微分详细讲解课件.ppt

1、3.5 函数的微分函数的微分(一一)、微分的定义、微分的定义(二二)、微分的计算、微分的计算(三三)、微分在近似计算中的应用、微分在近似计算中的应用1.引例引例2.微分的定义微分的定义3.可微的条件可微的条件4.微分的几何意义微分的几何意义(一一)、微分的定义、微分的定义实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,xs20 正方形面积正方形面积2020 x)xx(s .)(220 xxx )1()2(;s,x的的主主部部且且为为的的线线性性函函数数 .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无

2、穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 01.引例引例2.微分的定义微分的定义定义定义.xAdy),x(dfdy,x)x(fyxA,x)x(fy),xA)(x(oxA)x(f)xx(fyy,xxx,x)x(fy00 xx0 xx000000 即即或或记作记作的微分的微分在点在点称为称为可微可微在点在点则称则称无关无关与与其中其中可写成可写成如果如果时时处取增量处取增量在在当当的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义在在设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy)ydy();x(odyy)1(的的线线性性主主部部为为 ;0,0)2(dyyxA 时

3、时，时时当当.dyy,x)3(很小时很小时当当的关系的关系与与dyy)xA)(x(ody)x(oxAy无关无关与与其中其中 3.可微的条件可微的条件).x(fA,x)x(fx)x(f000 且且处可导处可导在点在点可微可微在点在点函数函数性质性质证证(1)必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2)充分性充分性),x()1(ox)x(fy0 从而从而)x(fxy0 即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),()

4、(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数),1(o.)(dxxfdy 。即即作作称为自变量的微分，记称为自变量的微分，记的增量的增量通常把自变量通常把自变量xdxdxxx ,例例1 1解解.02.0,2)3(;2)2(;)1(3时的微分时的微分当当处的微分处的微分在在微分微分，求，求函数函数 xxxxy02.02202.023)3(xxxxxxdy.24.0).(xfdxdy .微微商商导导数数也

5、也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy23)1(xy dxxdy23 dxdxxdyxx12|3|)2(222 4.微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:.x)x(fx)x(fdy处处切切线线纵纵坐坐标标的的改改变变量量在在就就是是在在 xx0 P QxPQ)x(ftan PQ x)x(f )x(oNPPQdy,NQy dy“以直代曲以直代曲”dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等

6、函数的微分公式dx_)x(cscddx_)x(secddx_)x(cotddx_)x(tanddx_)x(cosd dx_)x(sinddx_)x(d _)C(d (二二)、微分的计算、微分的计算01x cosx-sinx-cscxcotxsecxtanxxsec2xcsc2 dx_)xcotarc(ddxx11(_)ddx_)x(arccosddx_)x(arcsinddx_)x(lnd ,dxx1(_)ddx_)x(logddxe(_)dadxlna(_)d2axx 2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)x(g)x(dg)x(f)x(df)x(g)x(g)x(f(

7、d)x(dg)x(f)x(df)x(g)x(g)x(f(d)x(Cdf)x(Cf(d)x(dg)x(df)x(g)x(f(d xaxealnx1xlnx12x11 2x11 arctanx2x11 例例2 2.),ln(2dyexyx求求设设 例例3 3).0(dydy,xcoseyx31及及求求设设 (x)dxgg(x)fdfg(x),xfg(x)y,g(x)uf(u),y 9.3 且且可微可微关于关于则则可微可微设设性质性质dy),f(ey 4x-求求例例 dy),x(fyeyx:5xy2求求确确定定由由例例 3.复合函数的微分及微分形式不变性复合函数的微分及微分形式不变性 微分形式的不变

8、性微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),t(gxt,x)2(),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dt)t(g)x(fdy ,dxdt)t(g .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)(例例6 6解解.),12sin(dyxy求求设设 .12,sin xuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dx

9、x 例例7 7在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd 例例7 7解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ),t(sindtdtcos)1()t(sind1)t(tdcos1tdtcos .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22,cos42xxx).()cos4()(sin22xdxxxxd(三三)、微分在近似计算中的应用、微分在近似计算中的应用x)x(fdyy,x)1(0 很小时很小时当当计算公式计算公式x)x(f)x(f)xx(f,x)2(000 很小时很小时当当xffxfxx)0()0()(0,)3(0 时，时，很小时很小时当当.,0.1cm,10cm,x 80精精确确值值体体积积增增加加的的近近似似值值求求正正方方体体若若棱棱长长增增加加正正方方体体的的棱棱长长例例.1e,x 9xx 很小时很小时证当证当例例1|x|取取)()()(,0000 xxxfxfxfxxx 有有令令.31 105的近似值的近似值求求例例