11面 11 面 =，面 11 面 =又/，又由：面 =面 故，1 两两垂直以 B 为原点，为 轴正方向，为 轴正方向，1 为 轴正方向建立坐标系：(0，0，0)，：(0，1，2)，：(1，1，0)，：(0，2，0)，=(0，1，2)，=(1，1，0

21、)，=(0，2，0)则 BMN 的法向量=(2，2，1)|AB 与面 BMN 所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值，即|=|64|=23故所求正弦为 2.37【答案】（1）因为，1=3=4，3所以 =4，设 A 到平面 1 的距离为 h；则 1=1433 =2（2）设 D 为 1 的中点，且 1=，平面1 平面11由于平面 平面11 BC平面 11平面 平面1=因为 平面 11，所以 ，在直角 中，=90，连接 1，过 A 作 1，则 平面 1，而 平面 11，故 1.由 1=，=2，所以 1=2，1=2 2，由 1=2 2=11 =2，2以 B 为原点，向量 ，1 分别为 x，y，z 轴，

22、建立如图所示的空间直角坐标系，则(2，0，0)，(0，2，0)，1(0，2，2)，(1，1，1)，(0，0，0)所以 =(0，2，0)，=(1，1，1)，=(2，0，0)设平面 ABD 的一个法向量 =(，)，=0 =0,=0+=0，令 =1，则有 =(1，0，1).设平面 BCD 的一个法向量 =(0，0，0)，=0 =0,0=00+0+0=0令 =1，则有 =(0，1，1)所以 cos，=|11=2 2=2sin，=32所以二面角 的正弦值为3.28 【答案】（1）取 的中点为 ，连接，.因为 =，=，则 ，而 =2，=5，故 =51=2.在正方形 中，因为 =2，故 =1，故 =5，因为

23、 =3，故 2=2+2，故 为直角三角形且 ，因为 =，故 平面 ，因为 平面 ，故平面 平面 .（2）在平面 内，过 作/，交 于 ，则 ，结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.则(0，1，0)，(0，0，2)，(2，1，0)，故 =(2，1，2)，=(2，2，0).设平面 的法向量 =(，)，则 =0 即 =02+2=022+2=0，取 =1，则 =1，=1，2)故 =(1，1，1.而平面 的法向量为 =(1，0，0)，故 cos，=1 2313=2.二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 2.39【答案】（1）如图所示，取 11 的中点 ，连结,，由于 1111 为正方体，,

24、为中点，故 ，从而,四点共面，即平面 CDE 即平面 ，据此可得：直线 11 交平面 于点 ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，即点 为 11 中点.（2）以点 为坐标原点，,1 方向分别为 轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐 标系 ，不妨设正方体的棱长为 2，设 1=(0 1)，11则：(2,2,2),(0,2,0),(1,2,2),(1,0,2)，从而：=(2,22,2),=(1,0,2),=(0,2,0)，设平面 的法向量为：=(1,1,1)，则：=21+(22)121=0，=1+21=0 1 令 1=1 可得：=(2,1)，1设平面 的法向量为：=(2,2,2)，则：，

25、=22=0 =2+22=0令 1=1 可得：=(2,0,1)，从而：=5,|=1 15+()2,|=5，则：cos,=|=5 1 15+()2 55=，3整理可得：(1)2=1，故 =1（=3 舍去）.4221 0【答案】（1）证明：在 中，=1，=2，=60，由余弦定理可得=3，所以 2+2=2，由题意 且 =，平面，而 平面 ，所以 ，又/，所以 （2）解：由 ，而 与 相交，所以 平面 ，因为=7，所以 =2 2，取 中点 ，连接 ，则,两两垂直，以点 为 坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,0,2 2),(3,0,0),(0,0,0),(3,1,0)3221

26、522又 为 中点，所以(,2),=(3 3,2).由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量 =(0,1,0)|5 4427+25+2从而直线 与平面 所成角的正弦值为 sin=|=2=1561 1【答案】（1）因为 底面 ，平面 ，所以 ，又 ，=，所以 平面 ，而 平 面 ，所以平面 平面 （2）由（1）可知，平面 ，所以 ，从 而 ，设 =，=2，则 =，即 22=1，解得 =2，所以 =2 2因为 底面 ，3故四棱锥 的体积为 =1 (1 2)1=2 312【答案】（1）如图所示，连结 AF，由题意可得：=2+2=4+1=5，由于 ABBB1，BCAB，1 =，故 平面 11，而 平

27、面 11，故 ，从而有 =2+2=4+5=3，从 而 =22=91=2 2，则 2+2=2，为等腰直角三角形，=1=1 1111(2 2)=1，=1 1=.222333（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体 1111，如图所示，取棱，的中点，连结 1，1，正方形 11 中，为中点，则 1，又 11，11 1=1，故 平面 11，而 平面 11，从而 .1 3【答案】（1）因为三棱柱 111 是直三棱柱，所以 1 底面 ，所以 1 因为 11/，11，所以 ，又 1 =，所以 平面 11 所以，1 两两垂直以 为坐标原点，分别以，1 所在直线为，轴建立空间直角坐标系，如图所

28、以(0，0，0)，(2，0，0)，(0，2，0)，1(0，0，2)，1(2，0，2)，1(0，2，2)，(1，1，0)，(0，2，1)由题设(，0，2)（0 2）因为 =(0，2，1)，=(1，1，2)，所以 =0 (1)+2 1+1 (2)=0，所以 （2）设平面 的法向量为 =(，)，因为 =(1，1，1)，=(1，1，2)，所以 =0 =0 ，即+=0(1)+2=0令 =2，则 =(3，1+，2)因为平面 11 的法向量为 =(2，0，0)，设平面 11 与平面 的二面角的平面角为 ，|2 222+14222+14则|cos|=|=6=3当 =1 时，222+4 取最小值为 27，222

29、723 3 此时 cos 取最大值为=6 所以(sin)min=31()2 6 3=，3此 时 1=1 21 4【答案】（1）解：因为 PD平面 ABCD，且矩形 ABCD 中，ADDC，所以以 ，分别为 x，y，z 轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz。2设 BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0，0，1)，所以 =（t，1，-1），2=（1，1，0），因为 PBAM，所以 =-2 +1=0，所以 t=2 ，所以 BC=2。2（2）设平面 APM 的一个法向量为 =（x，y，z），由于 =（-2 ，0，1），则=2+=02=2 +=0令 x=2 ，

30、得 =（2，1，2）。设平面 PMB 的一个法向量为 =（xt，yt，zt），则=2=0=2+=0令 =1，得 =(0，1，1).|7 21414所以 cos（，）=3=3 14，所以二面角 A-PM-B 的正弦值为 70.1 5【答案】（1）以 为原点，1 分别为，轴，建立如图空间直角坐标系，则(0，0，0)，1(0，0，2)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，1(2，2，2)，1(0，2，2)，因为 E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点，所以(2，1，0)，(1，2，0)，所 以 1=(1，0，2)，11=(2，2，0)，1=(2，1，2)，设平面 11 的一个法向

31、量为 =(1，1，1)，则 11=21+21=0 1=21+121=0，令 1=2，则 =(2，2，1)，因为 1 =22=0，所以 1 ，因为 1 平面 11，所以 1/平面 11；（2）由（1）得，1=(2，2，2)，设直线 1 与平面 11 所成角为 ，1则 sin=|cos，|=|1 1|=23 2 3 3=；9（3）由正方体的特征可得，平面 11 的一个法向量为 =(2，2，0)，3 2 2|3则 cos，=8=2 2，3所以二面角 11 的正弦值为1cos2，=1.1 6【答案】（1）=，为 中点，面 ，面 面 且 面 面 =，面 ，（2）以 为坐标原点，为 轴，为 轴，垂直 且过

32、 的直线为 轴，1 22 23 3设(3,1)，(0,1,0)，(0,1,0)，(0,0,)，(0,),0 =(0，332 2423,0)，,)，=(,3设 1=(1,1,1)为面 法向量，42 33 1=3 1 3 1=0 1=2 1+2 1=0，21+1=0，1+31=0令 1=1，1=2，1=3，2 1=(3，1，)，面 法向量为 =(0,0,)，cos1,=|2 2224+4|=，解得 =1，=1，=1 =1 2 1=1，2236=1|=3 1 7【答案】（1）解：在棱 1 上取点 G，使得 1=1，连接 、，112在长方体 1111 中，/且 =，1/1 且 1=1，1=1，=2，=

33、2=2=且 =，111233所以，四边形 为平行四边形，则/且 =，同理可证四边形 1 为平行四边形，1/且 1=，1/且 1=，则四边形 1 为平行四边形，因此，点 1 在平面 内（2）解：以点 1 为坐标原点，11、11、1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所 示的空间直角坐标系 1，则(2,1,3)、1(2,1,0)、(2,0,2)、(0,1,1)，=(0,1,1)，=(2,0,2)，1=(0,1,2)，1=(2,0,1)，设平面 的法向量为 =(1,1,1)，由 =0 =0，得11=02121=0取 1=1，得 1=1=1，则 =(1,1,1)，设平面 1 的法向量为 =(2,

34、2,2)，由 1=0 1=0，得22+2=02+22=0，取 2=2，得 2=1，2=4，则 =(1,4,2)，|3 217 37cos=，设二面角 1 的平面角为 ，则|cos|=7，sin=1cos2=42.77因此，二面角 1 的正弦值为 4271 8【答案】（1）解：,分别为 ，11 的中点，/1又 1/1/1在 中，M 为 中点，则 又 侧面 11 为矩形，1/1 由 =，,平 面 1 平 面 1又 11/，且 11 平面 ，平面 ，11/平面 又 11 平面 11，且平面 11 平面 =11/又 平 面 1 平面 1 平面 11 平面 11 平面 1（2）解：连接 /平面 11，平

35、面 平面 11=/根据三棱柱上下底面平行，其面 1 平面 =，面 1 平面 111=1/故：四边形 是平行四边形 设 边长是 6(0)可得：=，=6 为 111 的中心，且 111 边长为 63 =1 6 sin60=3故：=3/=33 3=3解得：=在 11 截取 1=，故 =2 1=且 1/四边形 1 是平行四边形，1/由（1）11 平面 1故 为 1 与平面 1 所成角在 ，根据勾股定理可得：=2+2=(2)2+(6)2=2 10 sin=22 10=1010 直线 1 与平面 1 所成角的正弦值：10.101 9【答案】（1）解：由题设，知 为等边三角形，设 =1，122264则 =3

36、，=1，所 以 =6=2，4 6 64=2 +2=,=2 +2=,sin602又 为等边三角形，则 =2，所以 =3，2+2=3=2，则 =90，所以 ，4同理 ，又 =，所以 平面 ；（2）解：过 O 作 BC 交 AB 于点 N，因为 平面 ，以 O 为坐标原点，OA 为 x轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，2211 314 44344则(,0,0),(0,0,),(,0),(,0)，14 3 2444 41 32412 24=(,)，=(,)，=(,0,)，设平面 的一个法向量为 =(1,1,1)，由 =0 =0 ，得1 31 21=01+31 21=0，令 1=2，得

37、1=1,1=0，所以 =(2,0,1)，设平面 的一个法向量为 =(2,2,2)由 =0，得 =022 22=032 32 22=0，令 2=1，得 2=2,2=3，所 以 =(1,3,2)3|3 1035故 cos=2 2=2 5，设二面角 的大小为 ，则 cos=2 5.52 0【答案】（1）解：在正方形 中，/，因为 平面 ，平面 ，所以/平面 ，又因为 平面 ，平面 平面 =，所以/，因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以 ,且 平面 ，所以 ,因为 =所以 平面 ；（2）解：如图建立空间直角坐标系 ，因为 =1，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1

38、,1,0)，设(,0,1)，则有 =(0,1,0),=(,0,1),=(1,1,1)，设平面 的法向量为 =(,)，则 =0 =0 ，即=0+=0，令 =1，则 =，所以平面 的一个法向量为 =(1,0,)，则cos=|=1+0+3 2+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以3 2+13|1+|直线与平面所成角的正弦值等于|cos|=3 2+131+2+2=3 31+2 3 1+2|2+12+1 3 31+1=6，当且仅当 =1 时取等号，3所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为6.32 1 【答案】解：依题意，以 为原点，分别以 、1 的

39、方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可 得(0,0,0)、(2,0,0)、(0,2,0)、1(0,0,3)、1(2,0,3)、1(0,2,3)、(2,0,1)、(0,0,2)、(1,1,3).（）依题意，1=(1,1,0)，1=(2,2,2)，从而 1 1=22+0=0，所以 1 1；（）依题意，=(2,0,0)是平面 1 的一个法向量，1=(0,2,1)，=(2,0,1)设 =(,)为平面 1 的法向量，则 1=0，即 2+=0，=02=0不妨设 =1，可得 =(1,1,2)2 6|6 26cos=，sin=1cos2 =30 6所以，二面角 1 的正弦值为 3

40、0；6（）依题意，=(2,2,0)1|由（）知 =(1,1,2)为平面 的一个法向量，于是 cos=42 2 6=3 3所以，直线 与平面 1 所成角的正弦值为 3.32 2【答案】（1）解：连 =,=以,为,轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)=(1,0,2),=(1,1,1)cos=15 3=1515从而直线 与 所成角的余弦值为1515（2）解：设平面 一个法向量为 1=(,),+2=0+=0 =(1,2,0),1 =0 1 =0令 =1 =2,=1 1=(2,1,1)2设平面 一个法向量为 =(1,1,1),=+=+144

41、 22 =07 12 =0=(,0),714 1+2 1=01+1+1=0113令 1=7 1=2,1=5 2=(2,7,5)6 cos=6 78因 此 sin=12=2 3913132 3【答案】（1）证明：由于,分别是,1 的中点，所以/1 .由于 平面 11 ,1 平面 11 ，所以/平面 11 .（2）证明：由于 1 平面 ，平面 ，所以 1 .由于 ,1=，所以 平面 1,由于 平面 1，所以平面 1 平面 1.24【答案】解：（）如下图所示：在正方体 1111 中，/11 且 =11，11/11 且 11=11，/11 且 =11，所以，四边形 11 为平行四边形，则 1/1，1

42、平面 1，1 平面 1，1/平面 1；（）以点 A 为坐标原点，、1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间 直角坐标系 ，设正方体 1111 的棱长为 2，则(0,0,0)、1(0,0,2)、1(2,0,2)、(0,2,1)，1=(2,0,2)，=(0,2,1)，设平面 1 的法向量为 =(,)，由 1=0，得 2+2=0，=02+=0令 =2，则 =2，=1，则 =(2,1,2).cos=1=4=2.3因此，直线 1 与平面 1 所成角的正弦值为 2.25【答案】（1）证明：因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABA1

43、B1，所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）解：因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE.因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.2 6【答案】（1）连接 A1E，因为 A1A=A1C，E 是 AC 的中点，所以 A1EAC.又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E 平面 A1ACC1，

44、平面 A1ACC1平面 ABC=AC，所以，A1E平面 ABC，则 A1EBC.又因为 A1FAB，ABC=90，故 BCA1F.所以 BC平面 A1EF.因此 EFBC.（2）取 BC 中点 G，连接 EG，GF，则 EGFA1 是平行四边形由于 A1E平面 ABC，故 AE1EG，所以平行四边形 EGFA1 为矩形 由（I）得 BC平面 EGFA1，则平面 A1BC平面 EGFA1，所以 EF 在平面 A1BC 上的射影在直线 A1G 上.连接 A1G 交 EF 于 O，则EOG 是直线 EF 与平面 A1BC 所成的角（或其补角）.不妨设 AC=4，则在 RtA1EG 中，A1E=23

45、，EG=3.22由于 O 为 A1G 的中点，故 =1=15，所 以 cos=2+22=3 2 55因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值是 3 方法二：连接 A1E，因为 A1A=A1C，E 是 AC 的中点，所以 A1EAC.又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E 平面 A1ACC1，平面 A1ACC1平面 ABC=AC，所以，A1E平面 ABC.如图，以点 E 为原点，分别以射线 EC，EA1 为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Exyz.不妨设 AC=4，则2 2A1（0，0，23 ），B（3 ，1，0），1(3,3,2 3)，(3,33)，C(0，2，0).,2

46、因此，=(3,33)，=(3,1,0)由 =0 得 ,22 22 7【答案】解：（）证明：连接 ，易知 =，=.又由 =，故 ，又因为 平面 ，平面 ，所以 平面 .（）证明：取棱 的中点 ，连接 .依题意，得 ，又因为平面 平面，平面 平面 =，所以 平面 ，交 平面 ，故 .又已知 ，=，所以 平面 .（）解：连接 ，由（）中 平面 ，可知 为直线 与平面 所成 的角，因为 为等边三角形，=2 且 为 的中点，所以 =3.又 ，3在 中，sin=3.所以，直线 与平面 所成角的正弦值为332 8 【答案】解：依题意，可以建立以 为原点，分别以 ，的方向为 轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（

47、如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)，(0,0,2).设 =(0)，则(1,2,).（）证明：依题意，=(1,0,0)是平面 的法向量，又 =(0,2,)，可得 =0，又因为直线 平面 ，所以 平面 .（）依题意，=(1,1,0),=(1,0,2),=(1,2,2).设 =(,)为平面 的法向量，则 =0,=0,即+=0,+2=0,不妨令 =1，|9可得 =(2,2,1).因此有 cos,=4.9所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 4.（）设 =(,)为平面 的法向量，则 =0,=0,即+=0,2+=0,2不妨令 =1，可得 =(1,1,).由题意，有|

48、cos,|=|=|4 2|3 2+4 2=1，解得 =8.经检验，符合题意.37所以，线段 的长为 872 9【答案】（1）解：由已知得 AD BE，CG BE，所以 AD CG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面由已知得 AB BE，AB BC，故 AB又因为 AB 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE 平面 BCGE（2）作 EH BC，垂足为 H因为 EH 平面 BCGE，平面 BCGE 平面 ABC，所以 EH 平面 ABC 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC=60，可求得 BH=1，EH=3 以 H 为坐标 原点，的方向为 x 轴的正方向

49、，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz，则 A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），=（1，0，3），=（2，1，0）设平面 ACGD 的法向量为 =（x，y，z），则 =0,=0,即+3=0,2=0.所以可取 =（3，6，3）|2又平面 BCGE 的法向量可取为 =（0，1，0），所以 cos,=3 因此二面角 BCGA 的大小为 303 0【答案】（1）解：由已知得，11 平面 11，平面 11，故 11 又 1，所以 平面 11（2）由（1）知 1=90 由题设知 11，所以 =45，故=，1=2 以 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角

50、坐标系 D-xyz，则 C（0，1，0），B（1，1，0），1（0，1，2），E（1，0，1），=(1,1,1)，1=(0,0,2)设平面 EBC 的 =0,法向量为 =（x，y，x），则 =0,即=0,+=0,所以可取 =(0,1,1).=0,设平面 1 的法向量为 =（x，y，z），则 1 =0,即2=0,+=0.所以可取 =（1，1，0）|22于是 cos=1 所以，二面角 的正弦值为 3 13 1 【答案】（）证明：因为 ABCD 为菱形，所以 ，又因为 平面，所以 ，而 =，故 平面；（）因为 =60,所以 =60，故 为等边三角形，而 E 为 CD 的中点，故 ,所以 ,又因为 平