复数的概念PPT优秀课件.ppt

1、4.14.1复数的概念复数的概念Ssxxcyh4.1 复数的概念复数的概念知识回顾知识回顾 对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程 ，当时，当时 ，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？02 cbxax042 acb解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数

2、集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不

3、循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数4.1 复数的概念复数的概念自然数自然数 有理数有理数整数整数无理数无理数实数实数 复数复数数系的扩充数系的扩充4.1 复数的概念复数的概念引入一个新数引入一个新数 ，叫做叫

4、做虚数单位虚数单位，并规定：，并规定：ii （1）它的平方等于它的平方等于-1，即，即 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立的加、乘运算律仍然成立 12 i形如形如 的数，叫做复数的数，叫做复数)R,(babia全体复数所形成的集合叫做复数集，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母一般用字母C表示表示.N Z Q R CNZQR新授课新授课 很明显,引进虚数单位后,有 i 2=-1,(-i)2=i 2=-1,所以方程 x2=-1 的解是 x=I 虚数单位的幂的性质:i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+

5、2=-1,i 4n+3=-i (nN)以上性质叫 i 的周期性.4.1 复数的概念复数的概念新授课新授课复数的表示：复数的表示：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即),(Rbabiaz 当当 时，时，z 是实数是实数a0 b当当 时，时，z 叫做虚数叫做虚数0 b当当a=0且且 时，时，z=bi 叫做纯虚数叫做纯虚数0 b实部实部虚部虚部复数复数 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据

6、一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.b Z(a，b)a o y x 点Z的横坐标是a，纵坐标

7、是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.z=a+bi(a、

8、bR)是复数的代数表示法zabi 一一对应(,)Z a b 共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）复数z的共轭复数用 表示若 z=a+bi(a、bR)，则z=abi（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称 例例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例例2 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？例例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例例4已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求

9、x与y.iiii53,31,213,32 课堂练习课堂练习：1.设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的是()A.AB=C B.A=B C.AB=D.BB=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满足()A.x=B.x=2或 C.x2 D.x1且x22121 3.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，则实数m的值为()A.1 B.1或4 C.6 D.6或1 4.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_.5.复数z=a+bi，z=c+di(a、b、c、dR)，则

10、z=z的充要条件是_.6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，求m的值.7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.8.已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.1)2(mmm214.1 复数的概念复数的概念例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？immz)1(1 解解：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数01 m1 m（2）当当 ，即，即 时

11、，复数时，复数z 是虚数是虚数01 m1 m（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复数时，复数z 是是01 m01 m1 m纯虚数纯虚数新授课新授课 小结小结：1在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。2复数集与复平面上的点注意事项：（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。（3）表示实数的点都在实轴上

12、，表示纯虚数的点都在虚轴上。（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。英文英文calculate（计算）一词是从希腊文计算）一词是从希腊文calculus（石卵）石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治，古结绳而治，后世圣人易之以书契。后世圣人易之以书契。直至直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。理论。自然数自然数 零不仅表示无，更是表示空位的符

13、号。中国古代用算零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（数法中的零（zero）来自印度的（来自印度的（sunya）字，其原意也是字，其原意也是空或空白。空或空白。中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的了负整数的引入。减法运算可看作求解

14、方程引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然数，是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。然数系扩大为整数系。整数整数分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部八部对对“分分”的解释：的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合合分术分术”有云：有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。实如法而一。不满法者

15、，以法命之。”这句这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。个分数。古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进引进无理数。约在公元前无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的的正方形的对角线的长度（即正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。）不能是有理数。1

16、5世纪达芬奇（世纪达芬奇（Leonardo da Vinci,1452-1519）把它把它们称为是们称为是“无理的数无理的数”（irrational number），），开普勒（开普勒（J.Kepler,1571-1630）称它们是称它们是“不可名状不可名状”的数。的数。法国数学家柯西（法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：无给出了回答：无理数是有理数序列的极限。理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用到用“无限不循环小数无限不循环小数”来定义无理

17、数，这也是直至来定义无理数，这也是直至1919世纪世纪中叶以前的实际做法。中叶以前的实际做法。2无理数无理数 实数系的逻辑基础直到实数系的逻辑基础直到1919世纪世纪7070年代才得以奠定。从年代才得以奠定。从1919世纪世纪2020年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（理论。在这方面，外尔斯特拉斯（18591859年年 开始）、梅雷开始）、梅雷（18691869）、戴德金（）、戴德金（18721872）与

18、康托尔（）与康托尔（1872 1872）作出了杰出的）作出了杰出的贡献。贡献。实数实数复数复数 从从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。平方的问题。卡尔达诺在大法（卡尔达诺在大法（1545）中阐述一元三次方程解法时，发）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是数运算的几何表示，是18世纪末到世纪末到19世纪世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。年代由韦塞尔、阿尔

19、根和高斯等人建立的。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作

20、深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼

21、受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给

22、你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，

23、向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人

24、会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模

25、很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速

26、走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋

27、。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金