弹性力学03平面问题的直角坐标解答课件.ppt

1、要点要点 用用逆解法逆解法、半逆解法半逆解法求解平面弹性求解平面弹性力学问题。力学问题。3-1 3-1 逆解法与半逆解法多项式解答逆解法与半逆解法多项式解答3-2 3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3-3 3-3 位移分量的求出位移分量的求出3-3-楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力3-3-简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷主主 要要 内内 容容l应力函数法求解平面问题的基本步骤应力函数法求解平面问题的基本步骤（常体力情形）（常体力情形）（1）444422420 xxyy (2-27)（2）xyyx,然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：(,)x y先

2、由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(,)x y22yyf yx 22xxf xy 2xyx y (2-26)（3）再让再让 满足满足边界条件边界条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）。（多连体问题）。xyyx,40 2xyx y 22xy 22yx(2-28)（无体力情形）（无体力情形）l应力函数的求解方法：应力函数的求解方法：（1）逆解法；）逆解法；（2）半逆解法。）半逆解法。应力函数应力函数 求解方法求解方法(,)x y（1）逆解法）逆解法（1）先设定各种形式的、满足相容方程（先设定各种形式的、满足相容方程（2-27）的应力函数）的应力函数(x,y)；（2）

3、主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 ；xyyx,（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数再利用应力边界条件，来考察这些应力函数(x,y)对应什么样对应什么样的边界面力，从而得知所设应力函数的边界面力，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。可以求解什么问题。444422420 xxyy (2-27)40 3-1 3-1 逆解法和半逆解法多项式解答逆解法和半逆解法多项式解答22yyf yx 22xxf xy 2xyx y (2-26)（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点

4、、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；xyyx,（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y)的形式；的形式；xyyx,40 （3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足并让其满足边界条件边界条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）。（多连体问题）。xyyx,（2）半逆解法）半逆解法444422420 xxyy (2-27)40 22yyf yx 22xxf xy 2xyx y (2-26)下面用下面用逆解法逆解法，将应力函数，将应力函数(x,y)取

5、为一些取为一些简单的多项式函数简单的多项式函数，考察能解决什么样的问题。考察能解决什么样的问题。(,)x yaxbyc其中：其中：a、b、c 为任意常数。为任意常数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：4444422420 xxyy 显然显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式一次多项式（2）（3）对应的应力分量（设对应的应力分量（设体力为零体力为零）：）：20 xyx y 220 xxf xy 220yyf yx 即有：即有：0 xyyx（1）结论：结论：（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力、无面

6、力、无应力无体力、无面力、无应力状态；状态；在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式二次多项式（1）22axbxycy 其中：其中：a、b、c 为待定系数。为待定系数。（设（设 fx=fy=0）检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0 xyxy 40 (可作为应力函数可作为应力函数)（3）由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：2xybx y 222xcy 222yax xy2c2c2a2abxy结论：结论：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应

7、力分布均匀应力分布。假设：假设：a 0,b 0,c 0试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy000(,)x yxy 20(,)2x yx 3.三次多项式三次多项式（1）3223axbx ycxydy 其中其中:a、b、c、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0 xyxy 40 (可作为应力函数可作为应力函数)(设设 fx=fy=0)（3）由式（由式（2-26）计算应力分量：）计算应力分量：222xybxcyx y 2226xcxdyy 2262yaxbyx 结论：结论：三次多项式对应于三

8、次多项式对应于线性应力分布线性应力分布。0 xyxy020(,)2x yy 4.四次多项式四次多项式（1）432234axbx ycx ydxyey 检验检验(x,y)是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2）42228cxy 4424ax 4424ey 代入：代入：40 得得033eca024824eca432234axbx ycx ydxyey 可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：033eca总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 的性质）的性质）（1）多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取

9、，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。40 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足时，则系数须满足一定条件，才能满足 。40 多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式一次多项式，对应于，对应于无体力、无面力、无应力无体力、无面力、无应力状态；在任意应力函数状态；在任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对应于对应于

10、线性分布应力线性分布应力。（3）3,ay 取(0)xyff可得：可得：0 xy6xay0y则边界受力：则边界受力：:2hy0,0 xyy0,:xl6,0 xxyay3ay 可见：可见：对应于梁的对应于梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分布。应力分布。常数常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：20,2()0hhxxldy(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：2260hhay dy(2)20,2()hhxxlydyM2226hhay dyM32MahyIMxyhMx312可见：可见：此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应

11、力结果是正确的。3-2 3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲xy12h2hlMM其中：其中：3112hI0 xyxMyI0y说明：说明：(1)仅当梁端的法向面力仅当梁端的法向面力线性分布线性分布，且在端面形心处为零，而切向面且在端面形心处为零，而切向面力亦为零时，结果才是力亦为零时，结果才是精确解精确解。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则按圣维南原理，此结果则按圣维南原理，此结果仅在两端误差较大，而离仅在两端误差较大，而离端部较远处误差较小。为端部较远处误差较小。为“圣维南意义下的精确圣维南意义下的精确解解”。xy12h2hlMM按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解

12、平面问题，其基本未知量为：，下一步如何，下一步如何由由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyyx,问题：问题：位移分量的求解位移分量的求解：（1）将已求得的应力分量将已求得的应力分量（2）（3）xyyx,代入代入物理方程物理方程，求得应变分量，求得应变分量xyyx,将应变分量将应变分量xyyx,代入代入几何方程几何方程，并积分求得位移分量的，并积分求得位移分量的表达式；表达式；由由位移边界条件位移边界条件确定表达式中的常数，得最终结果。确定表达式中的常数，得最终结果。的表达式；的表达式；3-3 3-3 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为

13、例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyl1hMM 1.形变分量与位移分量形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：xMyI0 xy0y平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量）形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式（将式（a）代入得：）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)（2）位移分量）位移分量将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)（2）位移分量）位移分量0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)将式（

14、将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式将式(d)代入代入(c)中第三式，得：中第三式，得：)(),(21xfyf式中：式中：为待定函数。为待定函数。)()(12yfxfxEIM整理得：整理得：0)()(21xfyfxEIM（仅为（仅为 x 的函数）的函数）（仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：式中：为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得01)(uyyf220()2MfxxxvEI 将上式代入式（将上式代入式（d），得），得0uyxyEIMu02222vxxEI

15、MyEIMv(f)（1）(f)讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。00 x xuMxyEI常数当当 x=x0=常数常数xEIMyu（2）位移分量）位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM即铅垂方向微段即铅垂方向微段 dy 的转角。的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx说明：说明：同一截面上的各铅垂同一截面上的各铅垂线段转角相同线段转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中纯弯曲材力中纯弯曲“平面假设平面假设”成立成立。（2）22vMxEI 02222vxxEIMyEIMv将将 v 对对 x 求二阶导数得：求二阶

16、导数得：0uyxyEIMu 材料力学中的材料力学中的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 2.位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其边界条件：其边界条件：000yxu000yxv将其代入将其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回将其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2(22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20 与材力中结果相同与材力中结果相同00ylxv（2）悬臂梁）悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIM

17、u(f)边界条件边界条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：边界条件改写为：0,000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMvyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同说明：说

18、明：（1）求位移的过程：求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程：将应力分量代入物理方程：)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程积分求位移；再将应变分量代入几何方程积分求位移；xvyuxyxuxyvy（c）最后利用位移边界条件，确定积分常数。最后利用位移边界条件，确定积分常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为：h/2h/20,000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）00u得到：得到：

19、0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。（为什么？为什么？）半逆解法思路：半逆解法思路：（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；xyyx,（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y)的形式；的形式；xyyx,40 （3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足并让其满足边界条件边界

20、条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）。（多连体问题）。xyyx,444422420 xxyy (2-27)40 22yyf yx 22xxf xy 2xyx y (2-26)3-4 3-4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定应力函数的确定(半逆解法半逆解法)(1)分析：分析：y 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。y可设：可设：)(yfy(2)由应力分量表达式确

21、定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：(,)x y22()yf yx 积分得：积分得：1()()xf yf yx212()()()2xf yxf yfy(a)(b)(),(),(21yfyfyf 待定函数待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q1()()xf yf yx212()()()2xf yxf yfy(a)(b)(),(),(21yfyfyf待定函数待定函数(3)由由 确定确定40 )(),(),(21yfyfyf4(2)2222()fyxy 440 x 42(4)(4)(4)124()()()2xfyxfyfyy 代入相容方程：代入相容方程：444442242x

22、xyy 2(4)(4)(4)(2)12()()()2()02xfyxfyfyfy0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfxxyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf对前两个方程积分：对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此处略去了此

23、处略去了f1(y)中的常数项中的常数项由第三个方程得：由第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)212()()()2xf yxf yfy GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlql1yzh/2h/2q1()()xf yf yx212()()()2xf yxf yfy(a)(b)将将(c)(d)代入代入(b)，有，有23232()()2xAyByCyDx EyFyGy)610(2345KyHyyByA(e)式中含有式中含有9个待定常数。个待定

24、常数。23232()()2xAyByCyDx EyFyGy)610(2345KyHyyByA(e)2.应力分量的确定应力分量的确定22xy KHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222yx DCyByAy232xyx y )23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用22xy KHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222yx DCyByAy232xyx y )23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应

25、用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：yx,x 的偶函数的偶函数xy x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：0GFExyllqlql1yzh/2h/2qKHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：;0,2xyhy;,2qhyy;0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBh

26、hA0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA,0B2qD3,2qCh代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）:xl?xyx l0 xx l 需借助于圣维南原理。需借助于圣维南原理。静力等效边界条件：静力等效边界条件：22hhxysx ldyFql 220hhxNx ldyF220hhxx lydyM0K02Kh0)2646(223323hhd

27、yKHyyhqylhq0)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223自动满足。自动满足。22hhxyx ldyql 220hhxx ldy220hhxx lydy(i)(j)(k)KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：xyxy)()(三次抛物线三次抛物线q)534()(622223hyhyqyxlhqx22112hyhyqy22346yhxhqxy4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较xy

28、llqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽度：截面宽度：b=1,3112hI截面惯性矩：截面惯性矩：静矩：静矩：2822yhS弯矩：弯矩：222()()()22qqMql lxlxlx剪力：剪力：sFqx 将其代入式将其代入式(p)，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqysxyF SbI（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyhyqysxyF SbI（3-6）比较得

29、：比较得：（1）xxy第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l b。试确定其。试确定其应力应力和和位移分量位移分量。解：解：分析截面分析截面内力：内力：0)(xM0)(xQ0)(xq0y220yx 12()()xf yfy 积分得：积分得：代入相容方程，有：代入相容方程，有：44442242xxyx 0)()()4(2)4(1yfyxf要使对任意的要使对任意的 x、y 成立，有成立，有0)()4(1yf0)()4(2yf积分，得：积分，得：CyByAyyf231)(232)(EyDyyf3232AxyBxyCxyDyEy 1

30、确定应力函数确定应力函数（1）2 计算应力分量计算应力分量22xy 22yx 2xyx y EDyBAyx26)26(0CByAy2323232AxyBxyCxyDyEy（1）（2）3 由边界条件确定常数由边界条件确定常数左右边界：左右边界：02byy02byyx0432CBbAb0432CBbAb0B0432CAb（3）上边界：上边界：pbdybbhxx22pEAl22042CbA022bbhxxydy022bbhxxydy0 DlA0432CAb（3）0yEDyAxyx266CAyxy23（4）（5）（6）（7）0A0C0D2pE代入式（代入式（1）和（）和（4），有：），有：22yppx

31、0y0 xy（8）（9）下边界：下边界：pbdybbhxx22022bbhxxydy022bbhxxydypbpdybb22 满足。满足。4 求位移求位移由物理方程，得：由物理方程，得：xuyvyuxv)1(12yxxE)1(12xyyExyxyE)1(2px0y0 xypE21pE)1(0 xuyv0yuxvpE21pE)1(积分前积分前2式，得：式，得：)(112yfpxEu)()1(2xfpyEv代入式（代入式（10）中第）中第3式，得：式，得：0)()(12yfxfyuxv)()(12yfxf为常数。为常数。01)(uyyf02)(vxxf对上式积分，得：对上式积分，得：代入式（代入式

32、（11），得：），得：021uypxEu0)1(vxpyEv常数常数、u0、v0由位移边界条由位移边界条件确定。件确定。（10）（11）（12）位移边界条件：位移边界条件：求得：求得：,00 xu,000yxv00uy00v000u00v代入位移表达式，有：代入位移表达式，有：pxEu21pyEv)1(021uypxEu0)1(vxpyEv常数常数、u0、v0由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。（12）弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论小结小结一、两类平面问题及其特征一、两类平面问题及其特征名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量

33、未知量未知量已知量已知量位位 移移应应 变变应应 力力外外 力力几何形状几何形状xyyx,0zxyz)(yxzExyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz)(yxzvu,0wvu,0w体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化。向不变化。z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的于板面内的尺寸（等厚度薄平板）尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面平面内的尺寸（等截面长柱体）内的尺寸（等截面长

34、柱体）二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程）平衡微分方程00yxxxyxyyfxyfyx（2-2）（假定：小变形、连续性）（假定：小变形、连续性）（2）几何方程）几何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）（假定：小变形、连续性）（假定：小变形、连续性）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1(2(2-15)（平面应力）（平面应力）(2-16)1(12yxxExyxyE)1(2)1(12xyyE（平面应变）（平面应变）（假定：连续性、线弹性、均匀性、各向同性）（假定：连续性、线弹性、均匀性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程三、平面

35、问题的基本求解方法及基本方程思路：思路：（1）按位移求解）按位移求解以位移以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。物理方程求出其余未知量。基本方程：基本方程：222222222222110122110122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y （2-20）用位移表示的用位移表示的平衡微分方程平衡微分方程vvuuss,22112112xssyssEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy（2

36、-21）（2-17）用位移表示的用位移表示的应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件（2）按应力求解）按应力求解思路：思路：以应力以应力 为基本未知量，为基本未知量，得到只有得到只有 的的3个个基本方程，从中求出基本方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。其余未知量。xyyx,xyyx,xyyx,基本方程：基本方程：00yxxxyxyyfxyfyx（2-2）平衡微分方程平衡微分方程2222()(1)yxxyffyxxy（2-23）相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面应力情形）（平面应力情形）vvuuss,（2-17）()()()()

37、xsyxsxysxysylmfmlf（2-18）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件边值条件边值条件（3）两类平面问题物理方程的互相转换：）两类平面问题物理方程的互相转换：平面平面应力应力问题问题平面平面应变应变问题问题E21E1平面平面应变应变问题问题平面平面应力应力问题问题E2)1()1(E1（4）边界条件）边界条件vvuuss（2-17）()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18）位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件)(uS)(S)(SSSu（5）按应力求解的）按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：444422420 xxyy

38、(2-27)(2-26)（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。40 vvuuss,（2-17）()()()()xsyxsxysxysylmfmlf（2-18）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量22yyf yx 22xxf xy 2xyx y （对常体力情形）（对常体力情形）（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）yxxyxyyx2

39、2222（2-22）2222()(1)yxxyffyxxy（2-23）（2-24）(平面应力情形平面应力情形)(平面应变情形平面应变情形)22221()1yxxyffxyxy 0)(2222yxyx（2-25）444422420 xxyy (2-27)形变表示的形变表示的相容方程相容方程应力表示的应力表示的相容方程相容方程应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程(基本形式基本形式)(常体力情形常体力情形)适用情形适用情形：小变形、任意小变形、任意弹塑性材料弹塑性材料。(常体力情形常体力情形)五、边界条件与圣维南原理五、边界条件与圣维南原理vvuuss,()()()()xsyxsxysxys

40、ylmfmlf位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件圣维南原理的要点：圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；）静力等效；（3）结果影响范围：）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（）面力分布复杂的边界（次要边界次要边界）如：集中力，集中力偶等；如：集中力，集中力偶等；（2）位移边界（）位移边界（次要边界次要边界）；）；六、其它六、其它（1）常体力情况下简化）常体力情况下简化将将体力体力转化为等效的转化为等效的面力面力：xxxyyyfflf xf

41、fmf y（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。（3）任意方向的正应变计算。）任意方向的正应变计算。xyyxNlmml22xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22222122xyyxyxyxyxyx2211tan,tan221minmax（1）（2）1.试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）（含有待定函数）课堂练习：课堂练习：2.试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在试用边界条件确定，当图示变截面杆件受

42、拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪与剪应力应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。板厚为一个单位。yx,xy1.图示矩形板长为图示矩形板长为 l，高为，高为 h，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中并指出能解决什么问题。式中q为常数。为常数。xyOlh作作 业业31()()Axyyf xf x 2.试问试问 f(x)、f1(x)取何种形式，以下函数能作为应力函数取何种形式，以下函数能作为应力函数(x，y)。习题：习题：3-1，3 2，3 3，3-423333(431)2410qxyyqyyyhhhh 例：例：试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。上边界：上边界：)0(y1qy0yx下边界：下边界：)tan(xy Nsin)90cos(lcosmxyxxlmfyyxymlf0 xf 2yfq 代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有0cossinxyx2cossinqyyx右边界：右边界：)(lx 由圣维南原理，有由圣维南原理，有0tan0lxdyMydylxtan0Qdylxytan02cos2122lqlqlqlq12cosxxy