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1、2021/7/261(最新整理最新整理)大学物理学习必备数学知识大学物理学习必备数学知识2021/7/262绪论绪论1.矢量矢量标量：标量：只有大小大小（一个数和一个单位）的量，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温质量、长度、时间、密度、能量、温度等度等。矢量：矢量：既有大小大小又有方向方向的量，并有一定的运算规则一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等场强度等。普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量矢量和标理矢量和标理大学物理学的数学工具：大学物理学的数学工具：高等数学高等数学202

2、1/7/263矢量的图示矢量的图示一单位AA等矢量等矢量AA负矢量负矢量矢量平移（大小和方向不变），矢量不变矢量平移（大小和方向不变），矢量不变AAABBB2021/7/264矢量的模与单位矢量矢量的模与单位矢量矢量的大小称为矢量的模，用矢量的大小称为矢量的模，用A或或A表示表示矢量矢量Ae，其模为、方向与相同，称为单位矢量，其模为、方向与相同，称为单位矢量AAAeAA2021/7/265直角坐标系直角坐标系xyzijkijk、为、方向的单位矢量。、为、方向的单位矢量。过定点过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同为原点且一般具有相同的长度

3、单位的长度单位.这三条轴分别叫做这三条轴分别叫做x轴轴(横轴横轴)、y轴轴(纵轴纵轴)、z轴轴(竖轴竖轴)；统称坐标；统称坐标轴轴.通常把通常把x轴和轴和y轴配置在水平面上，而轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向轴，当右手的四指从正向x轴以轴以/2角度转向正角度转向正向向y轴时，大拇指的指向就是轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如图所示）叫做坐标原点。（如图所

4、示）2021/7/266l 矢量结合法则矢量结合法则1)矢量加法：遵从平行四边形定则交换律：交换律：结合律：结合律：CBACBAABBA)()(绪论绪论2021/7/267简化为简化为ABBACBABAC矢量合成的三角形法则矢量合成的三角形法则ABCDRDCBAR2021/7/2682)矢量的数乘矢量的数乘ACACACCA平行于平行于方向大小 0 0 结合律：结合律：分配律：分配律：BABAAA )()()(绪论绪论2021/7/2693)矢量的分解矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 则平面内的任一矢量可以分解为：21ee 和2211eAeAA常用常用21ee 称为正交分解称为正交

5、分解三维空间中应有三维空间中应有3 3个不共面的矢量个不共面的矢量绪论绪论2021/7/2610矢量在直角坐标系下的表示矢量在直角坐标系下的表示（二维推广到三维）（二维推广到三维）xyAxAyAjAiAAyx模：22yxAAAjBAiBABAyyxx)()(三维：三维：kAjAiAAzyx模：222zyxAAAAkBAjBAiBABAzzyyxx)()()(2021/7/26111)标量积（点积、内积）标量积（点积、内积）方向的投影在为为单位矢，若的夹角与为BABABBAABBA cos两个矢量的点积为一标量。交换律：交换律：分配律：分配律：CBACBAABBAA )(绪论绪论矢量的积矢量的积

6、2021/7/2612直角坐标系下的表示直角坐标系下的表示因为、轴相互垂直，所以因为、轴相互垂直，所以0;0;01;1;1kjkijikkjjii)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyxzzyyxxBABABA2021/7/26132)矢量积（叉积、外积）矢量积（叉积、外积）CBA是一个轴矢量大小：平行四边形面积大小：平行四边形面积 方向：右手螺旋方向：右手螺旋 )0(sin ABBACABC 绪论绪论2021/7/2614l 矢积的性质：矢积的性质：)()()(0 )(BACCABCBAAACABACBAABBAl 矢量的混合积矢量的混合积CABACBBACCBA)()()()（结果

7、为平行六面体的体积结果为平行六面体的体积绪论绪论2021/7/2615n直角坐标系下的表示（右手系）xyz右手系yxz左手系jikikjkji;jkiijkkij;00;0kkjjii2021/7/2616)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyxkBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()(写成行列式写成行列式zyxzyxBBBAAAkjiBA2021/7/26172.导数导数1）问题的提出）问题的提出切线问题切线问题 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋旋转而趋向极限位置转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线

8、C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2021/7/26182）导数的定义）导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内

9、在点设函数定义定义,)(00 xxxxdxxdfdxdy或2021/7/2619.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即应当指出，函数应当指出，函数 f(x)的导数的导数 f (x)本身也是本身也是x的一的一个函数，因此我们可以再取它对个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函的导数，这叫函数数 y=f(x)的二阶导数。的二阶导数。)()()(22xfdxddxdydxddxydxfy 依此类推，可以定义高阶导数。依此类推，可以定义高阶导数。2021/7/

10、26203）导数的几何意义）导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 2021/7/26214）由定义求导数）由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.)(0 C即即2021

11、/7/2622例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 44cos)(sin xxxx.22 即即2021/7/26235）导数的运算）导数的运算和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2

12、();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu2021/7/2624基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2021/7/2625复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设例例1 1.si

13、n223的导数的导数求求xxxy 解：解：23xy x4.cos x 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.2021/7/2626例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解：解：xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解：解：)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 2021/7/2627例

14、例4 4.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解：解：.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例5 5.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解：解：)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx2021/7/26283.微分微分1）问题的提出）问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部

15、部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 0绪论绪论2021/7/26292）微分的定义）微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy(微分的实质微分的实质)绪论绪论2021/7/263

16、0例例解：解：.02.0,23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02.02202.023 xxxxxxdy.24.0.,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy绪论绪论2021/7/26313）微分的求法）微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的

17、微分公式xdxxdxdxxddxxxdCdsin)(coscos)(sin)(0)(1函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud dxxxddxeedxx1)(ln)(绪论绪论2021/7/2632例例1 1解：解：.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例2 2解：解：.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(c

18、os3131 .)sincos3(31dxxxex 绪论绪论2021/7/26334.积分积分abxyo?A1）问题的提出）问题的提出求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积)(xfy 可以用矩形面积近似取代曲可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积边梯形面积.显然，小矩形越显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边多，矩形总面积越接近曲边梯形面积梯形面积abxyoabxyo（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）绪论绪论2021/7/2634abxyoi ix1x1 ix1 nx曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(1 当等分间隔无穷多时：当等分间隔无穷多时：xxfA

19、niinx)(lim10绪论绪论2021/7/2635被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和2）定积分的定义）定积分的定义绪论绪论2021/7/26363）定积分的几何意义）定积分的几何意义,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 绪论绪论2021/7/26374）定积分的性质）定积分的性质 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.绪论绪论2021/7/26385 5

20、）原函数与不定积分的概念）原函数与不定积分的概念例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间),0(内内的的原原函函数数.如如果果在在区区间间I内内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，导导函函数数为为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.原函数并非唯一，如：原函数并非唯一，如：xCxcossin C为任意常数为任意常数绪论绪论2021/7/2639任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内

21、，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称为称为)(xf在区间在区间I内的内的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(.绪论绪论2021/7/26406 6）积分的基本计算）积分的基本计算由不定积分的定义可知，寻找原函数是计算的关键由不定积分的定义可知，寻找原函数是计算的关键例如例如 xx 11.11Cxdxx )1(微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的，的，因此可因此可以根据求导公式得出积分公式以根据求导公式得出积分公式.如：如：kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx绪论绪论2021/7/2641定积分是特殊条件下的不定积分定积分是特殊条件下的不定积分)()()(aFbFdxxfba baxF)(这称为牛顿这称为牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 绪论绪论2021/7/2642解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解绪论绪论2021/7/2643