数学建模实用教程第2章连续模型课件.ppt
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1、2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社1第第2 2章章 连续模型连续模型 解析几何模型;解析几何模型;微分方程模型。微分方程模型。微积分模型;微积分模型;2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社21 1、微积分模型、微积分模型 森林救火模型森林救火模型 易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社31.1.问题的提出问题的提出 已知某工厂装配线能够生产若干种不同的产品,已知某工厂装配线能够生产若干种不同的产品,每轮换一次产品
2、,生产线都需要更换一些必要的设每轮换一次产品,生产线都需要更换一些必要的设备,为此,要付出一定量的生产准备费用备,为此,要付出一定量的生产准备费用 当某种产品的产量大于实际的销售量当某种产品的产量大于实际的销售量(需求需求)时,时,工厂就将多生产出的产品就地存储起来,为此要付工厂就将多生产出的产品就地存储起来,为此要付出存储费用出存储费用 如果该工厂的生产能力是比较大的,即实际中如果该工厂的生产能力是比较大的,即实际中对于所需要的产品数量可在较短的时间内生产出来,对于所需要的产品数量可在较短的时间内生产出来,满足市场的需求满足市场的需求 2.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的
3、存储模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社41.1.问题的提出问题的提出 已知某产品日需求量为已知某产品日需求量为100100件,相应的生产准件,相应的生产准备费为备费为50005000元,存储费用为每日每件为元,存储费用为每日每件为1 1元元 试为该工厂安排该产品的生产计划,即多少天试为该工厂安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期),每次的生产量是多少,生产一次(生产周期),每次的生产量是多少,使总费用最小?使总费用最小?2.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教
4、程高教出版社5.问题的分析与假设问题的分析与假设 2.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社62.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 3.3.模型的建立与求解模型的建立与求解 总费用与变量的关系总费用与变量的关系总费用总费用=生产准备费生产准备费+存储费存储费存储费存储费=存储单价存储单价*存储量存储量存储量存储量=?2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社7设设 t 时刻的存贮量为时刻的存贮量为 q(t),t=0时生产时生产 Q Q 件,存贮件
5、,存贮量量 q(0)=Q,q(t)以需求速率以需求速率 r r 线性递减,直至线性递减,直至q(T)=0,如图。如图。q(t)=Q-r t,Q=r T 。otqQTrA2.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 存储量的计算存储量的计算 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社82.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 一个周期内存贮量一个周期内存贮量dttqT0)(一个周期内存贮费一个周期内存贮费dttqcT02)(2QT(A的面积的面积)一个周期的总费用一个周期的总费用dttqccCT021)(2222121rTc
6、cQTcc每天平均费用每天平均费用221rTcTcTCTC)(2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社92 21rTcTcTCT)(min满足求模型求解:模型求解:用微分法用微分法02221rcTcTC)(rccT212212crcrTQ每天平均最小费用每天平均最小费用rccC212著名的著名的 经济订货批量公式(经济订货批量公式(EOQ公式)。公式)。2.1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社10100010 10015000 21CTrcc,得当,在本例中在本例中2.
7、1.1 2.1.1 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社112.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 1.1.问题的提出问题的提出森林失火了!森林失火了!消防站在接到报警后派出多少消防队员赶去灭消防站在接到报警后派出多少消防队员赶去灭火呢?火呢?派出的消防队员越多,火灾所造成的森林损失派出的消防队员越多,火灾所造成的森林损失就越小,但是消防队员救火所付出的代价就越小,但是消防队员救火所付出的代价(开支开支)就就会增加。会增加。需要综合考虑森林损失和消防队员的救火开支需要综合考虑森林损失和消防队员的救火开支之间的
8、平衡关系,以总费用为最小来确定派出消防之间的平衡关系,以总费用为最小来确定派出消防队员的数量。队员的数量。2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社122.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型.问题的分析与假设问题的分析与假设 总费用包括两方面:火灾烧毁森林的损失费总费用包括两方面:火灾烧毁森林的损失费用,派出消防队员救火的开支费用。用,派出消防队员救火的开支费用。烧毁森林的损失费用通常与火灾烧毁森林的面烧毁森林的损失费用通常与火灾烧毁森林的面积成正比,而烧毁森林的面积与失火的时间、灭积成正比,而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关。火的时间有关。灭火
9、时间取决于消防队员数量,消防队员越多灭火时间取决于消防队员数量,消防队员越多灭火越快,即时间越短。灭火越快,即时间越短。2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社132.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社142.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社15模型假设:模型假设:2.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 说明:说明:通常火势会以着火点为中心,以均匀速度向四周呈圆通常火势会以着火点为中心,以均
10、匀速度向四周呈圆形蔓延,蔓延的半径与时间成正比因为烧毁森林的面积与形蔓延,蔓延的半径与时间成正比因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比,从而火势蔓延速度与时间成正过火区域的半径平方成正比,从而火势蔓延速度与时间成正比比 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社162.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社172.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 3.3.模型的建立与求解模型的建立与求解 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社182.1.2
11、 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社192.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社204 4、模型的结果分析与推广、模型的结果分析与推广 2.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社212.1.2 2.1.2 森林救火模型森林救火模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社222.1.32.1.3易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型
12、1.1.问题的提出问题的提出 (1 1)如果把易拉罐近似看成一个直圆柱体,在)如果把易拉罐近似看成一个直圆柱体,在要求易拉罐体内的容积一定时,则问题是能使易拉罐要求易拉罐体内的容积一定时,则问题是能使易拉罐制作所用的材料最省的圆柱体截面直径和高度的比例制作所用的材料最省的圆柱体截面直径和高度的比例如何?如何?(2 2)如果把易拉罐的上面部分看成是一个小)如果把易拉罐的上面部分看成是一个小正圆台,下面是一个正圆柱体,则结果又该如何?正圆台,下面是一个正圆柱体,则结果又该如何?为什么易拉罐都是那个样子?为什么易拉罐都是那个样子?2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社
13、23.问题的分析与假设问题的分析与假设2.1.32.1.3易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 (1 (1)研究易拉罐在内部容积一定的条件下,)研究易拉罐在内部容积一定的条件下,则问题为求使表面面积最小的优化问题在这里,则问题为求使表面面积最小的优化问题在这里,不考虑所用具体材料,也不考虑易拉罐的制造工不考虑所用具体材料,也不考虑易拉罐的制造工艺影响艺影响 (2 (2)假设易拉罐的形状为严格的几何形状,)假设易拉罐的形状为严格的几何形状,且材料厚度远小于它的高度和半径且材料厚度远小于它的高度和半径 (3)(3)在这里用在这里用r 和和h 分别表示易拉罐的截面分别表示易拉罐的截面半径和高度半
14、径和高度2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社243.3.模型的建立与求解模型的建立与求解 模型模型1 1:不考虑材料厚度的简化模型:不考虑材料厚度的简化模型2.1.32.1.3易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社252.1.32.1.3易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社26模型模型2 2:考虑材料厚度的模型:考虑材料厚度的模型2.1.32.1.3易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 2022-8-12数学
15、建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社27272720222022年年8 8月月1212日日2.1.32.1.3易拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社28 即说明当易拉罐的高度是底面直径的即说明当易拉罐的高度是底面直径的倍倍时,易拉罐所用材料的体积为最小时,易拉罐所用材料的体积为最小 事实上,通过测量易拉罐的顶盖和底盖的事实上,通过测量易拉罐的顶盖和底盖的厚度通常要比侧面的材料厚度多厚度通常要比侧面的材料厚度多2 2倍以上,因此,倍以上,因此,这个结果是与实际相符的这个结果是与实际相符的 2.1.32.1.3易
16、拉罐的优化设计模型易拉罐的优化设计模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社292 2、解析几何模型、解析几何模型 飞越北极的数学模型飞越北极的数学模型 舰艇的快速会合模型舰艇的快速会合模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社301.1.问题的提出问题的提出2.2.1 2.2.1 舰艇的快速会合模型舰艇的快速会合模型 某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员,护卫舰找到飞行员后,航母通知它飞行员,护卫舰找到飞行员后,航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速尽快返回与其汇合并通报了航母
17、当前的航速与方向,问护卫舰应怎样航行,才能与航母与方向,问护卫舰应怎样航行,才能与航母汇合。汇合。2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社31.问题的分析与假设问题的分析与假设2.2.1 2.2.1 舰艇的快速会合模型舰艇的快速会合模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社322.2.1 2.2.1 舰艇的快速会合模型舰艇的快速会合模型 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社332.2.1 2.2.1 舰艇的快速会合模型舰艇的快速会合模型 A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰
18、护卫舰 1 2)()(22222b-yx a byx即:即:22222222)1(411ababaayx可化为:可化为:记记v2/v1=a通常通常a1 222|AP|a|BP|则则2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社342.2.1 2.2.1 舰艇的快速会合模型舰艇的快速会合模型 12,11222aabrbaah令:令:则上式可简记成则上式可简记成 :222rh-yx)(汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。bxy)(tan1(护卫舰的路线方程)(护卫舰的路线方程)bxy)(tan2(航母的路线方程(航母的路线方程 )即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标
19、和2 2 的值。的值。本模型虽简单,但分析极本模型虽简单,但分析极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社352.2.2 2.2.2 飞越北极的数学模型飞越北极的数学模型 1.1.问题的提出问题的提出 20002000年年6 6月,扬子晚报发布消息:月,扬子晚报发布消息:“中美航线下中美航线下月可飞越北极,北京至底特律可节省月可飞越北极,北京至底特律可节省4 4小时小时”,摘要,摘要如下:如下:7 7月月1 1日起,加拿大和俄罗斯将允许民航班机日起,加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极,此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞飞越北
20、极,此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间行时间 据加拿大空中管制局估计,如飞越北极,底特律据加拿大空中管制局估计,如飞越北极,底特律至北京的飞行时间可节省至北京的飞行时间可节省4 4小时由于不需中途加油,小时由于不需中途加油,实际节省的时间不止此数试从数学上作出一个合实际节省的时间不止此数试从数学上作出一个合理的解释理的解释.2022-8-12数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社362.2.2 2.2.2 飞越北极的数学模型飞越北极的数学模型 2.2.问题的分析问题的分析 问题归结为求飞越指定各点球面上的短程线问题归结为求飞越指定各点球面上的短程线(或测地线)的航线与飞越直
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