北师大版（2019）高中数学必修第一册：4.2.2《换底公式》学案.docx

1、换底公式【学习目标】1通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。2通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。【学习重难点】1能推导出对数的换底公式。(重点)2会用对数换底公式进行化简与求值。(难点、易混点)【学习过程】一、预习提问思考：换底公式的作用是什么？提示 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。二、合作探究利用换底公式化简求值【例1】 计算：log1627log8132思路探究 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。解 log1627log8132。用已知对数表示其他对数【例2】 已知log189a，18b

2、5，用a，b表示log3645解 法一：因为log189a，所以918a，又518b，所以log3645log218(59)log21818ab(ab)log21818又因为log21818，所以原式。法二：18b5，log185b，log3645。法三：log189a，18b5，lg 9alg 18，lg 5blg 18，log3645。对数的实际应用探究问题1光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y。试写出y关于x的函数关系式。提示：依题意得yaa，其中x1，xN。2探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以

3、后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 30.477 1，lg 20.301 0)提示：依题意得axaxx(2lg 31)lg 2x6572，xmin7即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下。【例3】 某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为12%，试解答下面的问题。(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 10120.005 2，lg 120.079 2)思路探究 先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值。解 (1)由题意y

4、100(112%)x1001012x(xN)。(2)由1001012x120，得1012x12，xlog10121216，故大约16年以后，该城市人口将达到120万。【学习小结】换底公式：logbN(a，b0，a，b1，N0)。特别地，logablogba1，logba【精炼反馈】1思考辨析(1)logab。( )(2)log52。( )(3)loga blogb cloga C( )2若lg 3a，lg 5b，则log53等于( )A B Cab Dba3log332log227_。4一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。(结果保留1个有效数字)【答案】1思考变形(1) (2) (3)2B log5 3。315 log332log227154解 设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y0.84x。依题意得0.84x0.5，化为对数式，得log0.840.5x，由换底公式知x，用科学计算器计算得x398，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。