数列通项公式的求法优秀课件1.ppt
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1、数列通项公式的求法数列通项公式的求法学习目标:学习目标:(1)理解数列通项公式的概念,了解数列是一种特殊的函数(2)掌握等差数列及等比数列通项公式的推导方法(3)掌握求各类型数列通项公式的方法(4)体会方程思想、函数思想、转化思想等数学思想方法的应用二、重点题型解析一、基础知识回顾一、基础知识回顾na(1)数列通项的概念:如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的通项公式。求数列的通项:求数列的通项:就是寻找数列第就是寻找数列第n项与项与n的关系的关系:()naf n即(2)等差数列的通项公式等差数列的通项公式:1(1)naand证:因为 为等差数列,所以
2、当 时,有 (“累加累加法法”)将以上各式相加可得:当 n=1时,也成立。从而 na2n 21321nnaadaadaad1(1)(2)naandn1(1)naand(3)等比数列的通项公式:11nnaa q证:因为 为等比数列,所以当 时,有将以上各式相乘得:当n=1时,上式也成立。从而 na2n 2341231,=,nnaaaaqqqqaaaa11nnaa q11(2)nnaa qn(“累积法累积法”)二、重点题型解析题型题型1 1:归纳猜想法求数列的通项归纳猜想法求数列的通项例例1、数列、数列 的一个通项公式为的一个通项公式为 _。122)1(;12278;12234;122233221
3、nnnna从而猜想:观察可得:1516,78,34,2题型题型2 2:利用累和(等差)、累积(等比)求数列的通项利用累和(等差)、累积(等比)求数列的通项例例:在数列在数列 an n 中中,a1 1=0,=0,an+1n+1=an n+2n-1+2n-1 (nN+)求数列)求数列 an n 通项公式通项公式.反思:反思:本例为什么能用累加法求出通项?本例为什么能用累加法求出通项?an+1-an=d(d为常数为常数)f(n)(f(n)能求和能求和)累累 加加 法法题型题型2:利用累和(等差)、累积(等比)求利用累和(等差)、累积(等比)求数列的通项数列的通项课堂演练课堂演练1:题型题型2 2:利
4、用累利用累加加(等差)、累积(等比)求数列的通项(等差)、累积(等比)求数列的通项例例2:在数列在数列 an n 中中,a1 1=0,=0,an+1n+1=an n+2n-1+2n-1 (nN+)求数列)求数列 an n 的的通项公式通项公式.)Nn()1(1)2(,)1(3231323,1)Nn(1-2na-a)Nn(1-2n+a=a+22112312+n1+n+n1+nnannnnaanaaaaaannnn时满足上式。经检验:,解:1nnaa()()g n g n 能求乘积累累 积积 法法题型题型2 2:利用累利用累加加(等差)、累积(等比)求数列的通项(等差)、累积(等比)求数列的通项思
5、思考考:满足何种条件时,采用满足何种条件时,采用“累积法累积法”求通项?求通项?112332134511nnnnaannn)1(21nna*)1(11)2()1(1Nnnnannnnn时满足上式。经检验:例例3 3已知数列已知数列 an n 满足满足 a1 1=,(n+1)=,(n+1)an n=(n-1)=(n-1)an-1 n-1(n(n2),求数列,求数列an的通项公式的通项公式.21累累 积积 法法题型题型2 2:利用累利用累加加(等差)、累积(等比)求数列的通项(等差)、累积(等比)求数列的通项小结:小结:1、数列是一类特殊的函数,递推式中的、数列是一类特殊的函数,递推式中的n可可取
6、任意非零自然数取任意非零自然数.2、题型题型2学习了数列的两种递推关系,学习了数列的两种递推关系,一般形式为一般形式为:an=an-1+f(n)和和an=an-1g(n),其中其中f(n)能够求和,能够求和,g(n)能够求积能够求积.3、采用、采用“累加法累加法”、“累积法累积法”求通项时求通项时一定要注意对一定要注意对n=1时的验证时的验证题型小结题型小结题型题型3 3:构造基本数列求通项公式构造基本数列求通项公式例例4:通项求数列且中已知数列,4,0,12121nnnnnaaaaaa分析:分析:34,0,34344)1(14)1(,4,42112212naanannnbbbbbbabbaa
7、nnnnnnnnnnnnn又即:的通项求出为等差数列,从而可先由此可知则其中构造数列可知由条件题型题型3 3:构造基本数列求通项公式构造基本数列求通项公式1(,1)nnapaq p qp为常数且求出数列的通项公式求出数列的通项公式nakp是以 为公比的等比数列1pqk其中*)(,32324,2432433)3(23*)(32111111NnaaaaaaaNnaannnnnnnnnnn综上,为公比的等比数列为首项,是以解:例例5:已知数列已知数列an中中a1=1,且且an+1=2an+3,求求 an的通项。的通项。题型题型3 3:简单构造基本数列求通项公式简单构造基本数列求通项公式题型题型4 4
8、:由由an和和Sn的关系式求数列的通项的关系式求数列的通项 的通项公式。)求为等差数列;(求证且,项和为例:已知数列前nnnnnnasnssaasn21)1(),2(02,2111分析:分析:的关系解决问题与共存,故采用与题目条件中nnSSnnaa)1(,)2(,11nSnSSnnna它们之间关系如下 的通项公式。)求为等差数列;(求证且,项和为例:已知数列前nnnnnnasnssaasn21)1(),2(02,21111(2),nnnassn解:(1)1120nnn nsss s112nnn nsss s1112nnss即:1ns为等差数列 的通项公式。)求为等差数列;(求证且,项和为例:已
9、知数列前nnnnnnasnssaasn21)1(),2(02,21111111nnsss(2)为等差数列(n-1)2=2nns1=2n112(1)nnnassn1又-=2n(1)nan 12n(2)n 11;2a 而1,12,2(1)nnann12n题型题型4 4:由由an和和Sn的关系式求数列的通项的关系式求数列的通项小结:小结:本题利用重要关系式本题利用重要关系式 将式中的将式中的an转化为转化为Sn,先求,先求Sn,再求,再求an;也可以将;也可以将Sn转化为转化为an,然后构造数列求,然后构造数列求an.利用此种方法解题要特别注意起始项的值(即是否考利用此种方法解题要特别注意起始项的值
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