北师大版（2019）高中数学必修第一册：3.1《指数幂的拓展》学案.docx

1、指数幂的拓展【学习目标】掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。【学习重难点】（1）正分数指数幂的含义和运算；（2）有理数指数幂的运算；（3）根式与分数指数幂的相互转化。【学习过程】一、知识引入在初中，学习了整数指数幂的运算及性质an=aaaan个a， a0=1， a-n=1anaman=am+n， amn=amn， abn=anbn。思考讨论：（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位hm2)与年数t（年）的关系式为：S=S01.057t。其中S0为侵害面积的初始值 如果求10年后侵害

2、的面积，则S=S01.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S=S01.05715.5，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？（2）对于分数指数幂的运算，该如何运算呢？如312=？。二、新知探究1、给定正数a和正整数m，n(n1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn=am，则称b为a的mn次幂。记作b= ，这就是正分数指数幂。例如：b5=2，则b=215；t6=513，则t= 。注意：当k是正整数时，分数指数幂amn满足：amn=akmkn与312=3类似，当底数a0时，amn=nam，其中nam读作“n次根号下am”，也叫根式运算。例如：812=8=22，272

3、3=3272=9；根据分数指数幂amn的定义，分数指数幂的条件是：底数a0.虽然3-27=-3，但不能写成(-27)13=-3例1把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式：（1）b5=20； （2）b4=25；（3）bn=3mm，nN+；（4）b3n=9mm，nN+。2、类似负整数指数幂的定义，给定a0，正整数m，n(n1，且m，n互素)，定义a-mn=1amn=1nam。指数运算的指数已经扩充到有理数了。那么，指数是无理数的情况呢？以102为例说明如下因为2=1414213，所以1414114142141514215上式2左边的数称为2的不足近似值，右边的数称为2的过剩近似值101.4101.41101.414102101.415101.421，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn=am，则称b为a的mn次幂。记作b=amn，这就是正分数指数幂。2、类似负整数指数幂的定义，给定a0，正整数m，n(n1，且m，n互素)，定义a-mn=1amn=1nam。【精炼反馈】1思考辨析（1）2表示个2相乘。( )（2）a(a0，m，nN，且n1)。( )（3）()n。( )答案 （1） （2） （3）答案