+线性规划与单纯形法运筹学第三版课件.ppt
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- 关 键 词:
- 线性规划 单纯 运筹学 第三 课件
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1、运筹学运筹学(第三版)运筹学教材编写组 编清华大学出版社 第1章 线性规划与单纯形法 第2节 线性规划问题的几何意义钱颂迪 制作第1页,共39页。第1章 线性规划与单纯形法 第2节线性规划问题的几何意义 2.1 基本概念 2.2 几个定理第2页,共39页。2.1 基本概念凸集凸组合顶点第3页,共39页。1.凸集 设K是n维欧氏空间的一点集,若任意两点X(1)K,X(2)K的连线上的所有点X(1)+(1-)X(2)K,(01);则称K为凸集。图1-7第4页,共39页。实心圆,实心球体,实心立方体等都是凸集,圆环不是凸集。从直观上讲,凸集没有凹入部分,其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸集
2、,(c)不是凸集。图1-2中的阴影部分 是凸集。任何两个凸集的交集是凸集,见图1-7(d)第5页,共39页。2.凸组合 设X(1),X(2),X(k)是n维欧氏空间E中的k个点。若存在1,2,k,且0i1,i=1,2,,k;使X=1X(1)+2X(2)+kX(k)则称X为X(1),X(2),X(k)的凸组合。(当0i1时,称为严格凸组合).kii11第6页,共39页。3.顶点 设K是凸集,XK;若X不能用不同的两点X(1)K和X(2)K的线性组合表示为 X=X(1)+(1-)X(2),(01)则称X为K的一个顶点(或极点)。图中0,Q1,2,3,4都是顶点。第7页,共39页。2.2 几个定理
3、定理1 若线性规划问题存在可行域,则其可行域 是凸集 njjjjxbxPXD10,第8页,共39页。证:为了证明满足线性规划问题的约束条件njjjjnjxbxP1,2,1,0,的所有点(可行解)组成的集合是凸集,只要证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。设是D内的任意两点;X(1)X(2)。TnTnxxxXxxxX222212112111,第9页,共39页。则有 njjjjnjjjjnjxbxPnjxbxP122111,2,1,0,2,1,0,令 X=(x1,x2,xn)T为 x(1),x(2)连线上的任意一点,即 X=X(1)+(1-)X(2)(01)X 的每一个分量是 21)1(jjj
4、xxx,将它代入约束条件,得到 第10页,共39页。bbbbxPxPxPxxPxPnjnjjjjjnjjjnjnjjjjjj11221111211又因 01,0,0,21jjxx,所以 xj0,j=1,2,n。由此可见 XD,D 是凸集。证毕。第11页,共39页。引理 1 线性规划问题的可行解X=(x1,x2,,xn)T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。证证:(1)必要性由基可行解的定义可知。(2)充分性若向量P1,P2,Pk线性独立,则必有 km;当 k=m 时,它们恰构成一个基,从而 X=(x1,x2,xk,00)为相应的基可行解。当 km 时,则一定可以从其
5、余的列向量中取出 m-k 个与 P1,P2,Pk 构成最大的线性独立向量组,其对应的解恰为 X,所以根据定义它是基可行解。第12页,共39页。定理定理2 2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点。证:证:不失一般性,假设基可行解X的前m个分量为正。故mjjjbxP1现在分两步来讨论,分别用反证法。(1-8)第13页,共39页。若X不是基可行解,则它一定不是可行域D的顶点 根据引理1,若X不是基可行解,则其正分量所对应的系数列向量P1,P2,Pm线性相关,即存在一组不全为零的数i,i=1,2,m使得 1P1+2P2+mPm=0 (1-9)用一个0的数乘(1-9)式再分别与(1-8)式相加
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