同济高等数学第六版D12-7傅里叶级数课件.ppt
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- 同济 高等数学 第六 D12_7 傅里叶 级数 课件
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1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 第十二章 傅里叶级数傅里叶级数 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:)sin(tAy(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.目录 上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)co
2、s()cos(21定理定理 1.组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00sinsinxxnxkd同理可证:),2,1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交,上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在0sincosxxnxkd)(nk 目录 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于 0.,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2,1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角
3、函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分,则有),1,0(dcos)(1nxnxxfan),2,1(dsin)(1nxnxxfbn证证:由定理条件,10dsindcosd2d)(nnnxxnbxxnaxaxxf0a,对在逐项积分,得目录 上页 下页 返回 结束 xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdco
4、s)(1),2,1(k(利用正交性),2,1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf),1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba,以)(xf)(xf),2,1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数)(xf 简介 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设 f(x)是周期为2 的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷(Di
5、richlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有10sincos2nnnnxbnxaa,)(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba,(证明略证明略)为 f(x)的傅里里叶系数.x 为连续点注意注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 yx例例1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为),0,10,1)(xxxf解解:先求傅里叶系数dcos)(1xnxxfan00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将
6、f(x)展成傅里叶级数.O11目录 上页 下页 返回 结束 dsin)(1xnxxfbn0011(1)sind1 sindnxxnx x01cosnxn01cosnxn21 cos nn21(1)nn 4,n,0,5,3,1n当,6,4,2n当4()sin f xxx3sin31xkk)12sin(121(,0,2,)xx 目录 上页 下页 返回 结束 yx11O),2,0,(xx77sin x99sinx1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112)傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin x说明说明:),2,1,0(kkx当f(x)的情况见右图.Oyx目录 上页 下页
7、 返回 结束 例例2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,上的表达式为),0,00,)(xxxxf将 f(x)展成傅里叶级数.解解:0d)(1xxfa0dcos1xxnxdcos)(1xnxxfan0d1xx0221x202cossin1nnxnnxx21 cosnn它在 xyO2332目录 上页 下页 返回 结束),2,1(ndsin)(1xnxxfbnnn 1)1(),2,1(k12 knkn2,00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx32231x4sin41 5sin 5cos xx52251cos12nnan,)12(22k),2
8、,1,0,)12(,(kkxx说明说明:当)12(kx时,级数收敛于22)(0目录 上页 下页 返回 结束,)(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法),)(xxf ,)2(kxf其它目录 上页 下页 返回 结束 例例3.将函数0,0,)(xxxxxf则0d)(1xxFad)(1xxf0d2xx0222xdcos)(1xnxxFandcos)(1xnxxf0dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解:将 f(x)延拓成以 展成傅里叶级数.2为周期的函数 F(x),yxO目录 上页 下页
9、返回 结束 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,)12(42kdsin)(1xnxxFbndsin)(1xnxxf0)(xf24xcosx5cos512)(x当 x=0 时,f(0)=0,得2222)12(1513118n说明说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.目录 上页 下页 返回 结束 42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.周期为周期为2 的
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