数理金融学组合投资理论课件.ppt
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1、数理金融学数理金融学 第第2章章组合投资理论组合投资理论投资学投资学 第第5章章22.1 资产组合的收益与风险资产组合的收益与风险 一个岛国是旅游胜地,其有两家上市公一个岛国是旅游胜地,其有两家上市公司,一家为防晒品公司,一家为雨具公司,一家为防晒品公司,一家为雨具公司。岛国每年天气或为雨季或为旱季,司。岛国每年天气或为雨季或为旱季,概率各为概率各为0.5,两家公司在不同天气下的,两家公司在不同天气下的收益分别如下,请问你的投资策略。收益分别如下,请问你的投资策略。防晒品公司防晒品公司雨具公司雨具公司雨季雨季旱季旱季0%20%20%0%投资学投资学 第第5章章3资产组合(资产组合(Portfo
2、lio)的优点)的优点 对冲(对冲(hedging),也称为套期保值。投资),也称为套期保值。投资于补偿形式(收益负相关),使之相互抵于补偿形式(收益负相关),使之相互抵消风险的作用。消风险的作用。分散化(分散化(Diversification):必要条件收益):必要条件收益是不完全正相关,就能降低风险。是不完全正相关,就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。组合使投资者选择余地扩大。投资学投资学 第第5章章4 例如有例如有A、B两种股票,每种股票的涨或跌的概率两种股票,每种股票的涨或跌的概率都为都为50%,若只买其中一种,则就只有两种可能,若只买其中一种,则就只有两种可能,但是若买两种就形成
3、一个组合,这个组合中收益但是若买两种就形成一个组合,这个组合中收益的情况就至少有六种。的情况就至少有六种。涨,涨涨,涨 涨,跌涨,跌 涨涨 跌,涨跌,涨 跌,跌跌,跌 跌跌 涨涨 跌跌AB组合至少还包含非组合(即只选择一种股票),组合至少还包含非组合(即只选择一种股票),这表明投资者通过组合选择余地在扩大,从而使这表明投资者通过组合选择余地在扩大,从而使决策更加科学。决策更加科学。投资学投资学 第第5章章5 组合的收益组合的收益 假设组合的收益为假设组合的收益为rp,组合中包含,组合中包含n种证券,种证券,每种证券的收益为每种证券的收益为ri,它在组合中的权重是,它在组合中的权重是wi,则组合
4、的投资收益为则组合的投资收益为1111nnpi iiiiiniiErEwrw Erw()()其中投资学投资学 第第5章章6n222i 11,1,1nnnpiiijijijijij i ji jWWWww 组合的方差组合的方差221121 12 211222111222()()().()().()()().()pppnni ii iiin nnnnnnD rE rE rEwrEwrE wrw rw rwE rw E rw E rE w rE rw rE rw rE r证明:将平方项展开得到将平方项展开得到投资学投资学 第第5章章7211122222111,22111,1222()().()()(
5、)()(),()(nnnnnniiiijiijjiiji jnnniiijijiiji jnijiji jiiiiiiiiEw rE rw rE rw rE rwE rE rww E rE rrE rwwwwwE rE rE rE r ()jjijijrE r投资学投资学 第第5章章8根据概率论,对于任意的两个随机变量,总有下列等根据概率论,对于任意的两个随机变量,总有下列等式成立式成立22222222222()()()()()()2()()21,2)x yxyxyxyx yxyxyxyxyExyE xyExE xyE yE xE xE yE yExE xyE y 由于相关系数1则(组合的风险
6、变小投资学投资学 第第5章章91 12 21 12 21222222111122222122222222112212121222221122121222222221122331212232313132ii2,1()(),223222pxyppirwrw rxwr yw rwwwrwwrwwww wwww wiwwww ww ww ww 当时,令其中 则得当时3332i 11,1ijijij i jww 没有2投资学投资学 第第5章章10331,1333112233,1,1,112121313212123233131323212121313232322211,1()()()222,ijijiji
7、 jjjjjjjji jji jji jnnnpiiijijiiji jw ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww wi jnww w 同理,当时2211,1nnniiijijijiiji jww w 投资学投资学 第第5章章11总结总结 对于包含对于包含n个资产的组合个资产的组合p,其总收益的期望值和方,其总收益的期望值和方差分别为差分别为1npi iirwrTw r=n222Ti 11,1,1wwnnnpiiijijijijij i ji jwwwww11112121.=(,.,),=(,.,),nTTnnnnnw wwr rrwr其中,投资学投资学 第第5
8、章章12例例 题题 例例1:假设两个资产收益率的均值为:假设两个资产收益率的均值为0.12,0.15,其标准差为,其标准差为0.20和和0.18,占组合的投,占组合的投资比例分别是资比例分别是0.25和和0.75,两个资产协方差,两个资产协方差为为0.01,则组合收益的期望值的方差为,则组合收益的期望值的方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15prTw r22T20.25(0.20)0.01ww=(0.25,0.75)0.0244750.750.01(0.18)p投资学投资学 第第5章章1322T22222211w r(,.,)1.0111ww(,.,)(,.,)011Tppr
9、rrnnrnnnnnn =例例2:假设某组合包含:假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在种股票。投资者等额地将资金分配在上面,即每种股票占总投资的上面,即每种股票占总投资的1/n,每种股票的收益也是占,每种股票的收益也是占总收益的总收益的1/n。设若投资一种股票,其期望收益为。设若投资一种股票,其期望收益为r,方差为,方差为2,且这些股票之间,且这些股票之间两两不相关两两不相关,求组合的收益与方差。,求组合的收益与方差。投资学投资学 第第5章章14 组合的收益是各种证券收益的加权平均值,因组合的收益是各种证券收益的加权平均值,因此,它使组合的收益可能低于组合中收益最大此,它使组合的收
10、益可能低于组合中收益最大的证券,而高于收益最小的证券。的证券,而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关,则组合只要组合中的资产两两不完全正相关,则组合的风险就可以得到降低。的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同,则随着组合的风险降低的同时,益和风险相同,则随着组合的风险降低的同时,组合的收益等于各个资产的收益。组合的收益等于各个资产的收益。投资学投资学 第第5章章152.2 组合投资理论概述组合投资理论概述 现代投资理论的产生以现代投资理论的产生以1952年年3月月Harry.M.Markowitz发发表
11、的表的投资组合选择投资组合选择为标志为标志 1962年,年,Willian Sharpe对资产组合模型进行简化,提出对资产组合模型进行简化,提出了资本资产定价模型(了资本资产定价模型(Capital asset pricing model,CAPM)1976年,年,Stephen Ross提出了替代提出了替代CAPM的套利定价模型的套利定价模型(Arbitrage pricing theory,APT)。)。上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣,地按照定价理论的问题也发生了兴趣,1965年,年,Euge
12、ne Fama在其博士论文中提出了有效市场假说(在其博士论文中提出了有效市场假说(Efficient market hypothesis,EMH)投资学投资学 第第5章章162.3 资产组合投资理论资产组合投资理论 基本假设基本假设 (1)投资者仅仅以期望收益率和方差(标)投资者仅仅以期望收益率和方差(标准差)来评价资产组合(准差)来评价资产组合(Portfolio)(2)投资者是不知足的和风险厌恶的,即)投资者是不知足的和风险厌恶的,即投资者是理性的。投资者是理性的。(3)投资者的投资为单一投资期,多期投)投资者的投资为单一投资期,多期投资是单期投资的不断重复。资是单期投资的不断重复。(4)
13、投资者希望持有有效资产组合。)投资者希望持有有效资产组合。投资学投资学 第第5章章172.3.1 组合的可行集和有效集组合的可行集和有效集 可行集与有效集可行集与有效集可行集:资产组合的机会集合(可行集:资产组合的机会集合(Portfolio opportunity set),即资产可构造出的所有组合),即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。的期望收益和方差。有效组合(有效组合(Efficient portfolio):给定风险水):给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个每一个
14、组合代表一个点。点。有效集(有效集(Efficient set):又称为有效边界:又称为有效边界(Efficient frontier),它是有效组合的集合它是有效组合的集合(点的连线)。(点的连线)。投资学投资学 第第5章章18两种风险资产构成的组合的风险与收益两种风险资产构成的组合的风险与收益 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数,则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望数,则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为收益和方差为1 12 22222211221212222211221212121211 1122
15、22211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprw rw rwww wwww wwwrww rw rwwwww 由于,则由此就构成了资产在给定条件下的可行集!由此就构成了资产在给定条件下的可行集!投资学投资学 第第5章章19 注意到两种资产的相关系数为注意到两种资产的相关系数为112121 因此,分别在因此,分别在12121 1和和12121 1时,可以时,可以得到资产组合的可行集的得到资产组合的可行集的顶部顶部边界和边界和底部底部边界边界。其他所有的可能情况,在这两个边界之中。其他所有的可能情况,在这两个边界之中。投资学投资学 第第5章章20组合的风险收益二维表示组合
16、的风险收益二维表示.收益收益rp风险风险p2.3.2 两种完全正相关资产的可行集两种完全正相关资产的可行集投资学投资学 第第5章章21两种资产完全正相关,两种资产完全正相关,即即12 1,则有,则有p1111211 1121p111p221122()(1)()(1)10pppwwwr wwrw rwrrwrrrr当 时,当 时,所以,其可行集连接两点(,)和(,)的直线。投资学投资学 第第5章章221111212121 112212121221212221212()(1)()/()()(1)()/()(1()/()pppppppwwwwrwrw rrrrrrrr 则 从而故命题成立,证毕。命题
17、命题2.1:完全正相关的两种资产构成的可行:完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。集是一条直线。证明:由资产组合的计算公式可得证明:由资产组合的计算公式可得投资学投资学 第第5章章23两种资产组合(完全正相关),当权重两种资产组合(完全正相关),当权重w1从从1减少到减少到0时可以得到一条直线,该直线就构成时可以得到一条直线,该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集(了两种资产完全正相关的可行集(假定不允许假定不允许买空卖空买空卖空)。)。收益收益 Erp风险风险p11(,)r22(,)r投资学投资学 第第5章章242.3.3 两种完全负相关资产的可行集两种完全负相关资产的可行集 两种资
18、产完全负相关,即两种资产完全负相关,即12=-1,则有,则有2222p111121112111211 11221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)pwwwwwwwrww rwrwwwwwwwww=当时,当时,=当时,=投资学投资学 第第5章章25命题命题2.2:完全负相关的两种资产构成的可行集是两:完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线,其截距相同,斜率异号。条直线,其截距相同,斜率异号。证明:证明:2112111121()(1)()ppwwwwwf当时,则可以得到,从而221212121212221212()(1)p
19、pppprrrrrrrr投资学投资学 第第5章章262112112111212221212,()(1)()ppppwwwwrrrrrr 同理可证当时,则命题成立,证毕。投资学投资学 第第5章章27 两种证券完全负相关的图示两种证券完全负相关的图示收益收益rp风险风险p122212r rr 22(,)r11(,)r投资学投资学 第第5章章282.3.4 两种不完全相关的风险资产的组两种不完全相关的风险资产的组合的可行集合的可行集11 1122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1pppr wwrw rwwwwwwww 当1时尤其当 时这是一条二
20、次曲线,事实上,当1时,可行集都是二次曲线。投资学投资学 第第5章章29总结:在各种相关系数下、两种风险资产总结:在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集构成的可行集收益收益Erp风险风险p=1=1=0=0=-1=-111(,)r22(,)r122212r rr 投资学投资学 第第5章章301212121212121111 由图可见,可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的减小,弯曲程度增加;当 时,呈现折线状,也就是弯曲度最大;当 时,弯曲度最小,也就是没有弯曲,则为一条直线;当,就介于直线和折线之间,成为平滑的曲线,而且越小越弯曲。投资学投资学 第第5章章313种风险资产的组合二维表示种风
21、险资产的组合二维表示 一般地,当资产数量增加时,要保证资产之间两一般地,当资产数量增加时,要保证资产之间两两完全正(负)相关是不可能的,因此,一般假两完全正(负)相关是不可能的,因此,一般假设两种资产之间是不完全相关(一般形态)。设两种资产之间是不完全相关(一般形态)。收益收益rp风险风险p1234投资学投资学 第第5章章32 类似于类似于3种资产构成组合的算法,我们可以得到一种资产构成组合的算法,我们可以得到一个月牙型的区域为个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。种资产构成的组合的可行集。收益收益rp风险风险pn种风险资产的组合二维表示种风险资产的组合二维表示投资学投资学 第第5章章3
22、3总结:可行集的两个性质总结:可行集的两个性质1.在在n种资产中,如果至少存在三项资种资产中,如果至少存在三项资产彼此不完全相关,则可行集合将是产彼此不完全相关,则可行集合将是一个二维的实体区域一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。于两项资产连线的左侧。为什么?为什么?投资学投资学 第第5章章34收益收益rp风险风险p不可能的可行集不可能的可行集AB投资学投资学 第第5章章352.3.5 风险资产组合的有效集风险资产组合的有效集v在可行集中,有一部分投资组合从风险水平和收在可行
23、集中,有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价,会明显地优于另外一益水平这两个角度来评价,会明显地优于另外一些投资组合,些投资组合,其特点是在同种风险水平的情况下,其特点是在同种风险水平的情况下,提供最大预期收益率;在同种收益水平的情况下,提供最大预期收益率;在同种收益水平的情况下,提供最小风险。我们把满足这两个条件(提供最小风险。我们把满足这两个条件(均方准均方准则)则)的资产组合,称之为有效资产组合的资产组合,称之为有效资产组合;v由所有有效资产组合构成的集合,称之为有效集由所有有效资产组合构成的集合,称之为有效集或有效边界或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集。投资者的最
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