粤湘鄂名校联盟2023届8月第一次联考数学试卷及答案.pdf

1、 粤湘鄂粤湘鄂名名校联盟校联盟 2023 届第届第一一次次联考联考 数数 学学 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要

2、求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合23,1,2|60ABxN xx=，则 AB=（）A 1，2 B-3，0，1，2 C-3，1，2，3 D-3，0，1，2，3 2设iizz+=（i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知数列an满足a1a2a3an=2n2，且对任意n N都有1a1+1a2+1a3+1anx，若对任意)91+，x均有axxf2)(，则实数a的取值范

3、围为（）A.B.C.D.5.已知函数，则实数 a 的取值范围是 A(-，1)B(-，1 C(-，e)D (，e 6在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0)，B(9，6)，动点 C 在线段 OB 上，BDy 轴，CEy 轴，CFBD，垂足分别是 D，E，F，OF 与 CE 相交于点 P已知点 Q 在点 P 的轨迹上，且OAQ120，则|AQ|A4 B2 C43 D23 7.ABC 中，24ABACB=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC ABCA CB+的最大值为（）A 0 B 1 C 3 D 5 8.若数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1 b2020=2

4、，函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且f(x)=ex，x 0,2，则fa1010+a10111+b1010b1011=()A.e B.e2 C.e1 D.e9 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知0 x y ，且sinsinyxexey=，其中 e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 （）Aiinnssyx Ccocos0sxy+D.cocos0sxy+10.如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D的内切球球心为O，EF、分别是棱1A

5、BCC、的中点，G在棱BC上移动，则（）A.对于任意点G，/OA平面EFG B.存在点G，使OD 平面EFG C.直线EF的被球O截得的弦长为3 D.过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值为2 11已知函数()3,1,1xxxexf xexx C函数()f x的值域为)1,e+D若关于 x 的方程()()220g xag x=有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是222,82eee+12.已知数列na的前n项和为nS，且1nnSa+=对于*Nn 恒成立，若定义(1)nnSS=，()(1)1(2)nkkniiSSk=，则以下说法正确的是（）A.na是等差数列 B.2(3)2122n

6、nnnS+=C.1(2)()1(1)!kkkn knnASSk+=+D.存在n使得2021(2022)2022!nnS=三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知直线l过点()0,1P，且与圆22:3O xy+=相交于,A B两点，设OCOAOB=+，若点C在圆O上，则直线l的倾斜角为_.14.公比为 q 的等比数列na满足：a9=lna10 0，记Tn=a1a2a3an，则当 q 最小时，使Tn 1成立的最小 n 值是_ 15将函数()cosf xx=图象上各点的横坐标变为原来的12，再向右平移12个单位长度得到函数()yg x=的图象，则()g x的解析式为_；

7、若方程()25g x=在()0,x的解为1x，2x，则()12cos xx=_ 162019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R，2L点到月球的距离为 r，根据牛顿运动 定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()MMMRrRrrR+=+设rR=，由于的值很小，因此在近似计算中3453

8、2333(1)+，则 r 的近似值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）已知在ABC中，Bbccos2=，32=C（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长 度2cb=；周长为42 3+；面积为3 34ABCS=18.已知数列an，Sn是an的前n项的和，且满足Sn=2an 1(n N)，数列bn是等差数列，b2+b6=a4，a5 b4=2b6(1)求an，bn的通项公式；(2)设数列Sn的前 n项和为Tn，设cn=(1)n(Tn+bn+2)b3n+4

9、bn+1bn+2，求cn的前 n 项的和Dn 19.（本小题满分 12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这 100 位居民的网购消费金额均在区间0,30内（单位：千元），按)(0,55,10,10,15,15,20,20,25,25,30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在 20 千元以上称为“网购迷”，补全下面的 22 列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 合计 网

10、购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22abcdadbcKabcdacbd+=+.临界值表：()20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.

11、706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20（本小题满分 12 分）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC=，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？21.（本小题满分 12 分）已知抛物线()2:20E xpy p=的焦点为F，直线4x=分别与x轴交于点P，与抛物线E交于点Q，且54QFPQ=.（1）求抛物线E的方程；（2）如图，设点,A B C都在抛物线E上，若ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，求A

12、B AC 的最小值.22.（12 分）已知函数.（）求函数的最小值；（）若方程有两实数解，求证：.（其中为自然对数的底数）2()lnf xxx=xxfy=)()(R)f xm m=21,xx22121211e 11|xxxx+e2.71828=粤湘鄂名校联盟2023届第一次联考 一、选择题一、选择题 数学参考答案及评分标数学参考答案及评分标准准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D A D A C A 二、选择题二、选择题 题号 9 10 11 12 答案 AC BD BC BC 三、填空题三、填空题 13.14.15.；16.RMM3123 四、解答题 17(本题满分 10

13、 分)（1）2 coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=，23sin2sin32B=，23C=，0,3B，220,3B，23B=，解得6B=；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB=，与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在；若选择：由（1）可得6A=，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2 sin6abRR=，22 sin33cRR=，则周长2342 3abcRR+=+=+，解得2R=，则2,2 3ac=，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：()222 3122 3 1 cos76+=；若选择：由（1）可得6A=，即ab=，则21133

14、3sin2224ABCSabCa=，解得3a=，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb+=+=.18（本题满分 12 分）(1)由Sn=2an 1 ，当n=1时S1=2a1 1，解得a1=1，当n 2时，Sn1=2an1 1 ，得an=2an1，所以an是等比数列，an=2n1，由bn是等差数列，b2+b6=a4，a5 b4=2b6 b1+d+b1+5d=816 b1 3d=2(b1+5d)，解得b1=1，d=1，bn=n(2)Sn=1(12n)12=2n 1，Tn=(2+22+2n)n=2(12n)12 n Tn=2n+1 n 2，cn=(1)

15、n(Tn+bn+2)b3n+4bn+1bn+2=(1)n(3n+4)2n+1(n+1)(n+2)=(1)n2n+1n+1+2n+2n+2，Dn=2 233+233+244+244255+(1)n2n+1n+1+2n+2n+2 Dn=2+(1)n2n+2n+2 19.（本题满分 12分）（1）在直方图中，从左至右前 3 个小矩形的面积之和为()0.01 0.020.0450.35+=，后 2个小矩形的面积之和为()0.040.0350.35+=，所以中位数位于区间(15,20内.设直方图的面积平分线为15x+，则0.060.50.350.15x=，得2.5x，所以该社区居民网购消费金额的中位数估

16、计为 17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在 20 千元以上的频数为0.35 10035=，所以“网购迷”共有 35 人，由列联表知，其中女性有 20人，则男性有 15 人.因为非网购迷人数共有 100-35=65，其中男性 45 人，则女性有 20 人，所以补全的 22 列联表如下：男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 因为()22100 45 20 15 20400 9006006.5935.02460 40 35 6524 35 6591K=，查表得()25.0240.025P K=，所以有 97.5%的把握认为“网购迷与性

17、别有关系”.（3）解法 一：由表知，甲、乙两人 每次网购 采用 支付宝 支付的概 率分 别为1 2,2 3.设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为,X Y，据题意，12,2XB，22,3YB.所以()1212E X=，()24233E Y=，因为XY=+，则()()()73EE XE Y=+=，所以的数学期望为73.解法二：设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为,X Y，则XY=+.因为,X Y的可能取值为 0，1，2，则的可能取值为 0，1，2，3，4.由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为1 2,2 3.则()()2211100,02336PP XY=，()()()22211

18、2212 1116110,11,023 323366PP XYP XYCC=+=+=，=2222211221212 111132323 32336CC +=，()()()22211221212 112131,22,12323 3363PP XYP XYCC=+=+=，()()22124142,223369PP XY=，所以()11131170123436636393E=+=，即的数学期望为73.20(本题满分 12 分)（1）证明：连接AF，E，F分别为直三棱柱111ABCABC的棱AC和1CC的中点，且2ABBC=，1CF=，5BF=，11BFAB，11/ABAB，BFAB，2222253A

19、FABBF=+=+=，2222312 2ACAFCF=，222ACABBC=+，即BABC，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，1，0)，(0F，2，1)，设1B Dm=，则(D m，0，2)，(0BF=，2，1)，(1DEm=，1，2)，0BF DE=，即BFDE 解法二：取BC中点M,连接EMMB,1,可证1 1/EMA B，因为11BFAB，所以 EMBF.易证1BFB M，所以1BFDB EM 平面，从而BFDE.（2）解：AB 平面11BBC C，平面11BBC C的一

20、个法向量为(1m=，0，0)，()()()()20,21,12,0PP XYP XYP XY=+=+=由（1）知，(1DEm=，1，2)，(1EF=，1，1)，设平面DEF的法向量为(nx=，y，)z，则00n DEn EF=，即(1)200m xyzxyz+=+=，令3x=，则1ym=+，2zm=，(3n=，1m+，2)m，cosm=+，当12m=时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的余弦值最大为63，此时正弦值最小为33 21.（本题满分 12分）（1）设点()04,Qy，由已知000216524pypyy=+=，则8102ppp+=，即24p=.因为0p，则2p=，所以抛物线E的方

21、程是24xy=.（2）设点()222312123123,444xxxA xB xC xxxx，直线AB的斜率为()0k k，因为ABBC，则直线BC的斜率为1k.因为ABBC=，则212232111xxkxxk+=+，得()2312xxk xx=，因为22121212444xxxxkxx+=，则124xxk+=，即124xkx=，因为223223231444xxxxkxx+=，则234xxk+=，即324xxk=将 代 入 ，得()224242xkkxk+，即()()32221212kkxkkk+，则()()32211kxk k+，所以()()()()222022122cos451421AB

22、ACAB ACABxxkkxk=+=+()()()()()2332222411614111kkkkk kkk+=+=+因为212kk+，则()22214kk+，又()22112kk+，则()()3222121kkk+，从而()()3222121kkk+，当且仅当1k=时取等号，所以AB AC 的最小值为 32.22.(本题满分 12 分)（）,ln)()(2xxxxxfxg=令则()2 ln1()2ln3g xxxx,gxx=+=+3322()(0,e),(e,),g x+在上单调递减 在上单调递增 (0)1,(1)0()(0,1),(1,),ggg x+=+在上单调递减 在上单调递增;1)1()(min=gxg （）1122()(2ln1)()(0,e),(e,)fxxxf x=+在上单调递减 在上单调递增 不妨设21xx=+mxxff 由（）知，1)(xxf，当且仅当1=x时取等号，又求导易证xxfxxe1)(e1ln，当且仅当e1=x时取等号，设直线=211e1xxxyxymy、交点的横坐标分别为、与直线，则1)1e(e1|2121+=+=mmmxxxxmxx1|11e21+mxx1112221+综合可得，|11e11212221xxxx+