控制系统根轨迹解析课件.ppt

1、2022-8-12控制系统仿真控制系统仿真MATLAB基础基础基于基于MATLAB的的控制系统仿真控制系统仿真MATLAB的数学运算的数学运算MATLAB的程序设计的程序设计MATLAB的图形图像的图形图像MATLAB的基本命令的基本命令交互式仿真工具交互式仿真工具simulink系统的时域分析系统的时域分析频域分析频域分析根轨迹分析根轨迹分析使用使用MATLAB建模建模控制系统的校正与综合控制系统的校正与综合根轨迹分析根轨迹分析系统的时域分析系统的时域分析)()(assKsG例例1：已知单位负反馈的开环传递函数如下，：已知单位负反馈的开环传递函数如下，分析开环参数分析开环参数K的变化对系统的

2、影响。（简单起见设的变化对系统的影响。（简单起见设a=4）系统没有开环零点，两个开环极点分别为系统没有开环零点，两个开环极点分别为s=0和和s=-4，闭环传递函数、系统特征方程为，闭环传递函数、系统特征方程为KssKsGsGs4)(1)()(2042KssKs422,1系统特征方程的根系统特征方程的根(系统闭环极点系统闭环极点)为为1.K=0时，两个特征根为时，两个特征根为s=0和和s=-4，开环极点。，开环极点。2.0K4时，系统的两个根离开实轴，其实部保持常数时，系统的两个根离开实轴，其实部保持常数-2，对应于系统欠阻尼状态。，对应于系统欠阻尼状态。K值越高振荡频率越高，系统振荡加剧。值越

3、高振荡频率越高，系统振荡加剧。K=00K4栅格：等阻尼系数和等自然振荡角频栅格：等阻尼系数和等自然振荡角频率率 根轨迹根轨迹是指当开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统是指当开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在特征方程的根在S平面上的轨迹。通常这一参数选作开环系统的增益平面上的轨迹。通常这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。的极点。如何根据开环系统的传递函数求闭环系统根轨迹，并确定增益如何根据开环系统的传递函数求闭环系统根轨迹，并确定增益 根轨迹法根轨迹

4、法由开环传递函数直接寻求闭环特征根轨迹的变化规律，由开环传递函数直接寻求闭环特征根轨迹的变化规律，而无需求取高阶系统特征根的方法。是一种由分析开环系统零、极而无需求取高阶系统特征根的方法。是一种由分析开环系统零、极点在复平面上的分布出发，用图解表示特征方程的根与开环系统某点在复平面上的分布出发，用图解表示特征方程的根与开环系统某个参数（增益个参数（增益K）之间全部关系的方法。利用此方法可以在参数确）之间全部关系的方法。利用此方法可以在参数确定的情况下，分析系统的性能；在系统及性能指标已知的情况下，定的情况下，分析系统的性能；在系统及性能指标已知的情况下，确定系统的参数。确定系统的参数。分析上例

5、所示的典型二阶系统，分析上例所示的典型二阶系统，1.K在在0正无穷整个变化范围内取值，特征根均位于左半正无穷整个变化范围内取值，特征根均位于左半S平面，平面，K取任何值系取任何值系统均稳定。统均稳定。2.根轨迹的起点是开环极点，开环系统有一个位于坐标原点的极点，阶跃信号作根轨迹的起点是开环极点，开环系统有一个位于坐标原点的极点，阶跃信号作用下系统输出的稳态误差为用下系统输出的稳态误差为0。3.K的增加使系统阻尼系数减小，的增加使系统阻尼系数减小，阶跃响应由过阻尼到阶跃响应由过阻尼到临界阻尼，再到临界阻尼，再到欠阻尼欠阻尼状状态。态。4.对于要求的系统性能，将其变换为期望的闭环极点位置，由根轨迹

6、图可以确定对于要求的系统性能，将其变换为期望的闭环极点位置，由根轨迹图可以确定出对应的参数取值。出对应的参数取值。K=0K=4)4()(ssKsG1、判断稳定性、判断稳定性 如果当开环增益如果当开环增益K从零变化到无穷大时，图中的根轨从零变化到无穷大时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半迹不会越过虚轴进入右半S平面上，因此该环系统对所有的增益平面上，因此该环系统对所有的增益K都都是稳定的。而根轨迹越过虚轴进入右半是稳定的。而根轨迹越过虚轴进入右半S平面，则其交点的平面，则其交点的K值为临值为临界稳定开环增益。界稳定开环增益。2、确定系统参数确定系统参数 对于要求的系统性能，将其变换为期望的闭环极

7、对于要求的系统性能，将其变换为期望的闭环极点位置，由根轨迹图可以确定出对应的参数取值。点位置，由根轨迹图可以确定出对应的参数取值。1、根轨迹图的规则、根轨迹图的规则 1)连续性连续性 增益增益K连续变化时，特征方程的根也连续变化，根轨迹连续变化时，特征方程的根也连续变化，根轨迹是复平面上连续变化的直线或曲线；是复平面上连续变化的直线或曲线；2)对称性对称性 特征方程的根为实数或共轭复数，根轨迹对称于实轴；特征方程的根为实数或共轭复数，根轨迹对称于实轴；3)根轨迹支数根轨迹支数 n阶系统有阶系统有n个根，有个根，有n支根轨迹，都将随支根轨迹，都将随K的变化的变化而变化，；而变化，；4)根轨迹的起

8、点和终点根轨迹的起点和终点 分别为系统的开环极点和系统开环零点。分别为系统的开环极点和系统开环零点。通常将通常将系统的开环极点和系统开环零点分别在根轨迹图上标记为系统的开环极点和系统开环零点分别在根轨迹图上标记为和和；5)根轨迹和虚轴的交点根轨迹和虚轴的交点 系统处于临界稳定状态，使系统稳定的临系统处于临界稳定状态，使系统稳定的临界参数取值为临界增益界参数取值为临界增益K。根轨迹是闭环特征方程的根，根轨迹是闭环特征方程的根，K=0时根为时根为n个极点；个极点；K=无穷大时根为无穷大时根为m个开环零点。个开环零点。n=m时，根轨迹开始于时，根轨迹开始于n个极点终止于个极点终止于m个个零点；零点；

9、nm时，时，n支轨迹开始于支轨迹开始于n个极点并终止于个极点并终止于m个零点，有个零点，有n-m支终止于无穷远支终止于无穷远处处nm时，时，m支轨迹终止于支轨迹终止于m个零点，其中有个零点，其中有n支开始于支开始于n个极点，有个极点，有m-n支来支来自于无穷远处（除系统特征方程变形等特殊情况外较少存在）自于无穷远处（除系统特征方程变形等特殊情况外较少存在）1、零极点图的绘制、零极点图的绘制（1）pzmap(sys)直接在直接在S平面上绘制零极点位置平面上绘制零极点位置（2）p,z=pzmap(sys)不绘图，通过函数的返回值得到相应的零、不绘图，通过函数的返回值得到相应的零、极点极点2、根轨迹

10、图的绘制、根轨迹图的绘制（1）rlocus(sys)绘制绘制SISO系统的根轨迹曲线系统的根轨迹曲线（2）rlocus(sys,k)绘制增益为绘制增益为k时的闭环极点时的闭环极点（3）rlocus(sys1,r,sys2,y:,)在同一复平面上绘制多个在同一复平面上绘制多个SISO系统的根轨迹，可以用颜色及线段区分系统的根轨迹，可以用颜色及线段区分（4）r,k=rlocus(sys)或或r=rlocus(sys,k)不绘图，通过函数的不绘图，通过函数的返回值得到闭环系统特征方程的根矩阵返回值得到闭环系统特征方程的根矩阵r，开环增益，开环增益k。3、根轨迹对应增益、根轨迹对应增益（1）k,plo

11、es=rlocfind(sys)在对象根轨迹图中显示光标，记录在对象根轨迹图中显示光标，记录由用户选择点所对应的增益和极点并记录于由用户选择点所对应的增益和极点并记录于k,ploes。（2）k,ploes=rlocfind(sys,p)指定要得到增益的根向量指定要得到增益的根向量p，得到，得到该根对应的增益和其他根。该根对应的增益和其他根。4、根轨迹网格（等阻尼系数和等自然振荡角频率线）、根轨迹网格（等阻尼系数和等自然振荡角频率线）（1）sgrid()在连续系统的根轨迹图上绘出网格线，由等阻尼系数和在连续系统的根轨迹图上绘出网格线，由等阻尼系数和等自然振荡角频率线组成，阻尼线范围从等自然振荡角

12、频率线组成，阻尼线范围从0到到1，间隔为，间隔为0.1；自然振；自然振荡角频率线范围从荡角频率线范围从0到到10，间隔为，间隔为1rad/s。注意在绘制前必须有根轨。注意在绘制前必须有根轨迹图。迹图。（2）sgrid(z,wn)可以指定阻尼系数和自然振荡角频率进行绘制。可以指定阻尼系数和自然振荡角频率进行绘制。例例2：单位：单位负反馈系统的负反馈系统的开环传递函数如下，开环传递函数如下，绘制绘制根轨迹图，并求出根轨迹图，并求出与实轴分离点、虚轴的交点及对应的增益。与实轴分离点、虚轴的交点及对应的增益。)22)(73.2()(2ssssKsGnum=1den=conv(1 0,conv(1 2.

13、73,1 2 2)rlocus(num,den)%绘制根轨迹图绘制根轨迹图k,p=rlocfind(num,den)%给出指定点所对应的增益和极点给出指定点所对应的增益和极点MATLAB操作演示操作演示例例3、系统的系统的开环传递函数如下，开环传递函数如下，绘制绘制根轨迹图，寻找系统临界稳定根轨迹图，寻找系统临界稳定时的增益时的增益K，并绘制系统的脉冲响应进行验证。，并绘制系统的脉冲响应进行验证。)106)(1()(2sssKsGnum=1den=conv(1 1,1 6 10)rlocus(num,den)%绘制根轨迹图绘制根轨迹图gridk,p=rlocfind(num,den)%给出给出

14、指定点所对应的增益和极点指定点所对应的增益和极点%绘制不同绘制不同k值下的脉冲响应曲线值下的脉冲响应曲线k=50 100 101 102 103 200n=length(k)den=conv(1 1,1 6 10)i=1for T=k num=T num1,den1=feedback(num,den,1,1)subplot(1,n,i);impulse(num1,den1);title(strcat(k=,num2str(T);i=i+1end脉冲响应验证演示脉冲响应验证演示例例4：已知带有延迟环节的：已知带有延迟环节的系统系统开环传递函数如下，开环传递函数如下，绘制绘制根轨迹图，并选择系统稳

15、定时给出的根轨迹增益，最后根轨迹图，并选择系统稳定时给出的根轨迹增益，最后求系统求系统k=0.5时的阶跃响应曲线。时的阶跃响应曲线。sesssKsG)15.0)(1()(num=1den=conv(1 0,conv(1 1,0.5 1)sys1=tf(num,den)num1,den1=pade(1,3)%延延时环节时环节sys=sys1*tf(num1,den1)rlocus(sys)%绘制根轨迹图绘制根轨迹图gridk,p=rlocfind(sys)%给出指给出指定点所对应的增益和极点定点所对应的增益和极点k=0.5 70 200n=length(k)denk=conv(1 0,conv(

16、1 1,0.5 1)i=1for T=k numk=T num1,den1=pade(1,3)%延时环节延时环节 num,den=series(numk,denk,num1,den1)nums,dens=feedback(num,den,1,1)subplot(1,n,i);impulse(nums,dens);i=i+1end1、附加开环零点对根轨迹的影响、附加开环零点对根轨迹的影响 例例5：设二阶：设二阶系统的系统的开环传递函数如下，增加开环零点开环传递函数如下，增加开环零点s=-z、分析、分析增加该零点后对系统的影响增加该零点后对系统的影响。)22()()22()(22ssszsKsss

17、KsGi=1;den=conv(1 0,1 2 2);for z=realmax 3 2 0%取一组零点值取一组零点值(最大可用正实数最大可用正实数1.7977e+308)num=1 z;subplot(2,2,i);%使用子图功能使用子图功能 rlocus(num,den);%绘制根轨迹图绘制根轨迹图 title(strcat(Root Locus z=,num2str(z);i=i+1%设定被描画的子图位置设定被描画的子图位置endZ=正正无穷无穷Z=3Z=2Z=0增加零点使根轨迹左移，渐近线夹角增大，系统的稳定性提高，增加零点使根轨迹左移，渐近线夹角增大，系统的稳定性提高，性能变好。常使

18、用增加零点的方式改善系统的暂态性能。性能变好。常使用增加零点的方式改善系统的暂态性能。所附加的零点越靠近坐标原点，其作用也越强。所附加的零点越靠近坐标原点，其作用也越强。)22()()22()(22ssszsKsssKsGi=1;den=conv(1 0,1 2 2);for z=8 3 2 0%增加不同零点用较大正实数代替增加不同零点用较大正实数代替 num=1 z;%分子系数的设定分子系数的设定 num1,den1=cloop(num,den);%求单位负反馈求单位负反馈 subplot(2,2,i);%使用子图功能使用子图功能 impulse(num1,den1);%绘制脉冲响应绘制脉冲

19、响应 title(strcat(Root Locus z=,num2str(z);%axis(0 20-0.5 1)%设置绘图区坐标比例设置绘图区坐标比例 i=i+1 end绘制脉冲响应曲线，分析增加零点后对系统的影响。绘制脉冲响应曲线，分析增加零点后对系统的影响。2、附加开环极点对根轨迹的影响、附加开环极点对根轨迹的影响 例例6：设：设系统的系统的开环传递函数如下，增加开环极点开环传递函数如下，增加开环极点s=-p、分析分析增加该极点后对系统的影响增加该极点后对系统的影响。)(2()2()(psssKssKsGi=1;num=1;for p=4 0%设置所增加的极点设置所增加的极点 den=

20、conv(1 0,conv(1 2,1 p)%定义传递函数分子系数定义传递函数分子系数 subplot(1,2,i);%使用子图功能使用子图功能 rlocus(num,den);%绘制根轨迹绘制根轨迹 title(strcat(Root Locus p=,num2str(p);i=i+1;%指定子图位置指定子图位置endp=4p=0增加极点后系统阶次变高，使根轨迹支数增加，增加极点后系统阶次变高，使根轨迹支数增加，渐近线夹角减小，系统的稳定性变差，性能变坏。渐近线夹角减小，系统的稳定性变差，性能变坏。所附加的极点越靠近坐标原点，其作用也越强。所附加的极点越靠近坐标原点，其作用也越强。i=1;n

21、um=1;%定义参数定义参数Tp=8 4 0;%设定增加的极点设定增加的极点n=length(Tp)%求增加的极点个数求增加的极点个数for p=Tp%极点个数循环极点个数循环 den=conv(1 0,conv(1 2,1 p)%定义分母系数定义分母系数 num1,den1=cloop(num,den);%求闭环系统系数求闭环系统系数 subplot(1,n,i);%使用子图功能使用子图功能 impulse(num1,den1);%绘制脉冲响应曲线绘制脉冲响应曲线 title(strcat(Root Locus p=,num2str(p);axis(0 25-0.5 1)%设置坐标设置坐标

22、i=i+1;end绘制脉冲响应曲线，分析增加不同极点后对系统的影响。绘制脉冲响应曲线，分析增加不同极点后对系统的影响。)(2()2()(psssKssKsG3、同时附加开环极点和零点对根轨迹的影响、同时附加开环极点和零点对根轨迹的影响 例例7：设：设系统的系统的开环传递函数如下，同时增加开环极点和零点开环传递函数如下，同时增加开环极点和零点s=-p、s=-z。分析比较不同分析比较不同p、z值下，值下，增加零极点后对系统的影响增加零极点后对系统的影响。1)zp;3)z,p值比较相近值比较相近;4)p值远大于值远大于z值（值（5倍以上）倍以上）)(4)(2()()4)(2()(psssszsKss

23、sKsG%暂定零点暂定零点z=1,%分别取分别取p=z,pz,pz,pz,pz,pz绘制根轨迹图绘制根轨迹图i=1;num=1;z=1;for p=1 5 2 0 num=1 z;den=conv(1 0,conv(1 2,conv(1 4,1 p)num1,den1=cloop(num,den);subplot(2,2,i);impulse(num1,den1);title(strcat(Root Locus z=,num2str(z),p=,num2str(p);axis(0 30-0.3 0.15);i=i+1end2）绘制脉冲响应曲线，分析增加不同零极点后对系统的影响。）绘制脉冲响应曲

24、线，分析增加不同零极点后对系统的影响。)(4)(2()()4)(2()(psssszsKsssKsGz=p=1z=1,p=5z=1,p=0z=1,p=21、若已知闭环零极点分布，则其系统特性就可以唯一确定，对于给定的输、若已知闭环零极点分布，则其系统特性就可以唯一确定，对于给定的输入，可以求出其输出响应和性能指标；入，可以求出其输出响应和性能指标；2、若极点均分布于、若极点均分布于S平面虚轴左侧，则系统是稳定的；平面虚轴左侧，则系统是稳定的；3、稳定系统的特性主要取决于、稳定系统的特性主要取决于主导极点主导极点的位置，该极点与虚轴的距离是其的位置，该极点与虚轴的距离是其他零点与虚轴距离的他零点

25、与虚轴距离的5倍以上；倍以上；4、在主导极点的基础上，、在主导极点的基础上，增加极点增加极点，系统响应速度降低、超调量减少，系统响应速度降低、超调量减少5、在主导极点的基础上，、在主导极点的基础上，增加零点增加零点，系统响应速度增高、超调量增大，系统响应速度增高、超调量增大增加零极点的作用随该点与虚轴的距离减小而增强增加零极点的作用随该点与虚轴的距离减小而增强6、一对、一对靠近的零极点靠近的零极点（零极点与虚轴的距离是该对零极点之间距离的（零极点与虚轴的距离是该对零极点之间距离的10倍倍以上）的作用可以忽略以上）的作用可以忽略闭环系统的稳定性决定于闭环极点闭环系统的稳定性决定于闭环极点Pi，极

26、点相对于虚轴的位置决定了系统的暂态性能，极点相对于虚轴的位置决定了系统的暂态性能1、左右分布决定终值：、左右分布决定终值：Pi在虚轴左侧暂态分量最终衰减到在虚轴左侧暂态分量最终衰减到0；Pi在右侧则暂态分在右侧则暂态分量一定发散；量一定发散；Pi在虚轴上则暂态分量等幅振荡；在虚轴上则暂态分量等幅振荡；2、虚实分布决定振型：、虚实分布决定振型：Pi在实轴暂态分量非周期，在实轴暂态分量非周期，Pi在虚轴暂态分量周期；在虚轴暂态分量周期；3、远近分布决定快慢：、远近分布决定快慢：Pi距虚轴越远衰减越快距虚轴越远衰减越快闭环极点闭环极点的共轭的共轭jMATLAB提供的系统根轨迹分析与设计的图形界面工具

27、，可以利用它很方提供的系统根轨迹分析与设计的图形界面工具，可以利用它很方便的绘制系统的根轨迹，便的绘制系统的根轨迹，并可以对系统进行校正并可以对系统进行校正。步骤：步骤：1.建立系统的数学模型建立系统的数学模型sys2.在命令窗口中输入：在命令窗口中输入：rltool(sys)3.在菜单中选中：在菜单中选中：import 在工作空间或在工作空间或Mat-file中选择系统导入系统模型中选择系统导入系统模型4.点击选择分析选项，操作功能丰富的菜单点击选择分析选项，操作功能丰富的菜单5.配置零极点，实现对系统的校正设计配置零极点，实现对系统的校正设计根轨迹编辑器根轨迹编辑器根轨迹设计界面根轨迹设计

28、界面C：补偿器描述：补偿器描述F：前置滤波器：前置滤波器H：反馈环节：反馈环节G：被控对象：被控对象rltool操作演示操作演示num=1;den=conv(1 0,1 2 2);sys=tf(num,den)例例8、设设系统的系统的开环传递函数如下，使用开环传递函数如下，使用rltool生成根轨迹分析图形界面，生成根轨迹分析图形界面，试增加零点或极点并判断增加试增加零点或极点并判断增加零点或极点后对系统的影响零点或极点后对系统的影响。)22()()22()(22ssszsKsssKsGrltool示例演示示例演示例例9：单位负反馈：单位负反馈系统的系统的开环传递函数，开环传递函数，1）画出系

29、统的根轨迹；）画出系统的根轨迹；2）确定使系统稳定的增益）确定使系统稳定的增益K3）分析系统的阶跃响应性能；）分析系统的阶跃响应性能；4）利用）利用rltool对系统性能进行分析对系统性能进行分析)4)(1()1()(ssssKsG主要命令：主要命令：num=1 1;den=conv(1 0,conv(1-1,1 4);sys=tf(num,den)rlocus(num,den);k,p=rlocfind(num,den)%给出指定点所对应的增益和极点给出指定点所对应的增益和极点k=0.5 70 200%根据求得的临界根据求得的临界k值设定一组增益值值设定一组增益值Knums,dens=fee

30、dback(num,den,1,1)%求系统的单位负反馈求系统的单位负反馈impulse(nums,dens);step(nums,dens)%求响应曲线求响应曲线title(strcat(k=,num2str(k);%设置标题设置标题rltool(sys)%启动启动rltool工具进行分析工具进行分析1、建立系统模型、建立系统模型2、绘制根轨迹图、绘制根轨迹图3、找出临界增益值、找出临界增益值K4、绘制不同增益值、绘制不同增益值K情况下的阶跃响应曲线情况下的阶跃响应曲线5、启动、启动rltool图形界面工具进行分析图形界面工具进行分析课堂练习题：课堂练习题：1、单位、单位负反馈系统的负反馈系

31、统的开环传递函数如下，开环传递函数如下，绘制不同条件下的绘制不同条件下的根轨迹图，并分析结果。根轨迹图，并分析结果。1)a=10,2)a=9,3)a=8,4)a=3)()1()(2asssKsG2、单位、单位负反馈系统的负反馈系统的开环传递函数如下，开环传递函数如下，绘制绘制根轨迹图，并求出当根轨迹图，并求出当系统闭环极点系统闭环极点p=-0.707,-2.6时，系统所对应的增益时，系统所对应的增益K。k,ploes=rlocfind(sys,-0.707,-2.6)1()3)(2()(ssssKsG课堂练习题：课堂练习题：3、单位、单位负反馈系统的负反馈系统的开环传递函数如下，开环传递函数如下，1）绘制不同条件下的绘制不同条件下的根轨迹图根轨迹图2）确定使系统稳定的增益）确定使系统稳定的增益K3）绘制响应曲线进行验证）绘制响应曲线进行验证)52)(8)(4()2()(2ssssssKsG