有限元第四章一些数学概念和结论课件.ppt

1、4-1 线性空间（向量空间）线性空间（向量空间）1.线性空间的定义满足下列条件的空间E为线性空间(1)x,y,zE 有如下“加法加法”运算（i）（ii）（iii）存在“零元素零元素”q E x E 有（iv）x E 存在逆元素逆元素 x E 使xyyxzxyzyx)()(xx)(xx(2)设 中的元素与实数域的元素有“数乘数乘”运算，即 x,y E，a,b K(实数域）（i）（ii）（iii）（iv）若为实数域则 称为实线性空间实线性空间，为复数域则 称为复线性空间复线性空间。Exxabbaxx 1xxxbabayxyxaaa例C a,b 若、是a,b上的连续函数，则 也是a,b上的连续函数。

2、故定义在在a,b上的所有连续函数组成一个线性空间。记作上的所有连续函数组成一个线性空间。记作C a,b。)(1x)(2x2211cc例L2（a,b）若 、是（a,b）上平方可积的函数，即 、存在)(1x)(2xdxxba21)(dxxba22)()()(2)()(2)()()()(2222212121212222212122211xcxcxxccxcxcxcxc则)()(2211xcxc所以 也是（a,b）上平方可积的函数。所有（所有（a,b）上平方可积的）上平方可积的函数组成一个线性空间，记作函数组成一个线性空间，记作L2(a,b)。例C1 a,b若 、在a,b上连续，则)(1x)(2x)(

3、1x)(2x2211cc2211cc也在（a,b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（所有函数本身及一阶导数都在（a,b）上连续的函数组成）上连续的函数组成一种线性空间，记作一种线性空间，记作C1 a,b。例Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）,R3（三维空间）是 n 维欧氏空间的特例。例Pn(x)a,b 定义在定义在 a,b 上的上的n 次多项式次多项式 Pn(x)a,b C a,b 构成线性空间构成线性空间。2 线性空间的维数(1)线性相关与线性无关n、102211nncccn、102211nnccc021ncccn、1设 为线性空间的n个元素（i）若存在不全为零的常数使得则称

4、 线性相关；(ii)若仅当才成立，则称 线性无关。(2)线性空间的维数若线性空间 满足（i）任意n+1个元素一定线性相关。（ii）存在着n个线性无关的元素。则称线性空间 的维数为n。n、1nnccc2211iniiiniivvuu11,例若 线性无关，则所有形式为的试探函数组成n维线性空间。而所有形式为的位移场则组成 2n 维线性空间。例由于可以找出任意多个线性无关的连续函数（）所以空间为无限维线性空间。2 空间也是无限维线性空间。nxxx21、3.线性空间的模（范数）模（范数）（）模的定义（）模的定义 当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作x（表示“大小”或“长

5、度”）称为E 空间为模线性空间模线性空间或赋范线性空间赋范线性空间，实数x称为模或范数。模的性质如下：(i)x0,仅当 x 0 时 x=0(ii)对任一常数有:x=x(iii)对任意x、y E有:x+yxy （此式又称三角不等式）。x-元素 x 的“大小”，x-y-两个元素 x、y 之间的“距离”。当当u-uh0，设真实解为设真实解为u，有限元解为，有限元解为uh，有限元解收敛于真实解。有限元解收敛于真实解。模的定义不同，收敛的意义也不同。模的定义不同，收敛的意义也不同。例 在 平面()内，向量 x（x1,x2）可以有下列三种模的定义:2121122212,maxxxxxxxxxx例设 x,y

6、 E 则，II x-y II 可以表示这两个元素的“接近程度”，若在R2 空间中的两个元素，x(1,1),y(2,4)可以有如下模的定义:3,max4102211221112222112yxyxyxyxyxyxyxyxyxx(1,1)3y(2,4)10图在实数域内，模 与绝对值 是等价的。xx（）两种常用的模（）两种常用的模 一致模一致模若u C a,b，则 u 必在 a,b 上取到最大值和最小值，故:uubxamax L2 模模若u L2(a,b)则 存在，dxuLba22L2 模模 定义为：2122dxuubaL按一致模收敛是一致收敛一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛平均收敛。4-2

7、内积空间（酉空间）内积空间（酉空间）.内积内积对于线性空间 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:(i)（u、v）（v、u）（对称性）(ii)对任一常数有(u,v)=(u,v)（齐次性）(iii)对于u1、u2、v E有 (u1+u2,v)=(u1,v)+(u2,v)（可加性）(iv)(u,u)0 仅当 u 0 时(u,u)=0。定义了内积的线性空间称为内积空间定义了内积的线性空间称为内积空间。例 u(x),v(x)C2 a,b 至少存在以下四种形式的内积：dxvuxvudxvuvuvuvudxvuvuvudxvuvubabababa

8、,其中 (x)是a,b上的给定函数。.内积模内积模 uuu,dxvubadxvuvuba),(2Lbaudxuuu0dxvubavuvuvu,在内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模 在内积空间中，u 与 v 之间的距离可用内积模表示 3.正交性正交性 内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关系，函数之间的“正交”。若若（u、v）则称）则称 u、v正交。模及正交性涵义取决于内积的定义。正交。模及正交性涵义取决于内积的定义。例 若积分 存在，可定义内积则模的定义而u、v 正交的含义为：例如，在 0,上当 mn 时 sinmx 与sinnx 正交。例若 0 且积分d

9、xvuba存在 0,dxvuvuba而 u、v 正交则意味着dxvuvuba,内积dxuuuba模即通常理解的 u、v以 为权正交。4.Schwarz 不等式不等式 设 u、v 是内积空间的两个元素，t 为任一实数，则 tu-v 也是内积空间的一个元素，显然，它自身的内积 0,vtuvtu 0,2,2vvvutuut上式对任何实数 t 都成立的充分必要条件是：0,2vvuuvu222,vuvu即vuvu,或Schwarz不等式不等式 对于a、b 两个向量 bababaacosEuclid空间的三角不等式 5.收敛性与完备性收敛性与完备性（1）收敛性0lim0 xxnn Exn点列（赋范线性空间

10、），若存在0 x则，称 为点列 的强极限强极限，读作：强收敛于 ，模的定义不同收敛的涵义不同。0 x nx nx（2）完备性若若 E 空间中的每一个元素列收敛于空间中的每一个元素列收敛于 E 中的一个元素，则称空间中的一个元素，则称空间 E 是完备的。是完备的。Hilbert空间-完备的内积空间。Banach空间-完备的赋范线性空间。是Hilbert空间的子空间。是 的子集。baL,2baL,2baC,许多数学物理问题的许多数学物理问题的解解存在于存在于某一类函数空间某一类函数空间中。换句话来说为了得中。换句话来说为了得到有意义的解，必需明确到有意义的解，必需明确解的存在空间解的存在空间。即对

11、组成解的函数的类型作一限。即对组成解的函数的类型作一限定。值得注意的是，如果限制的过于严格会将一些解排除在外，限制过宽定。值得注意的是，如果限制的过于严格会将一些解排除在外，限制过宽可能导致解无意义。可能导致解无意义。有限元解的存在空间为索伯列夫空间，是有限元解的存在空间为索伯列夫空间，是Hilbert 空间的子空间。空间的子空间。4-3 索伯列夫空间索伯列夫空间HK.HK 空间的定义及实例广义导数空间的定义及实例广义导数 当当 k 为非负整数时，为非负整数时，HK()表示在定义域表示在定义域内，内，函数本身以及直到函数本身以及直到k阶导数都平方可积的函数全体。阶导数都平方可积的函数全体。（）

12、若 u(x)H1(0,L)，则积分dxuL02dxuL02)(xuu1u2u3u4u5x5x4x3x2x10图4-2对于图对于图4-2 所示的分段线性插值函数所示的分段线性插值函数u(x)而言，显然上两式成立。而言，显然上两式成立。在点在点 x2、x3、x4 处，按通常的意义处，按通常的意义u 不存在，左导数不等于右导数。不存在，左导数不等于右导数。补充定义：补充定义：取两侧一阶导数的平均值作为该点的导数值（广义导数）。取两侧一阶导数的平均值作为该点的导数值（广义导数）。定义了广义导定义了广义导数的空间就是完备的线性空间数的空间就是完备的线性空间 在通过结点时不连续，有限跳跃量，在通过结点时不

13、连续，有限跳跃量，在结点处为在结点处为函数。函数。函数本身可积，但平方不可积。函数本身可积，但平方不可积。结论：结论：对于分段线性插值的函数对于分段线性插值的函数u(x)而言：而言：u H1(0,L)，但，但u H2(0,L)。u u（）设（）设为一平面二维区域，为一平面二维区域，将将分成若干三角形的片（单元），取各三角形的项点为结点，分成若干三角形的片（单元），取各三角形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。函数函数u(x,y)在在上连续，且积分上连续，且积分 x图4-3ydxdyu2dxdyxu2dxdyyu2存在

14、存在在单元边界和结点处在单元边界和结点处：yxuyuxu22222,xuyu单元边界上单元边界上取边界两侧的平均值，在取边界两侧的平均值，在结点处结点处取包围这个结点各取包围这个结点各单元的加权平均值（按各单元所占有的角度加权）单元的加权平均值（按各单元所占有的角度加权）为一为一函数函数结论：二维分片线性插值的函数结论：二维分片线性插值的函数u，有，有u H1()，但，但u H2()。（）在研究梁的弯曲时（）在研究梁的弯曲时 以结点处的函数值和一阶导数值作为结点参数，采用分段三次以结点处的函数值和一阶导数值作为结点参数，采用分段三次Hermite插值插值来构造试探函数来构造试探函数v(x)(图

15、图4-4)。v(x)、v(x)在在 0,L上连续上连续xvx1x2x3x4图4-4dxvL02 dxvL02 dxvL 02存在存在在结点处：在结点处：v 为一为一函数，平方以后不可积。函数，平方以后不可积。结论：对于分段三次结论：对于分段三次Hermite插值的函数插值的函数v(x)有有v H2(a,b)，但但u 3(a,b)。HK空间中所提到的导数，都是指广义导数。如果通常意义下的导数存在，空间中所提到的导数，都是指广义导数。如果通常意义下的导数存在，它将与广义导数完全一致。它将与广义导数完全一致。任何一个任何一个HK空间都是无限维线性空间。空间都是无限维线性空间。H2()是是H1()的子

16、空间；的子空间；H()是是H()的子空间又是的子空间又是H)的子空间。的子空间。H()只要求函数本身平方可积，与只要求函数本身平方可积，与L2()是一回事。是一回事。一般说来，用分片插值多项式定义的函数，在单元内部的可微性都比较好。一般说来，用分片插值多项式定义的函数，在单元内部的可微性都比较好。在整个区域上的可微性主要取决于插值函数在穿过单元边界时的性质。在整个区域上的可微性主要取决于插值函数在穿过单元边界时的性质。.索伯列夫空间的模索伯列夫空间的模 设设为一平面二维区域为一平面二维区域212222dxdyyuxuuu当当u H1()时，模的定义为：时，模的定义为：2122222222222

17、2dxdyxuyxuxuyuxuuu当当u H2()时，定义时，定义如此定义模的意义：如此定义模的意义：若若u 为位移函数，则在讨论收敛性时，若收敛一定为位移函数，则在讨论收敛性时，若收敛一定意味着函数本身（位移）的收敛性，也包括了函数的若干阶导数（自然意味着函数本身（位移）的收敛性，也包括了函数的若干阶导数（自然包括了应力）的收敛性。包括了应力）的收敛性。.索伯列夫空间的半模（积分中不含函数自身）索伯列夫空间的半模（积分中不含函数自身）当当为一平面二维区域时，半模的定义下：为一平面二维区域时，半模的定义下：21221dxdyyuxuu当当 时时 1Hu21222222221dxdyxuyxu

18、xuu 2Hu当当 时时上两式定义的半模描述了某一阶广义导数的上两式定义的半模描述了某一阶广义导数的“大小大小”。.能量模和能量内积能量模和能量内积 弹性体的弹性体的变形能总是非负的变形能总是非负的，可以用一非负实数与其对应。如果所加的位移约束可以用一非负实数与其对应。如果所加的位移约束条件使整个系统不能做刚体运动，那么只有在系统的位移恒为零时总变形能才等于零。条件使整个系统不能做刚体运动，那么只有在系统的位移恒为零时总变形能才等于零。在这种情况下就允许我们把在这种情况下就允许我们把变形能作为一种模的定义（能量模），变形能作为一种模的定义（能量模），并且由此受到启发并且由此受到启发去定义能量内

19、积。去定义能量内积。借用了数学上的借用了数学上的模模与与内积内积的概念，可以抽象的表达总势能函数及分析解的性质。的概念，可以抽象的表达总势能函数及分析解的性质。将将u,v 的能量内积写成的能量内积写成 D(u,v)u 的能量模的能量模),(uuDuH LdxvuEAvuD0),(LHdxuEAuuDu022)(),(对于的轴向受拉杆（图对于的轴向受拉杆（图4-5），有），有 Lf(x)x,u0图4-5vx图4-6 对于弹性基础上的简支梁（图对于弹性基础上的简支梁（图4-6），若），若支承刚度为支承刚度为k(x),则能量内积和能量模的则能量内积和能量模的平方分别为平方分别为 LdxwkvwvEI

20、wuD0)()(),(LHdxkvvEIvvDv0222)(),(),(21vvD当当k 0 时，梁弯曲变形能时，梁弯曲变形能 能量内积能量内积能量模的平方能量模的平方x,uy,v图4-7平面应力问题平面应力问题 vuU分别表达两种不同的位移场分别表达两种不同的位移场 tdxdyxyyxEUxyyxUD0000),(T能量模的平方能量模的平方 tdxdyuxyyxEuxyyxuuDuH0000),(T2能量内积能量内积 外力外力 f 在位移场在位移场 u 上作的功也可表示为内积形式上作的功也可表示为内积形式 (f,u),(),(21ufuuDP0),(),(ufuuDP势能驻值条件势能驻值条件

21、 这里这里 u 泛指一般的位移场，而泛指一般的位移场，而 f 则泛指一般外载荷。这样借助能量内积和则泛指一般外载荷。这样借助能量内积和能量模的概念，我们就可以暂时摆脱问题的具体物理背景，而理论分析得到的结能量模的概念，我们就可以暂时摆脱问题的具体物理背景，而理论分析得到的结论将适用于任何一个具体的问题（椭圆型方程边值问题）。论将适用于任何一个具体的问题（椭圆型方程边值问题）。系统的总势能写成系统的总势能写成：uuuu,2222泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件偏微分方程的定解问题偏微分方程的定解问题4-4 插值逼近的误差分析插值逼近的误差分析hP2(x)x1A1A2x2x3A3图

22、4-81.一维情况一维情况单元单元 e 为长为长 h 的区间，设真解的区间，设真解 u H3(0,h)A1、A2、A3 为曲线为曲线 u(x)上的三个点，过上的三个点，过这三个点作一条二次曲线这三个点作一条二次曲线 p2(x.)xu(x)u0研究以研究以 p2(x)代替代替 u(x)造成的误差造成的误差)()()(2xpxuxE),0(H3hu),0(H)(3hxE3333dxuddxEd误差函数误差函数:22)(dxEddxdExE、在在 0,h 上连续上连续 x1E(x)xx2x*1x30 x*2图4-90)(0)(0)(321xExExE、0dxdE必存在两个点必存在两个点x1*,x2*

23、,x1x1*x2x2*x3 (图图4-9)使得使得 x*xx*10 x*2图4-10 xE因此又可以找到一点因此又可以找到一点x*,x1*x*x2*(图图4-10)使得使得0dxEd22dxxxdxuddxxxdxEddxEd*333322dxhdxuddxhdxuddxxxdxuddxEd010*33333322利用利用Schwarz不等式，则不等式，则23023302203322211uhdxdxuddxdxdxuddxEdhhh32123210232102222uhuhhdxuhdxdxEdEhh进一步可得到误差函数的二次导数的进一步可得到误差函数的二次导数的半半模与函数模与函数 u 的

24、三次导数半模之间的关系的三次导数半模之间的关系类似有类似有huhEhdxdxdEE03222121)(101EhdxdxdEdxdxdEEhxx放大积分区间放大积分区间函数函数u 对对x 的三次导数的半模的平方的三次导数的半模的平方3321022uhdxEEhL3322uhpuL重要结论：重要结论：（1）适当增加单元内插值点个数，增加插值多项式次数，有可能提高精）适当增加单元内插值点个数，增加插值多项式次数，有可能提高精度，但要受到函数本身（真解）可微性的限制。当度，但要受到函数本身（真解）可微性的限制。当u HK(e)、(k2)时采用时采用k1次多项式可以达到最高的精度次多项式可以达到最高的

25、精度(函数本身的误差为函数本身的误差为hk (e)。再增加插值多项式次数，精度当然不会降低，但也未必能够提高。当再增加插值多项式次数，精度当然不会降低，但也未必能够提高。当uH1(e)时一般采用线性插值。时一般采用线性插值。（2）函数本身的精度最好，导数的精度低于函数，导数的阶数越高，精度越低。）函数本身的精度最好，导数的精度低于函数，导数的阶数越高，精度越低。2.一般情况一般情况若函数（真解）若函数（真解）u HK(e),(k2)。在单元内用一个多项式逼近函数在单元内用一个多项式逼近函数u；插值多项式记作插值多项式记作k1u。其中下标。其中下标 k1 意味着插值多项式完全到意味着插值多项式完

26、全到 k1 次次;33232132uhPuuhEuhE当当k2 时有时有 euhCeuukKLk,21 euhCeuukKk,111 euhCeuukKk,221(4-4-1)(4-4-2)(4-4-3)当当 k3 时有时有 （2）当）当uH3(e)时，可以采用二次插值多项式，提高收敛速度。当时，可以采用二次插值多项式，提高收敛速度。当uH1(e)时前述误差估计式不能直接用，但仍可采有线性插值，函数和一时前述误差估计式不能直接用，但仍可采有线性插值，函数和一阶导数的收敛性可以加以证明，但收敛速度可能较慢。阶导数的收敛性可以加以证明，但收敛速度可能较慢。其中其中 h 为单元直径为单元直径，即单元

27、内任意两点之间的最大距离，对三角形为最长边，对矩，即单元内任意两点之间的最大距离，对三角形为最长边，对矩形为对角线。形为对角线。C 代表与代表与 u 和、和、h 无关、只与单元形状（对三角元指内角，对矩形元指长无关、只与单元形状（对三角元指内角，对矩形元指长宽比）有关的常数。宽比）有关的常数。（1）当）当uH2(e)时，采用完全到一次项的多项式，当时，采用完全到一次项的多项式，当h0时函数时函数误差为误差为(h2)阶，一阶导数误差为阶，一阶导数误差为(h)阶。阶。有限元解的误差不仅取决于插值多项式次数，而且有赖于真有限元解的误差不仅取决于插值多项式次数，而且有赖于真实解的可微性（实际的位移场的

28、平缓性）。实解的可微性（实际的位移场的平缓性）。4-5 广义解的可微性角点广义解的可微性角点.有限元解的容许空间有限元解的容许空间),(),(21ufuuDP椭圆型方程边值问题的总势能函数为：椭圆型方程边值问题的总势能函数为：满足强制性边界条件和协调条件、且使总势能取驻值（最小值）的满足强制性边界条件和协调条件、且使总势能取驻值（最小值）的 u 称为在称为在Ritz 意义下的广义解。意义下的广义解。二阶问题：二阶问题：D(u,u)可能包括可能包括 u 和和 u 的一阶导数，为使的一阶导数，为使P存在必须要求存在必须要求u H1()。H1()称为二阶问题的容许空间。称为二阶问题的容许空间。而四阶

29、问题的容许空间则是而四阶问题的容许空间则是H()。u 的能量模的能量模),(uuDuH2.广义解可微性广义解可微性(解函数的平滑性解函数的平滑性)三方面的因素：三方面的因素：材料性质不连续材料性质不连续、载荷不连续载荷不连续以及以及角点角点。(1)材料性质不连续材料性质不连续 假设求解区域假设求解区域由两种材料组成，材料分界线由两种材料组成，材料分界线是一光滑曲线。是一光滑曲线。只要在划分单元时使只要在划分单元时使作为单元边界，那么这作为单元边界，那么这种材料性质的不连续虽然降低了广义解在整个区域种材料性质的不连续虽然降低了广义解在整个区域上的可微性，却不会降低在单元内的可微性。上的可微性，却

30、不会降低在单元内的可微性。(图图4-11)图4-110yx(2)载荷不连续载荷不连续图4-12一维二阶问题（杆拉伸），允许内部载荷为集中力一维二阶问题（杆拉伸），允许内部载荷为集中力 二维二阶问题（膜、平面应力）不允许在二维二阶问题（膜、平面应力）不允许在内施加集内施加集中力（过分奇异）。中力（过分奇异）。二维四阶问题（板弯曲）允许施加集中力。二维四阶问题（板弯曲）允许施加集中力。取载荷不连续处作为单元边界，这种不连续性就不致降低单元内广义取载荷不连续处作为单元边界，这种不连续性就不致降低单元内广义解的可微性。解的可微性。(3)角点角点FEDCBA(a)P2P1(c)P(b)图4-13(d)a

31、角点是指边界上不光滑的点。角点是指边界上不光滑的点。在角点附近往往伴随着应力集中现象，应力变化急剧在角点附近往往伴随着应力集中现象，应力变化急剧。采用逐步加密的单元网格，这种网格在奇点附近采用逐步加密的单元网格，这种网格在奇点附近的单元取的很小，但只采用低阶插值多项式；的单元取的很小，但只采用低阶插值多项式；在奇点附近的单元上假定具有某种奇异项的位移在奇点附近的单元上假定具有某种奇异项的位移场（即，采用与远离奇异点的单元不同的单元）。场（即，采用与远离奇异点的单元不同的单元）。在划分单元时使分界线为单元边界；取角点在划分单元时使分界线为单元边界；取角点为结点，但是单元内假设的多项式形式的插值函

32、为结点，但是单元内假设的多项式形式的插值函数仍然不能很好地逼近角点附近急剧变化的应力数仍然不能很好地逼近角点附近急剧变化的应力场。场。在角点附近挖出一个小扇形区，取为极点，在角点附近挖出一个小扇形区，取为极点，则在极坐标下泊松方程的形式为则在极坐标下泊松方程的形式为 薄膜问题薄膜问题 01122222furrurru 设角点附近的边界为直线，沿此边界施加设角点附近的边界为直线，沿此边界施加 u=0 的边界条件，扇形夹角的边界条件，扇形夹角 (0即出现凹角时，即出现凹角时，u 不在属于不在属于H2。rur12sinrCu=2时，时，具有具有 的奇异性，对应的位移项为：的奇异性，对应的位移项为：平

33、面应力场的裂纹尖端存在着类似的情况（图平面应力场的裂纹尖端存在着类似的情况（图4-14(a)）对于固定对于固定自由边界的分界点上，通过对称延拓，不难看出，与内角为自由边界的分界点上，通过对称延拓，不难看出，与内角为的自由边界的自由边界相当（图相当（图4-14（b）对于凹角（特别是对于裂纹），采用大致均匀的单元网格即使是采用高次插对于凹角（特别是对于裂纹），采用大致均匀的单元网格即使是采用高次插值多项式也不会在奇点附近取得较好的逼近效果（因为在奇点附近，真实解与多值多项式也不会在奇点附近取得较好的逼近效果（因为在奇点附近，真实解与多项式相甚远），而且这种误差会传播到不包含奇导性的其他单元。项式相

34、甚远），而且这种误差会传播到不包含奇导性的其他单元。在裂纹附近的单元中采用除完全的一次项外还可以增加相当于在裂纹附近的单元中采用除完全的一次项外还可以增加相当于 的项的的项的插值方式。插值方式。r4-6 协调位移单元的收敛性和误差估计协调位移单元的收敛性和误差估计uShuhH1u0图4-151.有限元空间有限元空间Sh 对于任何实际需要用有限元分析的问题首先要做到对于任何实际需要用有限元分析的问题首先要做到:(i)将区域将区域划分为划分为m个单元（在平面情况下可以是三角元或矩形元）。个单元（在平面情况下可以是三角元或矩形元）。(iii)选择每个单元内的插值多项式。多项式满足协调性和可微性要求，

35、且多项式选择每个单元内的插值多项式。多项式满足协调性和可微性要求，且多项式的系数要能由单元所包括的结点参数唯一确定。的系数要能由单元所包括的结点参数唯一确定。(ii)配置好每个单元的结点，选择好每个结点参数。对于二阶问题总以结点函配置好每个单元的结点，选择好每个结点参数。对于二阶问题总以结点函数值为结点参数，以下我们仅限于讨论二阶问题。数值为结点参数，以下我们仅限于讨论二阶问题。得到一组基函数得到一组基函数1、2、n。它们满足协调性和可微性要求；每个基函数只。它们满足协调性和可微性要求；每个基函数只在一个结点上为，在其余结点上为零。在一个结点上为，在其余结点上为零。我们把形如我们把形如u=ui

36、i（其中（其中i为定义的基函数，为定义的基函数，ui 任意常数）的函数任意常数）的函数全体称为由基函数全体称为由基函数1、2、n 张成的有限元空间，记作张成的有限元空间，记作 Sh。u 以精确的结点参数值进行插值所得到的分片插值函数。以精确的结点参数值进行插值所得到的分片插值函数。Sh 是一个有限维空间。是一个有限维空间。1,HSuhhuh 有限元解，结点参数由有限元解，结点参数由P=0 定出，一般仅是近似值。定出，一般仅是近似值。11,HSHSuhh.有限元解的投影关系有限元解的投影关系0),(),(ufuuDp0),(),(ufuuD(4-6-1)0),(),(ufuuDh(4-6-2)0

37、),(uuuDh(4-6-3),(),(21ufuuDpu的势能驻值条件可表示为：对任意的势能驻值条件可表示为：对任意 有有 二阶问题的二阶问题的真实解真实解 u 可以表述为：寻找一个可以表述为：寻找一个 u H1(),使得对任何使得对任何u H1()（记作（记作 uH1()）都有都有 有限元解有限元解 uh 则可表述为：寻找一个则可表述为：寻找一个uhSh，使得对，使得对 uSh 都有都有将（将（4-6-1）与（）与（4-6-2）相减）相减（4-6-3）表明：真实解）表明：真实解 u 与有限元解与有限元解 uh 之差与之差与Sh 的任一元素的任一元素 在能量内积的意在能量内积的意义下正交。（

38、图义下正交。（图4-15）。换句话说：）。换句话说：uh 是是 u 在在 Sh 上的投影。上的投影。uuShuhH1u0图4-15即在能量模意义下，即在能量模意义下，uh 是是 Sh 的所有元素中与的所有元素中与 u“最接近最接近”的一个元素。的一个元素。对于对于u （由结点的精确值构造的试探函数）有（由结点的精确值构造的试探函数）有),(),(uuuuDuuuuDhh(4-6-4)证明如下：证明如下：),(2),(),(),(2),(2),(),(),(2),(),(),(),(2hhhhhhhhhhhhhhhhhhuvuuDuvuvDvuvuDuvuvDuvuuDuvuvDvuvuDuvv

39、uDuvuvDvuvuDuvvuuvvuDuuuuDuu0),(0),(hhhhuvuvDuvuuD),(),(vuvuDuuuuDhh(4-6-5)所以有所以有由于由于 上式说明了这样的事实：上式说明了这样的事实：u（精确的结点参数值构成的插值函数）在能量模的意义（精确的结点参数值构成的插值函数）在能量模的意义下并不比下并不比uh（由近似的结点参数值构成的插值函数）在整个求解域内更好（图（由近似的结点参数值构成的插值函数）在整个求解域内更好（图4-16）。）。图4-16xuh x1ux2x30u.收敛性证明收敛性证明 设真实解设真实解 u HK()，各单元的分片插值多项式完全到，各单元的分片

40、插值多项式完全到 k次次（k1次称为次称为有限元空间有限元空间Sh 的次数），有限元解为的次数），有限元解为uh。对于二阶问题，能量模最多同时包括函数及函数的一阶导数。对每个单元对于二阶问题，能量模最多同时包括函数及函数的一阶导数。对每个单元 ei 都有都有(4-6-6)max(1iCCmi)max(1ihhmi2,22212,22212,22211111),(),(),(kkmieikkmieikkiimikkeikkhhuhCuhCuhCuuuuDuuuuDuuuuD 2,2222,1121112),(eikkiiekeLkikkuhCuuCuuCuuuuDi,1),(kkhhHhuChuuuuDuu(4-6-7)误差的能量模估计误差的能量模估计:,)(2kkLkuChuu,1,1kkkuChuu(4-6-8)(4-6-9)当当h0 时时u-uh0 函数的精度高于导数的精度函数的精度高于导数的精度