数模最短路与最优问题课件.ppt
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1、1.图论问题的起源图论问题的起源 18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发,经每座桥一次且仅一次回到出发点?”SNAB七桥问题的分析 七桥问题看起来不难,很多人都想试一试,但没有人找到答案.后来有人写信告诉了当时的著名数学家欧拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本不可能.1876年,他证明了自己的猜想.Euler把南北两岸和四个岛抽象成四个点,将连接这些陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示,就得到如下一个简图:SNAB欧拉的结论欧拉的结论 欧拉指出欧拉指出:一个线图中存在通过每边一
2、次仅一次一个线图中存在通过每边一次仅一次回到出发点的路线的充要条件是回到出发点的路线的充要条件是:1)图是连通的图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接即任意两点可由图中的一些边连接起来起来;2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数与图中每一顶点相连的边必须是偶数.由此得出结论由此得出结论:七桥问题无解七桥问题无解.欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇之作之作,因此称欧拉为图论之父因此称欧拉为图论之父.4.图的作用图的作用 图是一种表示工具.改变问题的描述方式,往往是创造性的启发式解决问题的手段.一种描述方式就好比我们站在一个位置和角度观察目标,有
3、的东西被遮挡住了,但如果换一个位置和角度,原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的描述方式,可能会产生新思想.图论中的图提供了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时就像小学数学应用题中的线段图一样,能使我们用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和思考问题,激发我们的灵感.5.图的广泛应用图的广泛应用 图的应用是非常广泛的图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交通在工农业生产、交通运输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络运输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络,如河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、如河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、电话线网
4、、计算机通讯网、输电线网等等电话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有还有许多看不见的网络许多看不见的网络,如各种关系网如各种关系网,像状态转移关像状态转移关系、事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序系、事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序关系等等关系等等,这些网络都可以归结为图论的研究对这些网络都可以归结为图论的研究对象象图图.其中存在大量的网络优化问题需要我其中存在大量的网络优化问题需要我们解决们解决.还有象生产计划、投资计划、设备更新还有象生产计划、投资计划、设备更新等问题也可以转化为网络优化的问题等问题也可以转化为网络优化的问题.6.基本的网络优化问题 基本的网络优化问题有:最短路径
5、问题、最小生成树问题、最大流问题和最小费用问题.图论作为数学的一个分支,已经有有效的算法来解决这些问题.当然这当中的有些问题也可以建立线性规划的模型,但有时若变量特别多,约束也特别多,用线性规划的方法求解效率不高甚至不能在可忍受的时间内解决.而根据这些问题的特点,采用网络分析的方法去求解可能会非常有效.例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题就得到了解决
6、.数学建模与数学实验数学建模与数学实验主讲:陈六新最短路径与最优匹配问题最短路径与最优匹配问题实验目的实验目的实验内容实验内容2会用会用MATLAB软件求最短路与最优匹配软件求最短路与最优匹配1了解最短路与最优匹配的算法及其应用了解最短路与最优匹配的算法及其应用1图图 论论 的的 基基 本本 概概 念念2最最 短短 路路 问问 题题 及及 其其 算算 法法3最最 短短 路路 的的 应应 用用5建模案例:最优截断切割问题建模案例:最优截断切割问题6实验作业实验作业4最优匹配及算法最优匹配及算法 图图 论论 的的 基基 本本 概概 念念一、一、图图 的的 概概 念念1 1图的定义图的定义2 2顶点
7、的次数顶点的次数 3 3子图子图二、二、图图 的的 矩矩 阵阵 表表 示示1 1 关联矩阵关联矩阵2 2 邻接矩阵邻接矩阵返回返回定义定义有序三元组G=(V,E,)称为一个图图,如果:图的定义图的定义定义定义定义定义规定用记号和分别表示图的顶点数和边数.返回返回顶点的次数顶点的次数4()4dv5)(3)(2)(444vdvdvd例例 在一次聚会中,认识奇数个人的人数一定是偶数.返回返回子图子图返回返回关联矩阵关联矩阵注:假设图为无向简单图返回返回邻接矩阵邻接矩阵注:假设图为简单无向图无向赋权图的邻接矩阵可类似定义返回返回最最 短短 路路 问问 题题 及及 其其 算算 法法一、一、基基 本本 概
8、概 念念二、固二、固 定定 起起 点点 的的 最最 短短 路路三、每三、每 对对 顶顶 点点 之之 间间 的的 最最 短短 路路返回返回基基 本本 概概 念念通路44112544141vevevevevWvv道路4332264521141vevevevevevTvv路径4521141vevevPvv定义定义()任意两点均有路径的图称为连通图连通图()起点与终点重合的路径称为圈圈()连通而无圈的图称为树树返回返回固固 定定 起起 点点 的的 最最 短短 路路最短路是一条路径,且最短路的任一段也是最短路 假设在u0-v0的最短路中只取一条,则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树 因此,
9、可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路62341587算法步骤:算法步骤:(4)若S,转 2,否则,停止.TO MATLAB(road1)03064093021509701608120Wl uW u v()(,)1 2 34 5 6 7 8返回返回uuuuuuuu每每 对对 顶顶 点点 之之 间间 的的 最最 短短 路路1 1求距离矩阵的方法求距离矩阵的方法2 2求路径矩阵的方法求路径矩阵的方法3 3查找最短路路径的方法查找最短路路径的方法(一)算法的基本思想(一)算法的基本思想(三)算法步骤(三)算法步骤返回返回算法的基本思想算法的基本思想返回返回nnnnnnnnnnnnnnddd
10、ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddD654321666656463626155655545352514464544434241336353433323122625242322211161514131211算法原理算法原理 求距离矩阵的方法求距离矩阵的方法返回返回算法原理算法原理 求路径矩阵的方法求路径矩阵的方法)()0()0(ijrR,jrij)0(每求得一个 D(k)时,按下列方式产生相应的新的 R(k)否则若)1()1()1()1()(kkjkikkijkijkijdddrkr在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R 即当k被插入任何两
11、点间的最短路径时,被记录在R(k)中,依次求 时求得 ,可由 来查找任何点对之间最短路的路径)(D)(R返回返回)(Rvi j算法原理算法原理 查找最短路路径的方法查找最短路路径的方法若1)(prij,则点 p1是点 i 到点 j 的最短路的中间点.pkp2p1p3q1q2qm则由点i到j的最短路的路径为:jqqqpppimk,21,12返回返回算法步骤算法步骤例例 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径 TOMATLAB(road2(floyd)5333434331543243332344441,0646960243420256420793570RD951d,故从 v5到 v1的最短路为51
12、r所以从 v5到 v1的最短路径为:1435.返回返回一、一、可化为最短路问题的多阶段决策问题可化为最短路问题的多阶段决策问题二、二、选选 址址 问问 题题1 中心问题中心问题2 重心问题重心问题返回返回可化为最短路问题的多阶段决策问题可化为最短路问题的多阶段决策问题返回返回 选址问题选址问题-中心问题中心问题 TO MATLAB(road3(floyd)0753970246520243420696460D05.15.55.86475.10475.45.25.55.54032475.8730571065.42502545.24720375.5710530DS(v1)=10,S(v2)=7,S(
13、v3)=6,S(v4)=10,S(v5)=7,S(v6)=7,S(v7)=8.5S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.返回返回 选址问题选址问题-重心问题重心问题返回返回匹配匹配 匹配问题是运筹学的重要问题之一,也是图论研究的重点内容,它提供了解决“人员分配问题”和“最优分配问题”一种新的思想.定义定义1.设G=是无环图,ME(G),M,若M中任意两条边都不相邻,则称M是图是图G的一个匹配的一个匹配.若对图G的任何匹配M,均有M|M|,矛盾.()若M不是G的最大匹配,则存在匹配M,使得|M|M|,作H=MM,由定理1,H的任意边导出子图Q是下列两种情况之一:(1)交错偶圈:Q中每个结点度数为
14、2.(2)交错路.Q中除端点外,其余结点度数均为2.因为|M|M|,故|E(H)M|E(H)M|,因而H中必有一条起始于M且终止于M的连通分支P,故P是M可增广路,矛盾,所以命题正确.定义:NG(S):设S是图G的任意顶点子集,G中与S的顶点邻接的所有顶点的集合,称为S的邻集,记做NG(S).定理定理3(Hall定理,1935)设G是有二部划分(V1,V2)的二分图,则G含有饱和V1的每个顶点的匹配M的充要条件充要条件是,对SV1,有N(S)S.证明证明:()对SV1,匹配M将S中的每个顶点与N(S)中的顶点配对,所以N(S)S.()当对SV1,有N(S)S时.可按下述方法作出饱和V1的匹配M
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