对数与对数函数复习优秀课件1.ppt

1、要点梳理要点梳理1.1.对数的概念对数的概念（1 1）对数的定义）对数的定义如果如果ax=N(a0ax=N(a0且且a1)a1)，那么数，那么数x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对的对数，记作，其中数，记作，其中_叫做对数的底数叫做对数的底数,_,_叫做真数叫做真数.2.72.7对数与对数函数对数与对数函数基础知识自主学习基础知识自主学习a aN Nx=logaNx=logaN（2 2）几种常见对数）几种常见对数2.2.对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则（1 1）对数的性质）对数的性质 =_;=_;logloga aa aN N=_(=_(a a00且且a a1).1).对数形式对

2、数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a a(a a00且且a a1)1)_ _常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_e eln ln N Nlg lg N Nlogloga aN N1010NaalogN NN N（2 2）对数的重要公式）对数的重要公式 换底公式换底公式:(:(a a,b b均大于零且不等均大于零且不等 于于1)1)；推广推广logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d=_._.bNNaablogloglog,log1logabbalogloga ad d(3)(3)对数的运算法则对数的运算法则 如果如果a a0

3、0且且a a1,1,M M0,0,N N0,0,那么那么 logloga a(MNMN)=_;)=_;=_;=_;logloga aM Mn n=_(_(n nR R););logloga aM M+log+loga aN Nlogloga aM M-log-loga aN NNMalogn nlogloga aM M .loglogMmnManam3.3.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质a a1100a a111时时,_,_当当00 x x111时时,_,_当当00 x x100y y00y y00y y001 10 0增函数增函数减函数减函数4.4.反函数反函数 指数函数指数函数y

4、 y=a ax x与对数函数与对数函数_互为反函数，它互为反函数，它 们的图象关于直线们的图象关于直线_对称对称.y y=log=loga ax xy y=x x基础自测基础自测1.1.（20092009湖南理）湖南理）若若loglog2 2a a0,1,1,b b0 B.0 B.a a1,1,b b00 C.0 C.0a a1,0 D.00 D.0a a1,1,b b00 解析解析 loglog2 2a a0=log0=log2 21,01,0a a1.1.b b0.0.,1)21(b,)21(1)21(0bD2.2.已知已知loglog7 7loglog3 3(log(log2 2x x)

5、=0)=0，那么，那么 等于等于 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由条件知由条件知loglog3 3(log(log2 2x x)=1,log)=1,log2 2x x=3,=3,x x=8,=8,21x31634233.4221xC3.3.若若a a=0.3=0.32 2,b b=log=log2 20.3,0.3,c c=2=20.30.3,则则a a,b b,c c的大小关系是的大小关系是 （）A.A.a a b b c c B.B.a a c c b b C.C.b b c c a a D.D.b b a a c c 解析解析 a a=0.3=0.32 2(0,1),(0

6、,1),b b=log=log2 20.30,0.30,c c=2=20.30.3(1,+),(1,+),b b a a 11，函数，函数f f(x x)=log)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上的最大值上的最大值 与最小值之差为与最小值之差为 则则a a等于等于 （）A.B.2 C.D.4A.B.2 C.D.4 解析解析 根据已知条件根据已知条件logloga a2 2a a-log-loga aa a=整理得：整理得：logloga a2=2=则则 即即a a=4.=4.,21222,21,21,221aD5.5.函数函数 的定义域是的定义域是_._.解析解析 要

7、使要使 有意义有意义 需使需使 0303x x-21,-21,即即 b b c c B.B.a a c c b b C.C.b b a a c c D.D.b b c c a a (1)(1)引入中间量如引入中间量如“1”1”或或“”“”比较比较.(2)(2)利用对数函数的图象及单调性利用对数函数的图象及单调性.解析解析 a a=log=log2 21,1,a a b b,a a c c.b b c c,a a b b c c.,3log2b,2log3c,12log21,13log2132cb,12lg3lg2log3log2232又思维启迪思维启迪21A探究提高探究提高 比较对数式的大小，

8、或证明等式问题是比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,当底当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;若底若底数不同，真数相同数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较不同真数，则可利用中间量进行比较.知能迁移知能迁移2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小.(1)(1)(2)log(2)log1.11.10.70.7与与lo

9、glog1.21.20.7;0.7;(3)(3)已知已知 比较比较2 2b b,2,2a a,2,2c c的大的大 小关系小关系.解解 （1 1）log log log5 51=0,1=0,;56log32log53与,logloglog212121cab32log356log5.56log32log53(2)(2)方法一方法一 00.71,1.11.2,00.71,1.1log0log0.70.71.1log1.1log0.70.71.2,1.2,即由换底公式可得即由换底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=

10、log1.11.1x x与与y y=log=log1.21.2x x的图象的图象.如图所示两图象与如图所示两图象与x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0.7 a a c c,而而y y=2=2x x是增函数，是增函数，22b b22a a22c c.,logloglog212121cab且xy21log,2.1log11.1log17.07.0题型三题型三 对数函数的性质对数函数的性质【例例3 3】已知函数已知函数f f(x x)=log)=loga ax x(a a0,0,a a1)1)，如果对于任意如果对于任意x x33，+)+)都有都有|f f(x

11、x)|1)|1成立，成立，试求试求a a的取值范围的取值范围.当当x x33，+)+)时，必有时，必有|f f(x x)|1)|1成成 立立,可以理解为函数可以理解为函数|f f(x x)|)|在区间在区间33，+)+)上的最上的最 小值不小于小值不小于1.1.解解 当当a a11时，对于任意时，对于任意x x33，+),+),都有都有f f(x x)0.)0.所以所以,|,|f f(x x)|=)|=f f(x x),),而而f f(x x)=log)=loga ax x在在33，+)+)上为增函数，上为增函数，对于任意对于任意x x33，+),+),有有f f(x x)log)loga a

12、3.3.思维启迪思维启迪因此因此,要使要使|f f(x x)|1)|1对于任意对于任意x x33，+)+)都成立都成立.只要只要logloga a31=log31=loga aa a即可，即可，11a a3.3.当当00a a11时，对于时，对于x x33，+),+),有有f f(x x)0,)0,|f f(x x)|=-)|=-f f(x x).).f f（x x）=log=loga ax x在在33，+)+)上为减函数，上为减函数，-f f（x x）在）在33，+)+)上为增函数上为增函数.对于任意对于任意x x33，+)+)都有都有|f f(x x)|=-)|=-f f(x x)-log

13、)-loga a3.3.因此，要使因此，要使|f f(x x)|1)|1对于任意对于任意x x33，+)+)都成立都成立,只要只要-log-loga a3131成立即可，成立即可，综上综上,使使|f f(x x)|1)|1对任意对任意x x33，+)+)都成立的都成立的a a的的取值范围是取值范围是(1(1，3 3 ，1).1).本题属于函数恒成立问题，即在本题属于函数恒成立问题，即在x x33，+)+)时时,函数函数f f(x x)的绝对值恒大于等于的绝对值恒大于等于1.1.恒成恒成立问题一般有两种思路立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化

14、为最值问题问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的这里函数的底数为字母底数为字母a a,因此需对参数因此需对参数a a分类讨论分类讨论.131,31,1log13logaaaaa即31探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 (1)(1)设设f f(x x)=)=是奇函数，则使是奇函数，则使 f f(x x)0)0的的x x的取值范围是的取值范围是 （）A.(-1,0)B.(0,1)A.(-1,0)B.(0,1)C.(-,0)D.(-,0)(1,+)C.(-,0)D.(-,0)(1,+)解析解析 f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0.=0.解之，得解之，得a a=-1

15、.=-1.f f(x x)=)=令令f f(x x)0)0，则，则 x x(-1(-1，0).0).)12lg(ax.11lgxx,1110 xxA(2)(2)已知已知f f(x x)=log)=loga a(3-(3-a a)x x-a a 是其定义域上的增函数是其定义域上的增函数,那么那么a a的取值范围是的取值范围是 （）A.(0,1)B.(1,3)A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)(1,3)D.(3,+)C.(0,1)(1,3)D.(3,+)解析解析 记记u u=(3-=(3-a a)x x-a a,当当11a a333时，时，y y=log=loga au u在其定义域内为增

16、函数，在其定义域内为增函数，而而u u=(3-=(3-a a)x x-a a在其定义域内为减函数，在其定义域内为减函数，此时此时f f(x x)在其定义域内为减函数，不符合要求在其定义域内为减函数，不符合要求.当当00a a11,1,x x2 21,1,则点则点A A、B B的纵坐标分别为的纵坐标分别为loglog8 8x x1 1、loglog8 8x x2 2.因为因为A A、B B在过点在过点O O的直线上，的直线上，所以所以 点点C C、D D的坐标分别为的坐标分别为(x x1 1,log,log2 2x x1 1)、(x x2 2,log,log2 2x x2 2),),由于由于lo

17、glog2 2x x1 1=3log=3log8 8x x1 1,log,log2 2x x2 2=3log=3log8 8x x2 2,OCOC的斜率为的斜率为k k1 1=,loglog228118xxxx2loglog818x,log3log118112xxxx解题示范解题示范2 2分分4 4分分（2 2）解解 由于由于BCBC平行于平行于x x轴，知轴，知loglog2 2x x1 1=log=log8 8x x2 2，即得即得 代入代入x x2 2loglog8 8x x1 1=x x1 1loglog8 8x x2 2,得得 由于由于x x1 11,1,知知loglog8 8x x

18、1 10,0,故故 又因又因x x1 11,1,解得解得x x1 1=,=,于是点于是点A A的坐标为的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法利用函数图象和解析几何的思想方法,突突出了本题的直观性出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想现了数形结合的思想.探究提高探究提高,log31log3122212xxxx,log3log1811831xxxx,3131xx 3).3log,3(8ODOD的斜率为的斜率为k k2 2=由此可知由此可知k k1 1=k k2 2,即即O O、C C、D D在同一直线上在同一直线上.,log3log2282

19、22xxxx6 6分分8 8分分1212分分知能迁移知能迁移4 4 已知函数已知函数 是奇函数是奇函数(a a0,0,a a11）.(1)(1)求求m m的值；的值；(2)(2)判断判断f f(x x)在区间在区间(1,+)(1,+)上的单调性并加以证明上的单调性并加以证明.解解 （1 1）f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（-x x）=-=-f f（x x）在其定义域内恒成立，）在其定义域内恒成立，1-1-m m2 2x x2 2=1-=1-x x2 2恒成立，恒成立，m m=-1=-1或或m m=1=1（舍去），（舍去），m m=-1.=-1.11log)(xmxxfa,11lo

20、g11logxmxxmxaa即（2 2）由（）由（1 1）得）得 (a a0,0,a a1),1),任取任取x x1 1,x x2 2(1,+).(1,+).设设x x1 1 1,1,x x2 21,1,x x1 1 0,-10,x x2 2-10,-10,x x2 2-x x1 10.0.11log)(xxxfa,11xx,)1)(1()(21111)()(,11)(,11)(2112221121222111xxxxxxxxxtxtxxxtxxxt则t t(x x1 1)t t(x x2 2),),即即 当当a a11时，时，f f(x x)在（在（1,+1,+）上是减函数；）上是减函数；当

21、当00a a100，且，且a a1)1)与对数函数与对数函数y y=log=loga ax x (a a0,0,且且a a1)1)互为反函数，应从概念、图象和性质互为反函数，应从概念、图象和性质 三个方面理解它们之间的联系与区别三个方面理解它们之间的联系与区别.3.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性 质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要因此要 掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函 数和对数函数的图象数和对数函数的图象.一、选择题一、选择题1.

22、1.（20092009湖南文，湖南文，1 1）的值为的值为 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析定时检测定时检测2log2.212log2log2122212122D2.2.函数函数 的反函数是的反函数是 （）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 x x1,01,0 x x-1-1x x.)1(1log2xxxy)0(122xyxx)0(122xyxx)0(212xyxx)0(212xyxx,1221log,01log.1122yyxxxyxxyxx解得由).0(1221log.122,2xyxxyyyxxxxx的反函数为得互换A3.3.(2009(2009辽宁文，辽宁文，6)6)

23、已知函数已知函数f f(x x)满足：当满足：当x x44时，时，当当x x44时，时，f f(x x)=)=f f(x x+1).+1).则则f f(2+log(2+log2 23)=3)=（）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 因为因为2+log2+log2 234,34,34,故故f f(3+log(3+log2 23)=3)=.24131)21()21(33log32;)21()(xxf2411218183A4.4.已知已知00 x x y y a a1,1,m m=log=loga ax x+log+loga ay y，则有，则有 （）A.A.m m0 B.00 B.0m m1

24、1 C.1 C.1m m2 D.22 解析解析 m m=log=loga axyxy,0,0 x x y y a a1,01,0 xyxy a a2 21.logloga aa a2 2=2.=2.D5.5.若函数若函数f f(x x)满足：满足：f f(x x)=)=f f(x x+2)+2)且当且当x x11，33时，时，f f(x x)=|)=|x x-2|,-2|,则方程则方程f f(x x)=log)=log5 5x x的实根的个数是（的实根的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 由已知得由已知得f f(x x)是以是以2 2为最小正周期的

25、函数，为最小正周期的函数，又又x x1,31,3时时,f f(x x)=|)=|x x-2|,-2|,所以其图象如下图所示所以其图象如下图所示.由于由于loglog5 55=1,5=1,且且y y=log=log5 5x x是增函数是增函数,所以所以f f(x x)的图象与的图象与 y y=log=log5 5x x的图象有且仅有的图象有且仅有4 4个不同交点，也就是方程个不同交点，也就是方程 f f(x x)=log)=log5 5x x有有4 4个不同实根个不同实根.D6.6.函数函数y y=log=loga a|x x+b b|(|(a a0,0,a a1,1,abab=1)=1)的图象

26、只可能的图象只可能 是是 （）解析解析 由由a a0,0,abab=1=1可知可知b b0,0,又又y y=log=loga a|x x+b b|的图象关于的图象关于x x=-=-b b对称，对称，对称轴对称轴x x01,1,且且00a a1,1,由单调性可知，由单调性可知，B B正确正确.B二、填空题二、填空题7.7.(2009(2009江苏，江苏，11)11)已知集合已知集合A A=x x|log|log2 2x x2,2,B B=(-,(-,a a),),若若A A B B,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是(c c,+),+),其中其中c c=_.=_.解析解析 loglog2

27、 2x x2,02,04,4,c c=4.=4.8.8.计算计算 loglog5 525=_.25=_.解析解析 原式原式=(-4)=(-4)1 1+log+log5 55 52 2=-4+2=-2.=-4+2=-2.4 4313)4(-2-29.9.已知已知00a a b b11c c,m m=log=loga ac c,n n=log=logb bc c,则则m m与与n n的大小关的大小关 系是系是_._.解析解析 m m0,0,n n0,0,=log =loga ac cloglogc cb b=log=loga ab blog n n.m m n nnm三、解答题三、解答题10.10

28、.将下列各数按从大到小的顺序排列将下列各数按从大到小的顺序排列:log log8 89,log9,log7 79,9,解解 在同一坐标系内作出在同一坐标系内作出y y=log=log8 8x x,y y=log=log7 7x x，y y=log=log2 2x x的图象如图的图象如图 所示所示,当当x x=9=9时时,由图象知由图象知 loglog2 29log9log7 79log9log8 891=log91=log8 88,8,.)21(,)21(,9log,3log322121,9log)9log(9log2222221loglog2 22 29log9log7 79log9log8

29、 891,91,即即 loglog7 79log9log8 891.91.在在R R上是减函数上是减函数,9log221xy)21(.3log)21()21(9log9log9log:,03log.0)21()21(121212138723综上又11.11.若函数若函数y y=lg(3-4=lg(3-4x x+x x2 2)的定义域为的定义域为M M.当当x xM M时，时，求求f f(x x)=2)=2x x+2+2-3-34 4x x的最值及相应的的最值及相应的x x的值的值.解解 y y=lg=lg（3-43-4x x+x x2 2）,3-4,3-4x x+x x2 20,0,解得解得x

30、 x133，M M=x x|x x1,33，f f（x x）=2=2x x+2+2-3-34 4x x=4=42 2x x-3-3(2(2x x)2 2.令令2 2x x=t t,x x13,3,t t88或或00t t2.88或或00t t2).2).34)32(32t由二次函数性质可知由二次函数性质可知:当当00t t288时时,f f(x x)(-,-160),)(-,-160),当当2 2x x=t t=即即 综上可知综上可知:当当 时时,f f(x x)取到最大值为取到最大值为 无最小值无最小值.,34,0(,32.34)(,32logmax2xfx时32log2x,3412.12.

31、已知已知f f(x x)=log)=loga a(a ax x-1)(-1)(a a00且且a a1).1).（1 1）求）求f f(x x)的定义域；的定义域；（2 2）讨论函数）讨论函数f f(x x)的单调性的单调性.解解 （1 1）由）由a ax x-10-10得得a ax x11，当，当a a11时，时，x x0;0;当当00a a11时，时，x x0.11时，时，f f(x x)的定义域为（的定义域为（0 0，+）；）；当当00a a111时，设时，设00 x x1 1 x x2 2，则，则f f(x x1 1)11时，时，f f(x x)在（在（0,+0,+）上是增函数）上是增函

32、数.同理，当同理，当00a a11时，时，f f(x x)在（在（-，0 0）上为增函数）上为增函数.,121xxaa),1(log)1(log,1102121xaxaxxaaaa故 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并

33、非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星

34、星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.

35、真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是

36、时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连

37、自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不

38、肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时

39、代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金