排列组合的二十种解法.pdf

1、淘师港工作室 教教学学目目标标 1 . 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2 . 掌握解决排列组合问题的常用策略; 能运用解题策略解决简单的综合应用题。 提高学生解决问题分析 问题的能力 3 . 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复复习习巩巩固固 1 . 分类计数原理( 加法原理) 完成一件事，有类办法，在第 1类办法中有种不同的方法，在第 2类办法中有种不同的方 法， ，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法 2 . 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第 1步有种不同的方法，做第 2步有种不同的方法， ， 做第步有种不同的方法

2、，那么完成这件事共有： 种不同的方法 3 . 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件 解解决决排排列列组组合合综综合合性性问问题题的的一一般般过过程程如如下下: 1 . 认真审题弄清要做什么事 2 . 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。 3 . 确定每一步或每一类是排列问题( 有序) 还是组合( 无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素. 4 . 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌

3、握一些常用的解题策略 一一 特特殊殊元元素素和和特特殊殊位位置置优优先先策策略略 例 1 . 由 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题: 7种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二二 相相邻邻元元素素捆捆绑绑策策略略 例 2 . 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看

4、成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的 排法 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需 先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并 为一个元素, 再与其它元素一起作排列, 同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题: 某人射击 8枪，命中 4枪，4枪命中恰好

5、有 3枪连在一起的情形的不同种数为2 0 三三 不不相相邻邻问问题题插插空空策策略略 例 3 . 一个晚会的节目有 4个舞蹈, 2个相声, 3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少 种？ 解: 分两步进行第一步排 2个相声和 3个独唱共有种， 第二步将 4舞蹈插入第一步排好的 6个元素 中间包含首尾两个空位共有种不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有 种 练习题：某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个 新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为3 0 四四 定定序序问问题题倍倍缩缩空空位位插插入入策

6、策略略 例 4 . 7人排队, 其中甲乙丙 3人顺序一定共有多少不同的排法 解: ( 倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用 总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是： ( 空位法) 设想有 7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 思考: 可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有 1种排法, 再把其余 4四人依次插入共有方法 练习题: 1 0人身高各不相等, 排成前后排，每排 5人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 五五 重重排排问问

7、题题求求幂幂策策略略 例 5 . 把 6名实习生分配到 7个车间实习, 共有多少种不同的分法 解: 完成此事共分六步: 把第一名实习生分配到车间有 7种分法. 把第二名实习生分配到车间也有 7种 分依此类推, 由分步计数原理共有种不同的排法 练习题： 1 某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插 入原节目单中，那么不同插法的种数为 4 2 2 . 某 8层大楼一楼电梯上来 8名乘客人, 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法 六六 环环排排问问题题线线排排策策略略 例 6 . 8人围桌而坐, 共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在

8、于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆 形展成直线其余 7人共有（8 - 1 ） ！种排法即！ 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈1 2 0 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m个位置上的排列数为种 一般地, n 个不同元素作圆形排列, 共有( n - 1 ) ! 种排法. 如果从 n 个不同元素中取出 m个元素作圆 形排列共有 七七 多多排排问问题题直直排排策

9、策略略 例 7 . 8人排成前后两排, 每排 4人, 其中甲乙在前排, 丙在后排, 共有多少排法 解: 8人排前后两排, 相当于 8 人坐 8把椅子, 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有种, 再排后 4 个 位置上的特殊元素丙有种, 其余的 5人在 5个位置上任意排列有种, 则共有种 练习题：有两排座位，前排 1 1个座位，后排 1 2个座位，现安排 2人就座规定前排中间的 3个座位 不能坐，并且这 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 3 4 6 八八 排排列列组组合合混混合合问问题题先先选选后后排排策策略略 例 8 . 有 5个不同的小球, 装入 4个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有

10、多少不同的装法. 解: 第一步从 5个球中选出 2个组成复合元共有种方法. 再把 4个元素( 包含一个复合元素) 装入 4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有 练习题：一个班有 6名战士, 其中正副班长各 1人现从中选 4人完成四种不同的任务, 每人完成一种任 务, 且正副班长有且只有 1人参加, 则不同的选法有 1 9 2种 九九 小小集集团团问问题题先先整整体体后后局局部部策策略略 例 9 . 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1 , 在两个奇数之间, 这样的五位数 有多少个？ 解：把, , , 当作一个小集团与排队共有种排法

11、，再排小集团内部共有种排法， 由分步计数原理共有种排法. 练习题： . 计划展出1 0 幅不同的画, 其中1 幅水彩画, 幅油画, 幅国画, 排成一行陈列, 要求同一品种 的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2 . 5男生和女生站成一排照像, 男生相邻, 女生也相邻的排法有种 十十 元元素素相相同同问问题题隔隔板板策策略略 例 1 0 . 有 1 0个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？ 解：因为 1 0个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选 个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种

12、分法 共有种分法。 练习题： 1 1 0个相同的球装 5个盒中, 每盒至少一有多少装法？ 一般地, 元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑, 再分段研 解决排列组合混合问题, 先选后排是最基本的指导思想. 此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。 将 n 个相同的元素分成 m份（n ，m为正整数）, 每份至少一个元素, 可以用 m- 1块隔板， 插入 n 个元素排成一排的 n - 1个空隙中，所有分法数为 2.求这个方程组的自然数解的组数 十十一一 正正难难则则反反总总体体淘淘汰汰策策略略 例 1 1 . 从 0 , 1 , 2 , 3 ,

13、4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 1 0的偶数, 不同的 取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于 1 0的偶数很困难, 可用总体淘汰法。 这十个数字中有 5个偶数 5 个奇数, 所取的三个数含有 3个偶数的取法有, 只含有 1个偶数的取法有, 和为偶数的取 法共有。再淘汰和小于 1 0的偶数共 9种，符合条件的取法共有 练习题：我们班里有 4 3位同学, 从中任抽 5人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十十二二 平平均均分分组组问问题题除除法法策策略略 例 1 2 . 6本不同的书平均分成 3堆, 每堆 2本共有多

14、少分法？ 解: 分三步取书得种方法, 但这里出现重复计数的现象, 不妨记 6本书为 A B C D E F ，若第一 步 取 A B , 第 二 步 取 C D , 第 三 步 取 E F该 分 法 记 为 ( A B , C D , E F ) , 则中 还 有 ( A B , E F , C D ) , ( C D , A B , E F ) , ( C D , E F , A B ) ( E F , C D , A B ) , ( E F , A B , C D ) 共有种取法 , 而这些分法仅是 ( A B , C D , E F ) 一种分法, 故共有种分法。 练习题： 1 将 1

15、3个球队分成 3组, 一组 5个队, 其它两组 4个队, 有多少分法？（） 2 . 1 0名学生分成 3组, 其中一组 4人, 另两组 3人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的 分组方法 （1 5 4 0 ） 3 . 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排 2名，则不同的安排方案种数为_ _ _ _ _ _ （） 十十三三 合合理理分分类类与与分分步步策策略略 例 1 3 . 在一次演唱会上共 1 0 名演员, 其中 8 人能能唱歌, 5 人会跳舞, 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的 节目, 有多少选派方法 解：1 0演员中有 5人只

16、会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的 5人中没有人选上唱歌人员共有种, 只会唱的 5人中只有 1人选上唱歌人员 种, 只会唱的 5人中只有 2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。 练习题： 1 . 从 4名男生和 3名女生中选出 4人参加某个座谈会，若这 4人中必须既有男生又有女生，则不 同的选法共有 3 4 2 . 3成人 2小孩乘船游玩, 1号船最多乘 3人, 2号船最多乘 2人, 3号船只能乘 1人, 他们任选 2只船或 3只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这 3人共有多少乘船方法. （2 7 ） 本题还有如下分类标准： * 以 3个全能演员

17、是否选上唱歌人员为标准 * 以 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 * 以只会跳舞的 2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十十四四 构构造造模模型型策策略略 例 1 4 . 马路上有编号为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 的九只路灯, 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出 它的反面, 再从整体中淘汰. 平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况, 所以分组后要一定要除以( 为均分的 组数) 避免重复计数。 解含有约束条件的排列组合问题，可

18、按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 盏, 也不能关掉两端的 2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的 5个空隙中插入 3个不亮的灯有种 练习题： 某排共有 1 0个座位， 若 4人就坐， 每人左右两边都有空位， 那么不同的坐法有多少种？ （1 2 0 ） 十十五五 实实际际操操作作穷穷举举策策略略 例 1 5 . 设有编号 1 , 2 , 3 , 4 , 5的五个球和编号 1 , 2 , 3 , 4 , 5的五个盒子, 现将 5个球投入这五个盒子内, 要求每

19、个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法 解：从 5个球中取出 2个与盒子对号有种还剩下 3球 3盒序号不能对应，利用实际操作法， 如果剩下 3 , 4 , 5号球, 3 , 4 , 5号盒 3号球装 4号盒时，则 4 , 5号球有只有 1种装法，同理 3号 球装 5号盒时, 4 , 5号球有也只有 1种装法, 由分步计数原理有种 3号盒4号盒5号盒 练习题： 1 . 同一寝室 4人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的 分配方式有多少种？( 9 ) 2 . 给图中区域涂色, 要求相邻区 域不同色, 现有 4种可选颜色, 则

20、不同的着色方法有 7 2种 十十六六 分分解解与与合合成成策策略略 例 1 6 . 3 0 0 3 0能被多少个不同的偶数整除 分析：先把 3 0 0 3 0分解成质因数的乘积形式 3 0 0 3 0 = 2 3 57 1 1 1 3 依题意可知偶因数必先取 2 , 再从其余 5个因数中任取若干个组成乘积， 所有的偶因数为： 练习: 正方体的 8个顶点可连成多少对异面直线 解：我们先从 8个顶点中任取 4个顶点构成四体共有体共, 每个四面体有 3对异面直线, 正方体中的 8个顶点可连成对异面直线 十十七七 化化归归策策略略 例 1 7 . 2 5人排成 5 5方阵, 现从中选 3人, 要求 3

21、人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成 9人排成 3 3方阵, 现从中选 3人, 要求 3人不在同一行也不在同一列, 有多少选法. 这样每行必有 1人从其中的一行中选取 1人后, 把这人所在的行列都划掉， 如此 继续下去. 从 3 3方队中选 3人的方法有种。 再从 5 5方阵选出 3 3方阵便可解决 问题. 从 5 5 方队中选取 3行 3列有选法所以从 5 5 方阵选不在同一行也不在同一列 的 3人有选法。 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒 模型等，可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式

22、进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决, 然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到 问题的答案 , 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题， 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法， 从而进下一步解决原来的问题 练习题: 某城市的街区由 1 2个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A走到 B的最短路径有多少 种？() 十十八八 数数字字排排序序问问题题查查字字典典策策略略 例

23、1 8 由 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5六个数字可以组成多少个没有重复的比 3 2 4 1 0 5大的数？ 解: 练习: 用 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 7 1个数是 3 1 4 0 十十九九 树树图图策策略略 例 1 9 人相互传球, 由甲开始发球, 并作为第一次传球, 经过次传求后, 球仍回到甲的手中, 则不同的 传球方式有_ _ _ _ _ _ 练习: 分别编有 1 ，2 ，3 ，4 ，5号码的人与椅，其中 号人不坐 号椅（）的不同坐法有 多少种？ 二二十十 复复杂杂分分类类问问题题表表格格策策略略

24、例 2 0 有红、黄、兰色的球各 5只, 分别标有 A 、B 、C 、D 、E五个字母, 现从中取 5只, 要求各字母均 有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法 解: 小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点， 通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特， 数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件, 我们就可以选取不 同的技巧来解决问题. 对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单 化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。 数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应 从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个 数, 根据分类计数原理求出其总数。 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 红111223 黄123121 兰321211 取法 一些复杂的分类选取题, 要满足的条件比较多, 无从入手, 经常出现重复遗 漏的情况, 用表格法, 则分类明确, 能保证题中须满足的条件, 能达到好的效