数学:《平面几何中的向量方法》(新人教A版必修)课件.ppt
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1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。122 1abx y-x y0(b0)向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题,包括相似问
2、题,常证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的条件用向量平行(共线)的条件 ab .(2)证明垂直问题证明垂直问题,常用向量垂直的条件常用向量垂直的条件ab .1212a b0 x xy y0.利用夹角公式利用夹角公式 2 21 12 22 21 12 2)y y-(y(y+)x x-(x(x (3)求夹角问题求夹角问题 ,(4)求线段的长度,可以用向量的线性运算,求线段的长度,可以用向量的线性运算,向量的模向量的模|a|=或或|AB|=|AB|=.121222221122x xy ya bcosa bxyxy 2a aa 22axy探究(一):探究(一):推断线段长度关系推断线
3、段长度关系 思考思考1 1:如图,在平行四边形如图,在平行四边形ABCDABCD中,已中,已知知AB=2AB=2,AD=1AD=1,BD=2BD=2,那么对角线,那么对角线ACAC的的长是否确定?长是否确定?A AB BC CD DA Cuuu r=a+b,=a-b D Buuu r思考思考2 2:设向量设向量 a,b,则向量则向量 等于什么?向量等于什么?向量 等于什么?等于什么?A B=uuu rA D=uuu rA Cuuu rD Buuu r思考思考3 3:AB=2AB=2,AD=1AD=1,BD=2BD=2,用向量语言,用向量语言怎样表述?怎样表述?思考思考4 4:利用利用 ,若求,
4、若求 需要解决什么问题?需要解决什么问题?22|()A CA C=uuuu ruuu r|A Cuuu rA AB BC CD Dab1,|62a bA C=uuu rv v思考思考5 5:利用利用|a|=2|=2,|b|=1|=1,|ab|=2|=2,如何求如何求ab?等于多少?等于多少?|A Cuuu r|a|=2|=2,|b|=1|=1,|a-b|=2.|=2.思考思考6 6:根据上述思路,你能推断平行四根据上述思路,你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗?度之间具有什么关系吗?平行四边形两条对角线长的平方和等于平行四边形两
5、条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍两条邻边长的平方和的两倍.思考思考7 7:如果不用向量方法,你能证明上如果不用向量方法,你能证明上述结论吗?述结论吗?例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC分析:分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设 其它线段对应向量用它们表示.bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222ACBDabab222222222222aa b baa b babab 222222BDACDACDBCABbADaAB,解:解:设 ,则,;BCb DAa ACab DBa b 222222.A
6、BCDABBCCDDAACBD已知:平行四形求证:求证:你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗?基本思路吗?(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果)把运算结果“翻译翻译”成几何元素成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲
7、”:简述:简述:形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形探究(二):探究(二):推断直线位置关系推断直线位置关系 思考思考1 1:三角形的三条高线具有什么位置三角形的三条高线具有什么位置关系?关系?交于一点交于一点思考思考2 2:如图,设如图,设ABCABC的两条高的两条高ADAD与与BEBE相交于点相交于点P P,要说明,要说明ABAB边上的高边上的高CFCF经过点经过点P P,你有哪些办法?,你有哪些办法?A AB BC CD DE EF FP P证明证明PCAB.PCAB.思考思考4 4:对于对于PABCPABC,PBACPBAC,用向量观,用向量观点可分别转化为
8、什么结论?点可分别转化为什么结论?思考思考3 3:设向量设向量 a,b,c,那么那么PCBAPCBA可转化为什么向量关系?可转化为什么向量关系?PA=uuu rPB=uuu rPC=uuu rA AB BC CD DE EF FP Pabc c(ab)0 0.a(cb)0 0,b(ac)0 0.思考思考5 5:如何利用这两个结论如何利用这两个结论:a(cb)0 0,b(ac)0 0 推出推出c(ab)0 0?思考思考6 6:你能用其它方法证明三角形的三你能用其它方法证明三角形的三条高线交于一点吗?条高线交于一点吗?A AB BC CD DE EF FP P探究(三):探究(三):计算夹角的大小
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