信号与系统-cp7离散时间信号与系统的Z域分析课件.pptx

1、课程目录课程目录第第1 1章章 绪论绪论第第2 2章章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析第第3 3章章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析第第4 4章章 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析第第5 5章章 离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析第第6 6章章 离散时间信号与系统的频域分析离散时间信号与系统的频域分析第第7 7章章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2022-8-102第七章第七章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.8 7.8 H(z)H(z

2、)与离散系统频率响应与离散系统频率响应7.1 7.1 引言引言 7.2 7.2 Z Z变换变换 7.7 7.7 线性时不变离散系统的稳定性线性时不变离散系统的稳定性7.6 7.6 离散系统的零、极点与时域响应离散系统的零、极点与时域响应7.5 7.5 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析7.3 7.3 Z Z变换的性质变换的性质7.4 7.4 Z Z反变换反变换7.9 7.9 Z Z域与域与S S域的关系域的关系7.10 7.10 离散系统的结构离散系统的结构7.11 7.11 小结及习题小结及习题 Z Z 变换是研究变换是研究离散时间信号与系统离散时间信号与系统的重要工具。如果把离散的重要

3、工具。如果把离散时间信号视为连续时间信号经抽样后得到的样值序列，则时间信号视为连续时间信号经抽样后得到的样值序列，则Z Z变换变换可以视为离散域的拉普拉斯变换。可以视为离散域的拉普拉斯变换。因此可以认为因此可以认为Z Z变换变换和和拉普拉斯变换拉普拉斯变换是等价的。是等价的。Z Z变换可将描述变换可将描述离散时间系统离散时间系统的的差分差分方程转换成方程转换成Z Z域域的的代数代数方方程，使得离散时间信号的卷积和运算转换成程，使得离散时间信号的卷积和运算转换成Z Z域的代数运算。域的代数运算。式中，式中，T T为抽样周期（需要注意的是抽样周期要满足抽样定为抽样周期（需要注意的是抽样周期要满足抽

4、样定理的要求）理的要求）两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 sXssT()()()()()nx tx ttx ttnT=()()nx nTtnT=令令则上式可写为则上式可写为 从从式式 可以看出，序列的单边可以看出，序列的单边Z Z变换可以视为单边序列的双边变换可以视为单边序列的双边Z Z变换变换 （7-3）（7-2）（7-4）（7-4）esTz由双边由双边Z变换式变换式(7-3)(7-3)和单边和单边Z变换式变换式(7-4)(7-4)定义可以看出，它们的关系为定义可以看出，它们的关系为 上面从上面从连续信号抽样连续信号抽样出发，给出了出发，给出了Z变换的定义，事变换的定义，

5、事实上，对于其他类型的实上，对于其他类型的离散信号离散信号（不一定从连续信号抽（不一定从连续信号抽样得到）也可以进行双边样得到）也可以进行双边Z变换和单边变换和单边Z变换。变换。也就是说，也就是说，Z变换是一个变换是一个计算工具计算工具，不仅是一个在离，不仅是一个在离散域处理连续时间信号与系统的工具，而且对其他离散散域处理连续时间信号与系统的工具，而且对其他离散时间信号也可以进行时间信号也可以进行Z变换。变换。对于任意给定的有界序列对于任意给定的有界序列 ,使得该序列使得该序列Z Z变换存在的复变量变换存在的复变量z z的集的集合，称为合，称为Z Z变换的收敛域变换的收敛域 7.2.2 z7.

6、2.2 z变换的收敛域变换的收敛域确定确定z z变换的收敛区，其实质是序列的变换的收敛区，其实质是序列的z z变换是否存在以及存在条件。变换是否存在以及存在条件。zXz z的范围的范围-收敛域收敛域1.1.的收敛区的含义的收敛区的含义 convergenceROC region of2.2.的收敛区的分析的收敛区的分析 zX序列序列 的的Z Z变换是变换是复变量复变量z z的幂级数的幂级数(也称罗朗也称罗朗LaurentLaurent级数级数)其系数是序列其系数是序列 的样值，只有当的样值，只有当幂级数收敛幂级数收敛时，其时，其Z Z变换才有意义。变换才有意义。nx nx nx任意序列任意序列

7、z z变换存在的充分条件是其对应的正项级数收敛，即变换存在的充分条件是其对应的正项级数收敛，即两种方法可以判断正向级数的收敛性两种方法可以判断正向级数的收敛性（3 3）序列特征与其双边序列特征与其双边Z Z变换收敛域的对应关系变换收敛域的对应关系 Z Z变换的收敛问题是一个级数收敛问题；变换的收敛问题是一个级数收敛问题；根据级数理论可知，一个任意级数，只要由其各项的绝对值构成的所谓正根据级数理论可知，一个任意级数，只要由其各项的绝对值构成的所谓正项级数收敛，则该级数必收敛。项级数收敛，则该级数必收敛。()nnnnx n za 其它021nnnnxnx nnnnznxzX21几种特殊序列的几种特

8、殊序列的z z变换收敛域变换收敛域(1)(1)有限长序列有限长序列Z Z变换变换只要每一项的取值为有只要每一项的取值为有限值，其和即为有限值限值，其和即为有限值的双边的双边z z变换及单边变换及单边z z变换变换求有限长序列求有限长序列 由于由于 ，所以其，所以其z z变换收敛域为变换收敛域为 0()(2),(1),(0),(1),(2),(3)6,5,4,3,2,1nx nxxxxxx32123b2()()()654321nnnnXzx n zx n zzzzzz双边双边z z变换为：变换为：120N 230N 0 z 由于由于 ，所以其，所以其z z变换收敛域为变换收敛域为 单边单边z z

9、变换为：变换为：230N 3123s00()()()432nnnnXzx n zx n zzzz10N|0z 例例7-17-1解解的的Z Z变换变换求单位样值序列求单位样值序列由由Z Z变换的定义可得：变换的定义可得：记记 ，故有，故有 考虑数学中规定零的零次幂没有意义，当考虑数学中规定零的零次幂没有意义，当|0z 例例7-27-2解解()n00()()(0)nnnn zzzZ0z 01z (1|0)zn，Z表明单位样值序列表明单位样值序列 的的Z Z变换是常数变换是常数1 1，其收敛域为，其收敛域为 ()n nnnznxzX1(2)(2)右边序列右边序列 右边序列右边序列 在在 内取非零的有

10、限值，其他内取非零的有限值，其他点为点为零零，其，其Z Z变换可表示为变换可表示为()x n1Nn 若右边序列若右边序列 ()()为因果序列，即为因果序列，即 根据比值判定法可知，若满足根据比值判定法可知，若满足()x n1Nn 10N(1)111(1)(1)(1)limlimlim=lim1()()()nnnnnnnnnnnaxxxaxxxnnnzzzz即即1(1)lim|()nnnxRxz则该级数收敛则该级数收敛其中其中 为收敛半径，因此右边因果序列的收为收敛半径，因此右边因果序列的收敛域是半径为敛域是半径为 的圆外部分，即的圆外部分，即 ，如图，如图a a所示所示 若右边序列若右边序列

11、()()为非因果序列，即为非因果序列，即第一项：有限长序列，当第一项：有限长序列，当 、时，收敛域时，收敛域1(1)=lim()nx nnRx1R1|zR()x n1Nn 10N 1110()()()()nnnn Nn NnX zx n zx n zx n z10N 20Nz 第二项：右边因果序列，由第二项：右边因果序列，由 得收敛域得收敛域1(1)lim|()nnnxRxz1|zR因此，两个收敛区间的交集为所求收敛区间（图因此，两个收敛区间的交集为所求收敛区间（图b)b)1Rz 10N 求因果序列求因果序列 的的Z Z变换和收敛域，式中变换和收敛域，式中a a为常数为常数 由由Z Z变换的定

12、义，因果序列变换的定义，因果序列 的双边的双边Z Z变换和单边变换和单边Z Z变换相同变换相同对于因果序列，其收敛区间为对于因果序列，其收敛区间为例例7-37-3解解利用等比级数求和公式可得利用等比级数求和公式可得()()nx nan()x n0()()nnnnnnX zan za z1(1)lim()kx kzRx k1limnnnaaa11111|1|1()()lim 1|1|NNzazzaazX zzaazazza，即无界或不确定，即，对于因果序列对于因果序列 ，仅当，仅当 时，其时，其Z Z变换存在变换存在()x n|za 在在Z Z平面上，平面上，ROCROC是以原点为中心、以是以原

13、点为中心、以 为半径的圆的圆为半径的圆的圆外区域，如图外区域，如图a a所示。所示。|a 称为收敛半径，称为收敛半径，是是z z的有理函数的有理函数()X z 本例中，本例中，具有一个具有一个零点零点 和一个和一个极点极点()X z0z za因果序列因果序列 与其与其Z Z变换的对应关系为变换的对应关系为()nan()|nzanzaza，因果指数序列 的Z变换的收敛域和零、极点()nan求因果指数序列求因果指数序列对于因果序列，其双边对于因果序列，其双边Z Z变换和单边变换和单边Z Z变换相同变换相同根据右边序列根据右边序列 的的Z Z变换可知变换可知例例7-47-4解解当当 时时0je()n

14、n（为实数）和为实数）和 的的Z Z变换变换。0()n()nan()|nzanzaza，0jea（为实数）为实数）000jje()|1enznzz，当当 时，求得单位阶跃序列时，求得单位阶跃序列 的的Z Z变换为变换为1a()n()|1 1znzz，(3)(3)左边序列左边序列 左边序列左边序列 在在 内取非零的有限值，其他内取非零的有限值，其他点为点为零零，其，其Z Z变换可表示为变换可表示为()x n 若若 ，则，则 为非因果左边序列为非因果左边序列根据比值判定法可知，若满足根据比值判定法可知，若满足()x n即即2nN 22()()()NnnnnNX zx n zxn z20N1(1)(

15、1)(1)limlimlim1()()nnnnnnnnznznazaxnxxx2()lim|(1)|(nnxzxRn则该级数收敛，其收敛区间为则该级数收敛，其收敛区间为 ，如图，如图a a2zR第一项：有限长序列，收敛域第一项：有限长序列，收敛域第二项：比值判定法，收敛域第二项：比值判定法，收敛域因此，两个收敛区间的交集为所求收敛区间（图因此，两个收敛区间的交集为所求收敛区间（图b)b)若若20N2220110()()()()()()NNnnnnnnnnnNnX zx n zx n zx n zxn zxn z|0z2()lim|(1)|(nnxzxRn20|zR例例7-57-5解解求序列求序

16、列 的的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域（式中，（式中，a a为常数）为常数）()(3)nx nan当当 时，时，取非零值，当取非零值，当 时，时，2n ()x n2n()0 x n 因此序列因此序列 是非因果序列，其单边是非因果序列，其单边()(3)nx nan Z Z变换等于零。变换等于零。的双边的双边Z Z变换为变换为()x n331()(3)()()nnnnnnnnX zanzaza z令令 m=-n，代入得，代入得3113()()()nmnmX za za z令令 n=m，代入得，代入得113131300()()()()()mnnmnnX za za za za z 2311|1|

17、1|aza zzazaa zza，即无界或不确定，即，收敛区间收敛区间|za也可用比值法求其收敛区间也可用比值法求其收敛区间例例7-67-6解解求非因果序列求非因果序列 的的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域（式中，（式中，a a为常数）为常数）当当 时，时，取非零值，当取非零值，当 时，时，()x n()0 x n 的单边的单边Z Z变换为变换为()(3)nx nan 4n 4n()x n300()(3)()nnnnnnX zanzaz()X z0z 如图如图b b所示所示这是一个有限长序列的这是一个有限长序列的Z Z变换变换在在 的区域内收敛的区域内收敛第一项：有限长序列，收敛域第一项：有

18、限长序列，收敛域第二项：比值判定法，收敛域第二项：比值判定法，收敛域因此，两个收敛区间的交集为所求收敛区间（图因此，两个收敛区间的交集为所求收敛区间（图c)c)|0z 的单边的单边Z Z变换为变换为33130()(3)nnnnnnnnnnnnnnnX zanza zazazaz ()x n(1)()limlim(1|)nnnnanazxxna0|za如图如图c c所示所示其收敛域其收敛域130431()|0|10|n nn nnnX za za za zza zzaza，即无界或不确定 其他，0za(4)(4)双边序列（无始无终）双边序列（无始无终）XXRR1n2n nnnnnnznxznxz

19、nxzX01zRX的收敛域的收敛域 的收敛域的收敛域 XRz0XXRzRXXRR、的公共收敛域的公共收敛域 双边序列双边序列z z变换不存在变换不存在收敛域小结：收敛域小结：右边序列右边序列-圆外圆外左边序列左边序列-圆内圆内双边序列双边序列-两圆之间两圆之间例例7-77-7解解求双边序列求双边序列 的的Z Z变换及其变换及其 （式中，（式中，a a、b b为常数）为常数）根据单边根据单边Z Z变换定义，得单边变换定义，得单边Z Z变换变换根据右边序列根据右边序列Z Z变换的判据可知，级数在变换的判据可知，级数在 时收敛时收敛()()(1)nnx nanbn 收敛域收敛域1000()()()(

20、1)()nnnnnnnnzX zx n zanbnzazza|za 根据双边根据双边Z Z变换定义，双边变换定义，双边Z Z变换变换1110()()()(1)()()nnnnnnnnnnX zx n zanbnzazbz 第一项：级数在第一项：级数在 时收敛时收敛第二项：级数在第二项：级数在 时收敛时收敛 由比值判定法可知由比值判定法可知|za|zb 若若 ，ROCROC为为 ，是半径为，是半径为 和和 两个圆两个圆|ab|azb|a|b之间的公共区域，如图所示，此时之间的公共区域，如图所示，此时 的双边的双边Z Z变换为变换为 ()x n()()|()()zzab zX zazbzazbza

21、 zb，其其Z Z变换具有一个零点变换具有一个零点z=0z=0和两个极点和两个极点z=az=a和和z=bz=b 若若 ，由于两项级数没有公共收敛域，由于两项级数没有公共收敛域|ab双边双边Z Z变换不存在变换不存在()x n(5)(5)常用序列与常用序列与Z Z变换对应关系变换对应关系(5)(5)常用序列与常用序列与Z Z变换对应关系变换对应关系注：a、b 为非零实常数，为实常数，m为正整数。0MATLABMATLAB求因果序列求因果序列Z Z变换变换结果结果这个程序没有给出收敛域。这个程序没有给出收敛域。Z Z变换指令变换指令ztrans(x)ztrans(x)假定序列假定序列x x是因果序

22、列，对于非是因果序列，对于非因果序列，这个指令无法给出正确的结果。因果序列，这个指令无法给出正确的结果。MATLABMATLAB实现实现Z Z变换变换结果结果 （1 1）线性特性线性特性若序列若序列 、满足满足对某些特定组合信号对某些特定组合信号 其其Z Z变换的收敛域可能会比变换的收敛域可能会比 大大1()x n2()x n111()()ROCx nXzR：222()()ROCx nXzR：则对任意常数则对任意常数 、有有1c2c1 122112212()()()()ROC c x nc x nc Xzc XzRR：1 122()()c x nc x n12RR 证明证明根据根据Z Z变换的

23、定义可知变换的定义可知的的Z Z变换为变换为1 122()()c x nc x n1 1221 1221 1221122112212()()()()()()()()()()ROC nknnnnnnnnc x nc x nc x nc x nzc x n zc x n zcx n zcx n zc Xzc XzRR，：Z例例7-87-8解解已知已知 ，求，求 的的Z Z变换变换 由表可得由表可得根据线性性质，求得根据线性性质，求得 的双边的双边Z Z变换为变换为()2()3()x nnn()x n()1|0 nz，|1 1()znzz，()x n例例7-97-9解解求序列求序列 和和 的的Z Z

24、变换变换 由欧拉公式由欧拉公式 可知可知 0sin()()nn 0cos()()nn 0j 0 0ecos()jsin()nnn 0 0jj 01sin()(ee)2jnnn 0 0jj 01cos()(ee)2nnn因此因此 0 0 0 0jjjj 0111sin()(ee)ee2j2j2j nnnnnnnnn 0 0 0 0jjjj 0111cos()()(ee)()e()e()222nnnnnnnnn由上节常用表可知由上节常用表可知根据线性性质，有根据线性性质，有 00jje()|1enznzz，即即 0020sinsin()()|1 2 cos1，znnzzz同理可得同理可得 2 0

25、02 0coscos()()|1 2 cos1，zznnzzz zXnxXXRzR zXznnxn00XXRzR 证明：证明：令令00n 1.1.双边双边z z变换的位移变换的位移0nnk00nnx nnx nnzZ Z，代入上式，代入上式0 x n n 00nnkkzx k zz X zZ Z000n nnnx nnzz（2 2）位移（时移）性）位移（时移）性一般收敛区不变，也有特例一般收敛区不变，也有特例 序列序列 的离散域位移的离散域位移m m位，相当于位，相当于Z Z域的域的 乘以乘以 0 x n n 00nnkkzx k zz X zZ Z由于位移因子仅影响由于位移因子仅影响Z Z变

26、换在变换在z=0z=0或或 处的零极点分布处的零极点分布 因此当位移序列因此当位移序列 仍为双边序列时仍为双边序列时()x nb()Xzmzmz位移因子位移因子（2 2）位移（时移）性）位移（时移）性z ()xnm其其Z Z变换的收敛域保持不变变换的收敛域保持不变z=0z=0和和 是是零点还是极点零点还是极点呢？呢？z nx zXnnx knknzkxzXznnnx1000000n1 1）若序列）若序列2.2.单边单边z z变换的位移性变换的位移性的单边的单边z z变换为变换为序列左移序列左移后单边后单边z z变换为变换为 特别的特别的 01zxzzXnnxZ Z 10222zxxzzXznn

27、xZ Z可能增添或删除可能增添或删除z=0z=0和和 z 00000100nn nknnkkkk nkkzx k zzx k zx k z knknzkxzXz1000证明证明Z Z0000nnnnzznnx nnznnxnnnx0001 10 01 10 0 nx nnnx0 0nzzX zXn减掉减掉n其收敛域由双边序列的其收敛域由双边序列的Z Z变换变换 的收敛域的收敛域 左边序列的左边序列的Z Z变换变换 的收敛域的收敛域交集交集的取值跟的取值跟 是否为双边序列和有限长序列有关是否为双边序列和有限长序列有关()x n也跟左移、右移的位数有关也跟左移、右移的位数有关 对于单边因果序列来讲

28、，如果移位后依然是单边因果序列，对于单边因果序列来讲，如果移位后依然是单边因果序列，则它们的单边则它们的单边Z Z变换和双边变换和双边Z Z变换相同变换相同 如果已知双边序列如果已知双边序列 的单边的单边Z Z变换变换 ，也可以推导出位，也可以推导出位移序列移序列 的单边的单边Z Z变换变换()x ns()Xz()xnm例例7-107-10解解 已知已知 ，求，求 的双边的双边Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 可表示为可表示为又又()x n()2 (1)(2)nx nnn()x n1122()2 (1)(2)22(1)22(2)nnnx nnnnn2()|2 2nznzz，根据双边根据双边Z

29、 Z变换的位移性质，得变换的位移性质，得212(1)2|22 nzznzzzz，2212(2)|2 22nznzzzz z，（）根据线性性质得根据线性性质得232248(2)(24)24()()2(2)22(2)2(2)2xzzzzzzzX znzz zz zz zz（）Z两个序列两个序列Z Z变换的收敛区间的交集为变换的收敛区间的交集为2|z 由于上式中出现了分子和分母对消的问题由于上式中出现了分子和分母对消的问题所以其收敛域可能扩大所以其收敛域可能扩大事实上，由于事实上，由于 是一个有限长双边序列是一个有限长双边序列 因此它的双边因此它的双边Z Z变换的收敛域为变换的收敛域为()x n0|

30、z 所以，关于收敛区间的问题要根据序列的具体情况来确定。所以，关于收敛区间的问题要根据序列的具体情况来确定。例例7-117-11解解 已知已知 ，求，求 的的Z Z变换变换 令令 ，其中，其中M M为正整数，则为正整数，则当当M=2M=2时，上式变为时，上式变为根据单边根据单边Z Z变换的位移性质，则有变换的位移性质，则有2()nx na()()x nn()X z1()()nx nanM1()x n 的双边的双边Z Z变换为变换为11110()()|nnnnnnnnnMnMnnMzXzx na za za za zazza，Z12312()|nnnzazXza zazzaza，32211113

31、211222()()(2)()()()()|niiMnninMiMnnnxxxX zannnzXzi zzza zi zzazazza zazzaza，ZZ例例7-127-12解解 求求 和和 (m(m为整数为整数)的的Z Z变换变换由于由于 和和 是因果序列，是因果序列，所以它的双边所以它的双边Z Z变换和单边变换和单边Z Z变换相同，且变换相同，且 当当m m为正整数时，为正整数时，和和 是因果序列，它们是因果序列，它们的单边的单边Z Z变换和双边变换和双边Z Z变换为变换为 ()nm()nm()n()n(1|0 )()|11zznnzz，()nm()nm()|0mmzzn，1()|111

32、mmzznmzzzz，当当m m为正整数时，为正整数时，和和 是非因果序列，它们是非因果序列，它们的双边的双边Z Z变换为变换为 ()nm()nm()|0mmzzn，1()|111mmzznmzzzz，综上，它们的单边综上，它们的单边Z Z变换为变换为()()0mnn()()()|11znmnnzz，例例7-137-13解解 设设 ()()为有限长序列，其为有限长序列，其Z Z变换为变换为，求单边周期序列，求单边周期序列 的的Z Z变换变换1()x n0nN1()|0 Xzz，T10()()ixnx niN01nN，(其中，其中，)T11110()()()()(2)ixnx niNx nx n

33、Nx nNZZZ2111()()(1)()|111NNNNNXzzXzzzXzzzz，即即T110()()()|11NNizxnx niNXzzz，若若 ，则有，则有 ，故，故1()()x nn1()1|0Xzz，0()()ix nni的的Z Z变换为变换为1()()1NNzX zXzz1zz zXnxXXRzR zaXnxan1XXRzaR1 nnnnznxanxaXXRzaR1XXRazRa azXzanxnn/1证：证：Z Z则则若若（3 3）Z Z域尺度变换特性（时域乘域尺度变换特性（时域乘 ）a 可以是非零实数、虚数或复数可以是非零实数、虚数或复数na azXzaXnxan1xRaz

34、（1 1）Z Z域的径向比例变换域的径向比例变换 被被增长的增长的实指数序列加权实指数序列加权 （或调制），其（或调制），其z z平面将相应的扩展平面将相应的扩展 x nnaxRaz 1a被被衰减的衰减的实指数序列加权实指数序列加权 （或调制），其（或调制），其z z平面将相应的压缩平面将相应的压缩 x nnaxRaz 10 a azzzazazaXnan111111za例：例：a a为实数为实数 zeXnxejnj00（2 2）Z Z域的旋转域的旋转 00(),jnjxZ ex nX ezzR Z Z域尺度变换就变成了频移，称为频移性质域尺度变换就变成了频移，称为频移性质 对应于对应于z z

35、平面上尺度展缩表现为平面的旋转即频移，因此，所有零平面上尺度展缩表现为平面的旋转即频移，因此，所有零极点的位置，包括收敛域，将绕平面原点逆时针旋转一个的弧度角，极点的位置，包括收敛域，将绕平面原点逆时针旋转一个的弧度角，但没有径向上的变化，即其变换的极点与原变换的极点相比，辐角变但没有径向上的变化，即其变换的极点与原变换的极点相比，辐角变化了弧度而幅值不变，因而收敛域不变，仍和原序列变换的收敛域相化了弧度而幅值不变，因而收敛域不变，仍和原序列变换的收敛域相同。同。1(),nxZx nXzzR0ja e当当 ，则，则 0=(21)k01ja e（a a）X(z)(b)（c c）X(-z)图图 频

36、移引起零极点分布的变化频移引起零极点分布的变化0jX ez 例例7-147-14解解（4 4）时域卷积定理）时域卷积定理 1212121212()()()()()()()()=()nnnnknknkkZ x nx nx nx nzx k x nkzx kx nk zx kzXz 交换求和次序根据双边z变换的位移特性 1212 ()()()kkx k zXzXz Xz例例7-157-15解解 zXnxXXRzR dzzdXznnxXXRzR 1nnnnznnxzdzdnx 11zznnxznnZ Z nnx nnznxdzddzzdX交换运算次序交换运算次序 Z Z域微分（时域乘以域微分（时域乘

37、以n n）（5 5）证明：证明：则则若若()()|nnX zx n zz，等号两边对等号两边对z z求导数，得求导数，得 d()()()ROC|d nx nzX zzz：注意：注意：若不出现零、极点抵消的情况，上式不会改变若不出现零、极点抵消的情况，上式不会改变Z Z变换的极点变换的极点乘以乘以n n的正整数的正整数m m次幂的次幂的Z Z变换为变换为()x nd()()ROC|d mmn x nzX zzz：由上述的推导过程可以看出由上述的推导过程可以看出故其收敛域仍为故其收敛域仍为|z如果出现零、极点相消的情况，收敛域可能会扩大如果出现零、极点相消的情况，收敛域可能会扩大（6 6）时域反转

38、性）时域反转性Z()(),xx nX zzR11Z(),xxnXzzR111()()(),nnnnnnxZ xnxn zx nXzzzR时域反转性仅对双边变换成立时域反转性仅对双边变换成立 证明证明11b()()|xnXzz，1b()()xnXz11|z，即即因此因此例例7-167-16解解（7 7）初值定理）初值定理 若序列若序列 为因果序列，则为因果序列，则 x n证明：因果序列单边证明：因果序列单边z z变换与双边变换与双边z z变换相同，有变换相同，有 (0)lim()zxX z120()()(0)(1)(2)nnXzx n zxxzxz当当 为因果序列，则为因果序列，则 z120li

39、m()lim()(0)lim(1)lim(2)nzzzznX zx n zxxzxz假设假设 有界，则除有界，则除 外，其他各项的极限值都等于零，即外，其他各项的极限值都等于零，即()x n(0)x(0)lim()zxX z120()()(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxz（7 7）初值定理）初值定理 两边乘以变量两边乘以变量 ，并令并令 ，则，则可得：可得：mzz 1100lim()lim()lim()lim()()mmmmimimizzzzii miz X zzx i zzx i zzx i zx m10()lim()()mmizix mzX zx i z令令m=1.2.3 m

40、=1.2.3，可得序列，可得序列 的取值为的取值为()x n（7 7）终值定理）终值定理 若序列若序列 为因果序列，则为因果序列，则 x n证明：因果序列单边证明：因果序列单边z z变换与双边变换与双边z z变换相同，根据位移性质，有变换相同，根据位移性质，有 1()lim(1)()zxzX z(1)()()(0)x nnzX zxZ根据根据Z Z变换的线性特性得变换的线性特性得(1)()()()()(0)()(1)()(0)x nnx nnz X zxX zzX zzxZ于是于是0(1)()(0)(1)()(0)(1)()nnzX zzxx nx nzxx nx nzZ当当 时时对上式取极限

41、对上式取极限1z 110lim(1)()(0)lim(1)()(0)(1)(0)(2)(1)(3)(2)()nzznzX zxx nx nzxxxxxxxx例例7-177-17解解z z反变换的一般定义反变换的一般定义 根据根据Z Z反变换反变换的定义的定义可以将可以将Z Z反变换反变换表示为表示为下面仅介绍两种最简单实用的方法：下面仅介绍两种最简单实用的方法：直接法直接法和和部分分式展开法部分分式展开法。()()nnX zx n z1()()x nX zZ常用的反变换方法：常用的反变换方法：2.2.部分分式展开法部分分式展开法1.1.直接法直接法3.3.围线积分法（留数法）围线积分法（留数法

42、）（1 1）直接法）直接法 试求下列函数的试求下列函数的Z Z反变换。反变换。分别记分别记 、的的Z Z反变换为反变换为 、。12()|22zXzzz，22()|22zXzzz，1()X z2()X z1x n 2()x n1()2|22zXzzz，根据收敛域根据收敛域 可知，可知，是一个因果序列，是一个因果序列，应用应用Z Z变换对公式变换对公式|2z()|nzanzaza，1x n 例例7-187-18解解可得可得1111()()2 2()2()nnx nXznnZ将将 改写为改写为 2()X z2()x n根据收敛域根据收敛域 可知，可知，是一个因果序列，是一个因果序列，应用应用Z Z变

43、换对公式变换对公式2()2|22zXzzz，|2z (1)|nzanzaza，并结合线性特性，可得并结合线性特性，可得1122()()2 2(1)2(1)nnx nXznn Z（2 2）部分分式展开法）部分分式展开法1()X z()()iiX zX z1x n 11()()()()iiiiiix nX zXzx nZZ11101110()()|()mmmmnnnnb zbzb zbB zX zzA za zaza za，式中式中，()、(为实数，为实数，不失一般性，可以取不失一般性，可以取 。ia0,1,2,injb0,1,2,jm1na 可用多项式除法将可用多项式除法将 区分为区分为z z的

44、的 次多项式次多项式 和真分式和真分式 两部分，即两部分，即若若 ，则则 为假分式为假分式式中，式中，为实系数为实系数mn()X z()mn()X z()N z()X z2012()()()()m nm nX zcc zc zczXzN zXz20120()m nm nim niiN zcc zc zczc zic应用应用Z Z变换的定义可知变换的定义可知()iiiic zcn 由此很容易写出由此很容易写出 的的Z Z反变换。从式反变换。从式(7-)(7-)可知，可知，的反变的反变换对应的是非因果序列，也就是说，如果换对应的是非因果序列，也就是说，如果 ，就可以判，就可以判断断 是非因果序列。

45、是非因果序列。()N z()N zmnx n 因此，我们主要讨论真分式因此，我们主要讨论真分式 的的Z Z变换，它可用部分分式变换，它可用部分分式展开法计算展开法计算()X z设设 为有理真分式并含有一个为有理真分式并含有一个z z=0=0的零点的零点 ()X z若没有若没有z z=0=0的零点，则增加一个的零点，则增加一个z=0z=0的零点，同时在分母增加一的零点，同时在分母增加一个个z=0z=0的极点，可表示为的极点，可表示为12()()()()()()()mB zB zX zA zzzzzzz 式中式中 （)为为 的极点，它可能为一阶极点的极点，它可能为一阶极点或重极点，也可能为实极点或

46、虚极点或复极点。或重极点，也可能为实极点或虚极点或复极点。当当 为复极点（虚极点）时，必为复极点（虚极点）时，必共轭成对共轭成对出现。出现。iz1,2,im()X ziz （1 1）的极点为一阶极点的极点为一阶极点()X z 的部分分式展开式为的部分分式展开式为根据根据 的收敛域和变换对关系的收敛域和变换对关系可以对式（可以对式（7-537-53）表示的）表示的Z Z变换计算变换计算Z Z反变换，求取反变换，求取 从上式可知从上式可知 必须必须存在一个存在一个z=0z=0的零点的零点。如果不存在该零点，则可以采。如果不存在该零点，则可以采用用补零点补零点的方法，即在的方法，即在 的分子和分母中

47、各自乘以的分子和分母中各自乘以z z ，可以写为，可以写为()X z12121()()|()mmimiiK zK zK zK zB zX zzA zzzzzzzzz，()|niiizznzzzz，(1)|niiizznzzzz，x n()X z()X z()X z1200121()()|mmimiiK zK zK zK zzX zX zKKzzzzzzzzzz，已知已知 ，求，求 的原函数的原函数将上式通分，得将上式通分，得 因为因为 的收敛域为的收敛域为 ，所以，所以 为因果序列。为因果序列。没没 有有z=0z=0的零点，可展开为的零点，可展开为|2z 2()|2(1)(2)zX zzzz，

48、x n()X z()X zx n()X z1202()(1)(2)12K zK zzX zKzzzz20120120()(32)22()(1)(2)(1)(2)KKKzKKKzKzX zzzzz 令上式中分子的系数相等，即令上式中分子的系数相等，即01K 13K 22K 于是有于是有由于由于32()1|212 zzX zzzz，例例7-197-19解解133()()()2 2()()()2()nnx nnnnnnnROCROC的公共部分的公共部分|2z 已知已知 ，求，求 的原函数的原函数将其进行部分分式展开，得将其进行部分分式展开，得因为因为 的收敛域为的收敛域为 ，所以，所以 为双边序列。

49、为双边序列。x n()X z()X zx n 根据收敛区间根据收敛区间 可知，上式第一项为非因果序列，第二项为可知，上式第一项为非因果序列，第二项为因果序列。因果序列。2()2|3(2)(3)zX zzzz，2|3z32()2|332zzX zzzz，2|3z(3)(1)|33 nznzz，(2)()|22nznzz，根据线性特性得根据线性特性得11()3(3)(1)2(2)()(3)(1)(2)()nnnnx nnnnn 例例7-207-20解解已知已知 ，求，求 的的z z反变换反变换 为有理真分数为有理真分数，有三个一阶极点，假设可以分解为下式，有三个一阶极点，假设可以分解为下式 因为因

50、为 的收敛域为的收敛域为 ，所以，所以 为双边序列。为双边序列。x n()X z()X zx n 2|3z()X z可可得得 ，因此，因此 226(),2|3(1)(2)(3)zzX zzzzz23123212312312326()(1)(2)(3)123()(543)(632)(1)(2)(3)K zK zK zzzX zzzzzzzKKKzKKKzKKKzzzz 1234106KKK，4106()2|3123zzzX zzzzz，例例7-217-21解解ROCROC的公共部分的公共部分 2|3z （2 2）有高阶极点有高阶极点()X z 设设 在在 有有m m阶极点，另有阶极点，另有n n