振动理论第2章单自由度系统的自由振动课件.ppt
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1、振动:振动:一个弹性系统在平衡位置上,受到一个冲击(突然施加一个外力或突一个弹性系统在平衡位置上,受到一个冲击(突然施加一个外力或突然除去一个外力)使这个弹性系统脱离原来的平衡位置,在新的位置上系统然除去一个外力)使这个弹性系统脱离原来的平衡位置,在新的位置上系统的弹性力不能与载荷相平衡了,于是就发生了振动。的弹性力不能与载荷相平衡了,于是就发生了振动。自由振动:自由振动:只靠弹簧的弹性力所维持的振动称为自由振动。只靠弹簧的弹性力所维持的振动称为自由振动。单自由度系统:单自由度系统:只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了,这种系统称只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了,这种系统称 为单自
2、由系统为单自由系统.stmgk()stmxmgkx0mxkx0stgxx2nstgkm20nxx(1)1cosnxCt2sinnxCt或1C2C为两个任意常数,则通解可写为:12cossinnnxCtCtcosntsinnt均为周期函数,故有:(2)()2nntTt0lxstkm22nstTgst(3)11212stgfTkm1C2C0t 00,x x 10Cx02nxC00cossinnnnxxxtt(5)(4)描述简谐振动的三个特征量描述简谐振动的三个特征量1.振幅振幅 A2.周期周期 T 和频率和频率 f3.相位相位 是是 t 时刻的相位时刻的相位简谐振动简谐振动定义定义:特点特点:(1
3、)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动(1)是是 t=0 时刻的相位即初相时刻的相位即初相(2)()sin()nx tA t()()x tx tT22nTf n t简谐振动的表示简谐振动的表示1.1.以旋转矢量表示的简谐振动以旋转矢量表示的简谐振动sin()nxAt2200nxAx00arctannxx(6)2.2.以复数表示的简谐振动以复数表示的简谐振动模为模为A A的矢量的矢量OPOP旋转,其复数表示为旋转,其复数表示为cos()sin()nnZAtit根据欧拉公式根据欧拉公式cossiniei()itZAe式(式(6 6)可表示为:)可表示为:(7)(8)比较式(比较式(6 6)()
4、(7 7)简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影)简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影.()sin()ImitxAtAe在以后的叙述中,对复数表达式不做特殊说明时,即表示取其在以后的叙述中,对复数表达式不做特殊说明时,即表示取其虚部虚部.(9)3.3.物体运动的速度和加速度为物体运动的速度和加速度为sin()2nnvxAt2sin()nnaxAt(10)(11)由式(由式(6 6)()(1010)()(1111)可知,当物体的位移是简谐函数时,它的速)可知,当物体的位移是简谐函数时,它的速度与加速度也是简谐函数,它们与位移的频率相同,速度的相位超前度与加速度也是简谐函数,它们与位移的频率相同,速
5、度的相位超前位移位移2,加速度的相位超前位移加速度的相位超前位移sin()nxAt(6)30Wlbf50lin20.0001Ain6230 10/Elbf in00.01xin01/xin s630 500.0530 100.001stWWlinkEA11138614220.05stgfs228 /nfrad s2220010.010.01513214nxAxinlc22()3stWc lclEI223()lEIkc lc12stgfl0v10000Wlbf62lft22.5Ain6215 10/Elbf in03/vft sstWlEA64386 15 102.544.8/1 1060 12
6、nstgrad s0t 00 x 00 xv0nvA461 1060 12360.99515 102.544.8dstAin421 100.99520750/2.50.192dstWlbf inA00cossinnnnxxxttTVC(1)()0dTVdt动能为零时势能达到最大值,而势能为零时动能达到最大值,则有:动能为零时势能达到最大值,而势能为零时动能达到最大值,则有:maxmaxTV22max12nTmAsin()nxAtcos()nnvAt2max12VkAnkm(2)工程实际中通常振幅不大的振动,差不多都是简谐振动,都可用式(工程实际中通常振幅不大的振动,差不多都是简谐振动,都可用式
7、(1 1)计算振动的固有频率。计算振动的固有频率。kmx能量法计算固有频率能量法计算固有频率k klakkall()a()b()c()a2 22WlTg2(1 cos)2WlVWl0sinntmaxmaxTV22 220022nWlWlg ngl()b2 22WlTg2222()2(2)222Wlk aVWlka()0dTVdt2 222(2)022dWlWlkadtg22(2)nWlkagWl()c为了计及这部分质量对系统振动固有频率的影响,利用能量法为了计及这部分质量对系统振动固有频率的影响,利用能量法可对分布质量系统作近似计算,方法是先对具有分布质量的弹可对分布质量系统作近似计算,方法是
8、先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式,然后将无阻尼自由振动的简谐规律性元件假定一种振动形式,然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入,即得到等效质量和固有频率,这种近似计算方法称为瑞代入,即得到等效质量和固有频率,这种近似计算方法称为瑞利法(为利法(为Lord RayleighLord Rayleigh所创)所创)设弹簧的长度为设弹簧的长度为 ,单位长度的质量为单位长度的质量为 ,假定弹簧的变形,假定弹簧的变形与离固定点的距离与离固定点的距离 成正比,弹筑端点的位移设为成正比,弹筑端点的位移设为 。将。将微元长度微元长度 的动能在整个弹簧范围内积分,以计算弹簧的的动能在整个弹簧范围内积分,以计
9、算弹簧的动能动能 ,得到,得到22011 122 3lttxTdmxltml为弹簧质量为弹簧质量13etmm考虑弹簧质量系统的总动能考虑弹簧质量系统的总动能21123tTmmx13ntkmm等效质量等效质量lxdtTlEI 23332lfxl223223013133222 140llllTx dmxllml33140elmm33140nlkmm假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相同。同。设悬臂梁的长度为设悬臂梁的长度为 ,单位长度的质量为单位长度的质量为 ,抗弯刚度为,抗弯刚度为 ,其,其中中 和和 分别为
10、梁的弹性模量和截面二次矩。分别为梁的弹性模量和截面二次矩。EI为梁的质量为梁的质量等效质量等效质量系统的固有频率为:系统的固有频率为:33EIkl在实际的单自由度振动系统中通常包含有多个弹性元件和惯性元件,为方便在实际的单自由度振动系统中通常包含有多个弹性元件和惯性元件,为方便振动分析,可将该系统等效为一个由等效刚度和等效质量组成的单自由度振振动分析,可将该系统等效为一个由等效刚度和等效质量组成的单自由度振动系统。等效的方法有两种:动系统。等效的方法有两种:1)1)能量法能量法 2)2)定义法。定义法。平行串联、并联弹簧的等效刚度平行串联、并联弹簧的等效刚度平行串联、并联弹簧的等效刚度平行串联
11、、并联弹簧的等效刚度例例1 1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement.Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of 9280 10/GN mand has five effective turns,mean coil diameter 20Dcmand wire diameter 2dcm44933(0.02)(80 10)40,
12、000.0/88(0.2)(5)d GkN mD n33(40,000.0)120,000.0/eqkkN m例例2 2 A hoisting drum,carrying a steel wire ripe,is mounted at the end of a cantilever beam.Determine the equivalent spring constant of the system when the suspended length of the wire rope is lAssume that the net cross-sectional diameter of the
13、 wire rope is dand the Youngs modulus of the beam and the wire rope is E33333331()124bEIEEatkatbbb24rAEd Ekll33211144beqrblkkEatd Ek322334eqEat dkd blat斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度cosxFFFk 为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量cosx exxkx方向的力方向的位移2ecosxxFkkx例例1 1 To calculate equivalent stiffness in xyand directio
14、ns112ekkk34234ek kkkk222112253sinsinsinexeekkkk222112253coscoscoseyeekkkk例例1 1.The boom AB of the crane shown in Fig.1.27(a)is a uniform steel bar of length 10m and area of cross section 25002mm.A weight W is suspended while the crane is stationary.The cable CDEBF is made of steel and has a cross-se
15、ctional area of 1002mm.Neglecting the effect of the cable CDEB.Find the equivalent spring constant of the system in the vertical direction.2k2cos45xx1k1cos(90)xxA vertical displacement x of point B will cause the spring(boom)to deform by an amount(cable)to deform by an amount.222113102(3)(10)cos1351
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