解三角形（解答题）-大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）（附答案）.pdf

1、解三角形（解答题）大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）解三角形（解答题）大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题一、解答题1在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 4=5，cos=35（）求 sin 的值；（）若 =11，求 的面积2记 的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 1，2，3，已知 12+3=32，sin=13 （1）求 的面积；（2）若 sinsin=23，求 b 3记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 si

2、nsin()=sinsin()（1）若 =2，求 C；（2）证明：22=2+2.4记 的内角，的对边分别为，已知 sinsin()=sinsin()（1）证明：22=2+2；（2）若 =5，cos=2531，求 的周长 5在 中，sin2=3sin （I）求 ：（II）若 =6，且 的面积为 6 3，求 的周长6记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 1+=21+2.（1）若 =23，求 B；（2）求 2+22 的最小值.7已知点 A(2，1)在双曲线 C：22221=1(1)上，直线 交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为 0.（1）求 的斜率；（2）若 =

3、2 2，求 的面积.8在 中，角 A，B，C 所对的边长分别为,=+1,=+2 （1）若 2sin=3sin，求 的面积；（2）是否存在正整数 a，使得 为钝角三角形?若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 9已知在 中，=2cos，=23 （1）求 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度 =2；周长为 4+2 3；面积为=3 34；10在 ，角，所对的边分别为，已知 sin：sin：sin=2：1：2，=2 （1）求 a 的值；（2）求 cos 的值；（3）求 sin(26)的值 11记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a.，

4、b.，c,已知 2=ac,点 D 在边 AC 上，BDsinABC=asinC.（1）证明：BD=b：（2）若 AD=2DC.求 cosABC.12 中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求 A；（2）若 BC=3，求 周长的最大值.13在=3，=3，=3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在 ，它的内角,的对边分别为,，且 =3，=6，?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分14在 中，角,所对的边分别为,已知 =2 2,=5,=13 （）求角 C 的大小；（）求 sin 的值；（

5、）求 sin(2+4)的值15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 =3,=2,=45 （1）求 sin 的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得 cos=45，求 tan 的值 16在 中，+=11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a 的值：（）sin 和 的面积条件：=7，cos=17；条件：cos=18，cos=916 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分17在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bsinA 3 a （）求角 B；（）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围18在ABC 中，角 A，

6、B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值；（2）若 sin=cos2，求 sin(+2)的值 19在 中，内角,所对的边分别为,.已知 +=2，3sin=4sin.（）求 cos 的值；（）求 sin(2+6)的值.20ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin+2=sin（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围.21在ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12.（I）求 b，c 的值：（II）求 sin（B+C）的值.22在ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12.（

7、I）求 b，c 的值；（II）求 sin（B-C）的值.23ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。（1）求 A；（2）若 2+=2,求 sinC.24在平面四边形 中，=90，=45，=2，=5.（1）求 cos；（2）若 =2 2，求 .25在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin=cos(6).（）求角 B 的大小；（）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2)的值.26在ABC 中，a=7，b=8，cosB=-17，（）求A：（）求 AC 边上的高。答案解析部分答案解析部分1【答案】解：

8、（）由于 cos=35，sin 0，则 sin=45.由正弦定理可知 4sin=5sin，则 sin=55.（）因为 sin=45 sin=55，则 2，所以 1)上，所以有 42121=1解得 2=2，所以双曲线：222=1设直线：=+，(1，1)，(2，2)，联立 222=1=+消去 y 得到(122)24222=0显然 122 0，否则不可能有两个交点，而 =(4)24(122)(222)=8(2+122)0，由韦达定理得 1+2=4122，12=222122因为直线 AP，AQ 的斜率之和为 0，所以 0=1112+2122=(11)(22)+(21)(12)(12)(22)所以 12

9、22 所以(11)(22)+(21)(12)=0即(1+1)(22)+(2+1)(12)=0，所以有 212+(12)(1+2)4(1)=0，将韦达定理代入化简得(+1)(2+1)=0，而当 2+1=0，此时直线 为 =+12，易知恒过定点(2，1)，故舍去，所以 =1，此时满足 0.（2）又由（1）易知 1+2=4，12=22+2，且|12|=(1+2)2412=2 2 28依题可设 AP 斜率为 1，斜率为-1，则由夹角公式知（后面补充证明）2 2=tan=111+1(1)，由对称性易知，只需考虑 1 0 的情况就行，所以有 221+1 2=0，解得 1=2 或 1=22（舍）.而 1=1

10、11211=1(12)，同理 21=1(22)，而 =(12，11)，=(22，21)，=12|(12)(21)(22)(11)|=12|1(12)(22)1(22)(12)|=22|(12)(22)|=22|122(1+2)+4|=2|24+3|另一方面，联立 11=1(12)1=1+,=,1,(12),+,1,+,1，（1）同理 =1(22)+1+2，（2）将以上两式相加，得 2=1(12)+2+(1+2)，解得 =113，所以=2|24+3|=16 298【答案】（1）因为 2sin=3sin，则 2=2(+2)=3，则 =4，故 =5，=6，cos=2+222=18，所以，为锐角，则

11、sin=1cos2=3 78，因此，=12sin=12 4 5 3 78=15 74；（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，由余弦定理可得 cos=2+222=2+(+1)2(+2)22(+1)=2232(+1)0，解得 1 3，则 0 +2，可得 1，故 =2.9【答案】（1）=2cos，则由正弦定理可得 sin=2sincos，sin2=sin23=32，=23，(0,3)，2 (0,23)，2=3，解得 =6；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得=sinsin=3212=3，与 =2 矛盾，故这样的 不存在；若选择：由（1）可得 =6，设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 =2

12、sin6=，=2sin23=3，则周长 +=2+3=4+2 3，解得 =2，则 =2,=2 3，由余弦定理可得 边上的中线的长度为：(2 3)2+122 2 3 1 cos6=7；若选择：由（1）可得 =6，即 =，则=12sin=12232=3 34，解得 =3，则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：2+(2)22 2 cos23=3+34+3 32=212.10【答案】（1）因为 sin：sin：sin=2：1：2，由正弦定理可得：=2：1：2，=2，=2 2，=2；（2）由余弦定理可得 cos=2+222=8+242 2 2 2=34；（3）cos=34，sin=1cos2=74，sin

13、2=2sincos=2 7434=3 78，cos2=2cos21=2 9161=18，所以 sin(26)=sin2cos6cos2sin6=3 78321812=3 21116.11【答案】（1）在 中，sin=sin，sin=sin，sin=sin，联立 得=，即 =，2=，=（2）若 =2，中，cos=2+222 ，中，cos=2+(3)222 3，=，(2+22)=32+(3)22，整理得 2+22=32+2332，221132+2=0，2=，6211+32=0，即 =3 或 =32，若 =3 时，2=23，则 cos=2+222 =29+223232=792232=76（舍），若

14、=32，2=322，则 cos=2+222 =942+232232=74232=712.12【答案】（1）解：由正弦定理可得：222=，cos=2+222 =12，(0,)，=23.（2）解：由余弦定理得：2=2+22 cos=2+2+=9，即(+)2 =9.(+2)2（当且仅当 =时取等号），9=(+)2 (+)2(+2)2=34(+)2，解得：+2 3（当且仅当 =时取等号），周长 =+3+2 3，周长的最大值为 3+2 3.13【答案】解：解法一：由 =3 可得：=3，不妨设 =3,=(0)，则：2=2+22=32+22 3 32=2，即 =.选择条件的解析：据此可得：=3 =32=3，

15、=1，此时 =1.选择条件的解析：据此可得：=2+222=2+23222=12，则：=1(12)2=32，此时：=32=3，则：=2 3.选择条件的解析：可得=1，=，与条件 =3 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：=3,=6,=(+),=3sin(+)=3sin(+6),=3sin(+)=332+312 ，=3,=3,=23,=6,若选，=3,=3=3,32=3,c=1;若选，=3,则 32=3,=2 3;若选,与条件 =3 矛盾.14【答案】解：（）在 中，由 =2 2,=5,=13 及余弦定理得 cos=2+222=8+25132 2 2 5=22，又因为 (0,)，所以 =4；（）

16、在 中，由 =4，=2 2,=13 及正弦定理，可得 sin=sin=2 2 2213=2 1313；（）由 0，所以 cos=2sin 0，从而 cos=2 55.因此 sin(+2)=cos=2 5519【答案】解：在 中，由正弦定理 sin=sin，得 sin=sin，又由 3sin=4sin，得 3sin=4sin，即 3=4.又因为 +=2，得到 =43，=23.由余弦定理可得 cos=2+222=2+49216922 23=14.（）由（）可得 sin=1cos2=154，从而 sin2=2sincos=158，cos2=cos2sin2=78，故sin(2+6)=sin2cos6

17、+cos2sin6=158327812=3 5+71620【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 sinsin+2=sinsin 因为 sinA 0，所以 sin+2=sin 由 +=180，可得 sin+2=cos2，故 cos2=2sin2cos2 因为 cos2 0，故 sin2=12，因此 B=60（2）由题设及（1）知ABC 的面积=34 由正弦定理得 =sinsin=sin(120)sin=32tan+12 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90，由（1）知 A+C=120，所以 30C90，故 12 2，从而 38 32 因此，ABC 面积的取值范围是(38,32)21【

18、答案】解：（I）根据余弦定理 2=2+22cos，故(2+)2=9+22 3 (12)，解得 c=5，b=7；（II）根据 cos=12，得 sin=32，根据正弦定理，sin=sin，得 732=5sin，解得 sin=5 314，所以 cos=1114，所以 sin(+)=sincos+cossin=321114+(12)5 314=3 314.22【答案】解：（I）根据余弦定理 2=2+22cos，故(2+)2=9+22 3 (12)，解得 c=5，B=7；（II）根据 cos=12，得 sin=32，根据正弦定理，sin=sin，得 732=5sin，解得 sin=5 314，所以 c

19、os=1114，所以 sin()=sincoscossin=321114(12)5 314=16 328=4 37.23【答案】（1）解：(sinsin)2=sin2sinsin,sin2+sin2sin2=sinsin,由正弦定理得：2+22=,由余弦定理得：cos=2+222=12,=3或=53,在三角形中，0 ,=3（2）解：2+=2，A=3由正弦定理得：2sin+sin=2sin+sinsin+cossin=2sin,代入 A 得：62+sin（23-C）=2sinC 解得：sin（C-6）=22C-6=4，C=4+6sinC=（4+6）=sin4cos6+=cos4sin6=2232

20、+2212=6+2424【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得=.由题设知，545=2，所以 =25.由题设知，90，所以 =1225=235.（2）解：由题设及（1）知，=25.在 中，由余弦定理得2=2+22 =25+82 5 2 2 25=25.所以 =5.25【答案】解：.解：（）中，由正弦定理 sin=sinsin=sin=cos(6)sin=cos(6)sin=cos(6)tan=3又 0 =3（）中，a=2，c=3，=3 则 2=2+22cos=7=7由 sin=cos(6)sin=37=217 2，所以 =3。（）设 AB 边上的高为 h，则 h=asinC.又 sinC=(+)=sincos+sincos=32(17)+124 37=3 314，而 h=7 3 314=3 32。