完全四点形与完全四线形的调和性解析课件.ppt
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- 关 键 词:
- 完全 四点 线形 调和 解析 课件
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1、一、调和性一、调和性 定理2.11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离.定理2.11 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离.如图,经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组,比如X.1),(ttss 如图,在三条对顶线x,y,z上各有一个调和点组,比如x.1),(TTSS此二定理说明:上述两图中各有三个调和元素组一、调和性一、调和性证明定理2.11用综合法.只要证明.1),(ttss以直线AB截截此四直线,得).,(),(PZABttssX只要证明(AB,PZ)=1.).,(),(QZDCPZAB以点Y分别与上述等式两边的四点相连连,据定
2、理2.6可得).,(),(),(PZBAQZDCPZAB也就是),(1),(),(PZABPZBAPZAB.1),(2PZAB注意到A,B,P,Z四点互异,必有(AB,PZ)=1.证毕.再以直线CD截截此四直线,得一、调和性一、调和性 推论2.8 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,另一对为该边与第三组对边的交点.推论2.8 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线,另一对为该顶点与第三对对顶的连线.1),(PQXY比如经过顶点T,有.1),(pqxy此二推论说明:上述两图中又各有三个调和元素组比如在边t上,有一、调和性一、调和性
3、 推论2.9 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点.推论2.9 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为边,另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线.1),(PZAB比如经过顶点ab,有.1),(pzab此二推论说明:上述两图中又各有六个调和元素组比如在边AB上,有一、调和性一、调和性二、应用二、应用1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1,P2,P3.求作第四调和点P4.分析:利用推论2.8,构造一个完全四点形,以l为其对边三点形的一边,P1,P2是对边点,使第三对对边中,一条
4、过P3,则另一条与l的交点即为P4.解.作法:(1).在l外任取一点A,连AP1,AP2.(2).过P3作直线分别交AP1,AP2于B,D.(3).连P1D,P2B交于C.(4).连AC交l于P4为所求.证明:(略)据推论2.8(或2.9).注1 上述实际上也是利用推论2.9作图.注2本例引申一、调和性一、调和性二、应用二、应用1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1,P2,P3.求作第四调和点P4.注2本例引申1、给定三点如图,如何作图?2、给定共点三直线如图,求作第四调和直线.3、给定共点三直线如图,求作第四调和直线.注3由上述作图,(P1P2,P3P4)=1 存在一个完全四
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