北师大版（2019）高中数学必修第一册：2.4.2《简单幂函数的图象和性质》教案.docx

1、简单幂函数的图象和性质【教材分析】传统教材中，幂函数内容是放在指数函数、对数函数之后学习，而新教材将其提前，在学习了函数基本概念和性质后，学习的第一个具体函数，这一安排有其合理性，一方面，幂函数是初中学习的正比例、反比例、一元二次函数的推广，有一定的知识基础，另一方面，将前面刚刚学习的函数知识，应用到具体函数中，使学生深刻体会探究函数性质的方法与步骤，为学习指数函数、对数函数做好准备。【教学目标与核心素养】1知识目标：掌握幂函数的概念和定义；学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一

2、般方法和步骤。2核心素养目标：通过自主探究幂函数的图象和性质，培养学生知识的应用能力，提高学生的数学运算和逻辑推理的核心素养。【教学重难点】1幂函数的概念和定义；2使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；3对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了函数y=x、反比例函数y=1x、二次函数y=x2等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“1x”可以记作“x-1”、“x”可以记作“x12”，形如“y=x”的函数，在实际生活中经常会遇到。思考讨论：（1）写

3、出边长为x的正方体体积y的函数；提示：y=x3（2）写出面积为x的正方形的边长y的函数提示：y=x即y=x12二、新知识一般地，形如y=x（为常数）的函数，称为幂函数如：函数y=x3、y=x12、y=x-1等等注意：幂函数的指数是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；幂函数的图象和性质，根据不同的指数，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象思考讨论（1）将函数y=x、y=1x、y=x2、y=x、y=x3的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：y=xy=1xy=x2y=xy=x3定义域Rx|x0Rx|x0R值域Ry|y0y|y0y|y0R

4、单调性R（-,0）（0,+）（-,00,+）0,+）R奇偶性奇奇偶非奇非偶奇（2）下列各图，只画出了函数在y轴一侧的图象，请画出y轴另一侧的图象，并说出画法的依据提示：前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，后两个函数为偶函数，图象关于轴对称思考讨论（综合练习）（1）若幂函数y=m2-2m-2x-m+2在（0,+）上为减函数，求实数m的值；（2）已知函数y=xa、y=xb、y=xc在第一象限的函数图象如图，试比较a,b,c的大小；（3）试利用函数的性质，比较a,b,c的大小：a=1112,b=152,c=12-1（4）已知幂函数y=x3m-9（mN*）的图象关于y轴对称，且在（0,+）上

5、为减函数，解关于a的不等式（a+1）-m（3a-2）-m提示：（1）函数为幂函数，则m2-2m-2=1，得m=-1或m=3，函数为y=x3或y=x-1，又函数在（0,+）上为减函数，所以m=3（2）由y=xc的图象，函数单减，则c2b1，则ab0所以abc（3）由幂函数y=x-1，即y=1x的性质，12-11，即c11211121，即ba1所以bac（4）函数y=x3m-9（mN*）在（0,+）上为减函数，则3m-90，即m3，mN*，故m=1或m=2又图象关于y轴对称，函数为偶函数，则3m-9为偶数，所以m=1不等式即为（a+1）-1（3a-2）-1，再由幂函数y=x-1的图象得3a-2a+13a-20或a+10所以不等式的解集为a|a-1或23a0时，幂函数单调递增，当0时，单调递减，当=0时，幂函数为y=x0（x0）,即y=1（x0）；特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程三、课堂练习教材P66，练习3四、课后作业教材P67，习题2-4：B组第1题【教学反思】分析函数的图象和性质，一般步骤是：首先考虑函数的定义域，然后考察函数的奇偶性，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。幂函数指数的情况较多，其图象和性质差异也较大，但只需按照上述步骤去分析，就可以得出函数的性质。