数列与函数的极限课件.ppt

1、v(一一)、数列的极限、数列的极限v(二二)、函数的极限、函数的极限第二节第二节 数列与函数的极限数列与函数的极限一、数列的定义定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如,2,8,4,2)in;2nnx 1)2(nn,21,81,41,21ii)n;21nnx 121nn,)1(,1,1,1iii)1 n;)1(1 nnx 11)1(nn,)1(,34,21,2iv)1

2、nnn 11)1(nnnn;)1(1nnxnn 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn,333,33,3 数列数列实质上实质上是定义在是定义在正整数集正整数集上的函数：上的函数：xn=f(n)，n Z+三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn播放播放三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)

3、1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11

4、时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn.1)1(1,1无限接近于无限接近于时时当当nxnnn

5、.021,无限接近于无限接近于时时当当nnxn .2,无限增大无限增大时时当当nnxn .)1(,没有确定的变化趋势没有确定的变化趋势时时当当nnxn ：的变化趋势分为三类的变化趋势分为三类时时当当nxn,.)1axn常数常数无限接近于某个确定的无限接近于某个确定的.,)2即趋向无穷大即趋向无穷大无限增大无限增大nx.)3没有确定的变化趋势没有确定的变化趋势nx.lim,)(,)(11axaxaxnxnnnnnnn 并记为并记为的极限是的极限是则称则称定数定数一个一个无限接近于无限接近于时时若当若当对数列对数列,1)1(1lim1 nnn,021lim nn.)1(,2没有极限没有极限而数列而

6、数列nnnnxx :,lim,lim.nnnnnnnnnnxnxxxxAnxAxx 定义 设数列当 无限增大时无限接近于一个常数A,则称A为n趋于无穷时数列 的极限 也称数列收敛于A.记作或当时否则称数列发散 或不存在2.数列极限的定义数列极限的定义故上例中有：故上例中有：1lim02nn1(1)lim1nnnn 1lim(1)limnnnn 2 不存在例例1:观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势nnqy)4(,61,0,41,0,210,(3)1,-1,1,-1,(2)10,10,10,)1(-1q 1q 11q 1q 0qlimnn不存在不存在3、数列极限的性质定理定理1 若极限若

7、极限 存在，则极限是唯一的存在，则极限是唯一的.nnx lim1).极限的唯一性极限的唯一性(1)数列的数列的有界性有界性2).收敛数列的有界性收敛数列的有界性对数列对数列 ,若存在正数若存在正数 M,使得对一切自然使得对一切自然数数 n,恒有恒有 成立成立,则称则称数列数列 有界有界,否则否则,称为称为无界无界.Mxn|1)(nnx 1)(nnx例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列有界有界无界无界数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 都落在闭区间都落在闭区间 上上.nx,MM 定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.推论推论 无界数列必定发散无界数列

8、必定发散.注意：注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件有界性是数列收敛的必要非充分条件.例如：例如：.,)1(1但却是发散的但却是发散的是有界数列是有界数列数列数列 nnx).0(0,0,)0(0,lim nnnnxxNnNAAAx或或时时当当则则或或且且若若定理定理33).极限的保号性极限的保号性0(0)lim,0(0).nnnnxxxAAA若或且则或推论：4).4).子数列的归并性子数列的归并性(子数列的收敛性子数列的收敛性)在数列在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序项在原数列中的先后顺序,这样得到的数列记这样得到的数列记为为 ,称为数列称

9、为数列 的的子数列子数列.1)(nnx 1)(nnx 1)(knkx 1)(knkx定理定理4 4 如果数列收敛，则它的任一个子数列如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同也收敛，且极限相同.212 limlimlim.nnnnnnxaxxa特别地5).数列极限四则运算法则与性质数列极限四则运算法则与性质lim,lim,(1)lim;(2)lim;(3)lim,0.nnnnnnnnuavbuvabuva buabvb设则其中例例1 求下列数列的极限：求下列数列的极限：(1)lim(1)nnn 212.(3)limnnn1123(2)lim23nnnnn22 15.(1)limliml

10、imnnnnnnaaaaa）(2)lim|0lim0nnnnyy 自变量的变化过程自变量的变化过程:.,0 .1xxx记为记为无限增大无限增大且且.,0 .2xxx记为记为无限增大无限增大且且.,.3xxx记为记为无限增大无限增大且且为任意实数为任意实数.,.4000 xxxxxx记为记为且且无限接近无限接近0005.,.xxxxx 且且无无限限接接近近于于为为0006.,.xxxxx 且且无无限限接接近近于于为为二、二、函数的极限函数的极限定义定义1:(一一)、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限()()lim()()xxf xAAxf xf xAxf xA 如果当 无

11、限增大时，其相应的函数值无限趋近于常数，则称常数 为 无限增大时，函数的极限.记作：或者当时，()arctan()f xxxf x例1：观察函数，当 无限增大时，它对应的函数值的变化趋势如何？()()xg xexg x例2：观察函数，当 无限增大时，它对应的函数值的变化趋势如何？二、二、函数的极限函数的极限定义定义2:()()lim()()xxf xAAxf xf xAxf xA 如果当 无限减小时，其相应的函数值无限趋近于常数，则称常数 为 无限减小时，函数的极限.记作：或者当时，()arctan()f xxxf x例3：观察函数，当 无限减小时，它对应的函数值的变化趋势如何？定义定义3:(

12、)()lim()()xxf xAAxf xf xAxf xA 如果当无限增大时，其相应的函数值无限趋近于常数，则称常数 为 趋于无穷时，函数的极限.记作：或者当时，1lim0 xx如:lim()xf xA定理lim()lim().xxf xAf xA且1定义定义:(二二)、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限0000000(),(),().lim()()xxf xxxxxxf xAAxxf xf xAxxf xA设函数在点 的某一邻域内有定义（可除外），如果 无限接近于（但不等于）其相应的函数值无限趋近于常数则称常数 为 无限趋近于时，函数的极限记作：或者当时，0()f

13、xx1、函数极限与在点 是否有定义无关注意：注意：2、基本初等函数在其定义域内每点处的极限都存在，并且等于函数在该点处的函数值。2.单侧极限单侧极限:例例1：.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限右极限右极限00000000000()(),().lim()(0)xxxxf xxxxxxxxf xxf xAf xA-设函数在点 的左邻域（-,）内有定义,如果当 从 左

14、侧无限接近于（但不等于）其相应的函数值无限接近于常数A,则称A为函数在 的左极限记作或00000000000()(),().lim()(0)xxxxf xxxxxxxxf xxf xAf xA+设函数在点 的右邻域（-,）内有定义,如果当 从 右侧无限接近于（但不等于）其相应的函数值无限接近于常数A,则称A为函数在 的右极限记作或000:lim()(0)(0).xxf xAf xf xA定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim因为左右极限存在但不相等因为左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例2证证1)1(lim0 x00limlim

15、xxxxxx11lim0 x211,1()lim().10,1xxxf xf xxx例3：设,求0limlimxxxff()：若极限(x)(或(x)存在，则其极限唯一性性质1是唯一的.00lim()xxf xxf（）：如果极限存在，那么在点 的某个去心邻域内，函数性质(局部x有2界性)有界.00000()lim(),lim(),0,0,().3xxxxf xAg xBABxxxfg x：若且则对满足时有(x)序性性保质3、函数极限的性质、函数极限的性质0000lim(),0(0),0,0,()0()0).4xxf xAAAxxf xf x（）：若且或则性当时 有或保号性质00000lim(),

16、lim(),0,0,(),xxxxf xAg xBxx xfg xAB：若且存在对当时有(x)则推论14、函数极限运算法则、函数极限运算法则定理定理lim(),lim(),(1)lim()();(2)lim()();()(3)lim,0().f xAg xBf xg xABf xg xA Bf xABg xB设则其中5、举例、举例30lim(3cossin4)xxxx求例例2 2.531lim232 xxxx求求例例3 3.321lim221 xxxx求求7511lim.1xxx求例例4例例1小结小结:则有则有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)

17、lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf 0()0,.Q x注：若则商的法则不能应用一、无穷小量一、无穷小量00()()xxxffxxx 如果时函数(x)的极限为定义：零,则称(x)为时的无穷小.例如例如:,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx,01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx1lim(1)0,xx11.xx函数是当时的无穷小1 1、

18、定义、定义三、无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:引理引理.)()()()(lim00时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxxxAxfAxfxx 意义意义1)将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);).(,)()()20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数 3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小

19、的代数和未必是无穷小.是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1,.11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.0,1lim sin,xxx如上定理在求极限中经常用到例如求sinlimxxx例(求1 1)201(2)limsinxxx求2331lim.sin51xxxxxx(3)求

20、利用无穷小的性质求极限利用无穷小的性质求极限二、无穷大量二、无穷大量000()(),()()lim()lim()xxxxxxf xMf xxxxf xf x 定义：当自变量或时，若函数大于预先给定的任何正常数则称函数当或时为无穷大量，记为：或1.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;02.lim().xxf x 切勿将认为极限存在注意：注意：3.无穷大量是无界的变量，但无界变量未必是无穷大量 ()lg(-1)_,_.f xx例2当时为无穷大量当时是无穷小量 x,1x或或2x 3 ()_,1 _.xf xx当时为无穷大量当时是无穷小量1x 3x 三、无穷小与无穷大的

21、关系三、无穷小与无穷大的关系在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.01(1)()()1(2)()()0()xxxf xf xf xf xf x 即：当或时，若是无穷大，则是无穷小；若是无穷小且,则是无穷大.解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例如例如.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx._1sinlim520 xxx、._33l

22、im132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、一一、1 1、-5 5；2 2、3 3；3 3、2 2；4 4、51；5 5、0 0；6 6、0 0；7 7、21；8 8、30)23(.二二、1 1、2 2；2 2、x2；3 3、-1 1；4 4、-2 2；5 5、21；6 6、0 0；7 7、nmnm .练习题答案练习题答案