最小二乘估计-课件.ppt

1、 求线性回归方程求线性回归方程 求线性回归方程的一般步骤求线性回归方程的一般步骤（1 1）计算平均数）计算平均数 、；（2 2）计算）计算x xi i与与y yi i的积，求的积，求 ;（3 3）计算）计算 ;xyniii 1x y2ix（4 4）将上述有关结果代入公式）将上述有关结果代入公式求求b b、a a，写出线性回归方程，写出线性回归方程.求线性回归方程，关键在于正确地求出系数求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a a、b b，由于求，由于求a a、b b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误行，避免因计算产生失误.【例例1

2、 1】（20112011中山模拟中山模拟)某公司近年来科研费用支出某公司近年来科研费用支出x x万万元与公司所获得利润元与公司所获得利润y y万元之间有如下的统计数据：万元之间有如下的统计数据：(1)(1)请画出上表数据的散点图请画出上表数据的散点图;(2)(2)请根据上表提供的数据请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出用最小二乘法求出y y关于关于x x的线的线性回归方程性回归方程y=bx+a.y=bx+a.参考公式：参考公式：【审题指导审题指导】解答本题的关键是明确公式中各量的意义解答本题的关键是明确公式中各量的意义,分分别计算出结果别计算出结果.【规范解答规范解答】（1)1)画出散点图如

3、图：画出散点图如图：【互动探究互动探究】若本题题干不变，若本题题干不变，(1)(1)预测当科研费用支出为预测当科研费用支出为1010万元时，公司所获利润是多少？万元时，公司所获利润是多少？(2)(2)若求若求x x关于关于y y的回归方程呢？的回归方程呢？【解析解析】(1)(1)当当x=10 x=10时，时，y=5.6y=5.610+8.4=64.4.10+8.4=64.4.(2)(2)由由y=5.6x+8.4y=5.6x+8.4得得x=0.179y-1.5.x=0.179y-1.5.故故x x关于关于y y的回归方程为的回归方程为x=0.179y-1.5.x=0.179y-1.5.y8.45

4、.6【变式训练变式训练】在一次实验中，测得（在一次实验中，测得（x,yx,y）的四组值为）的四组值为(1(1，2)2)，(2(2，3)3)，(3(3，4)4)，(4(4，5)5)，则，则y y与与x x之间的线性回归方之间的线性回归方程为程为()()(A)y=x+1 (B)y=x+2(A)y=x+1 (B)y=x+2(C)y=2x+1 (D)y=x-1(C)y=2x+1 (D)y=x-1 【解题提示解题提示】求出求出 ,代入验证代入验证.【解析解析】选选A.A.因为因为 =2.5,=3.5,=2.5,=3.5,而线性回归方程必过点而线性回归方程必过点(,),(,),所以把点所以把点(2.5,3

5、.5)(2.5,3.5)代入各个选项检验知代入各个选项检验知.y12344 xxyyx【例例】以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售以下资料是一位销售经理收集来的销售员每年的销售额和销售经验年数的关系表：额和销售经验年数的关系表：（1 1）根据这些数据画出散点图并作出直线）根据这些数据画出散点图并作出直线y=78+4.2x,y=78+4.2x,计计算算 ;（2 2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 =a+bx=a+bx，并由此计算并由此计算 ;（3 3）比较（）比较（1 1）和（）和（2 2）中两个计算结果的大小）中两个计算结果的大小.10

6、2iii 1y y y102iii 1y y【审题指导审题指导】解答本题的关键是明确解答本题的关键是明确y yi i,y,yi i的意义的意义,代入公代入公式求解式求解.【规范解答规范解答】(1)(1)散点图与直线散点图与直线y=78+4.2xy=78+4.2x如图所示如图所示.当当x x分别取分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,131,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，时，yy的值分别为的值分别为82.2,90.6,94.8,94.8,82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,103.2,111.6,120

7、,120,124.2,132.6,则则 =179.28.=179.28.102iii 1yy（3 3）因为）因为179.28179.28170,170,故用最小二乘法求出的故用最小二乘法求出的 较小较小.102iii 1y y【变式备选变式备选】(2010(2010广东高考改编广东高考改编)某市居民某市居民2005200520092009年家庭平均收入年家庭平均收入x x（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）与年平均支出Y Y（单位：（单位：万元）的统计资料如下表所示：万元）的统计资料如下表所示：(1)(1)根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是

8、_，（2 2）家庭年平均收入与年平均支出是否线性相关？）家庭年平均收入与年平均支出是否线性相关？【解析解析】(1)(1)收入数据按大小排列为：收入数据按大小排列为：11.511.5、12.112.1、1313、13.313.3、15,15,所以中位数为所以中位数为13.13.(2)(2)可作出散点图判断：线性相关可作出散点图判断：线性相关.回归方程的应用回归方程的应用1.1.回归方程的应用体现在以下几个方面：回归方程的应用体现在以下几个方面：(1)(1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程即可定量的描述两个变量间的依赖关系量的描述两个变量间

9、的依赖关系.(2)(2)利用回归方程可以进行预测利用回归方程可以进行预测,把预报因子把预报因子(相当于随机变相当于随机变量量x)x)代入回归方程对预报量代入回归方程对预报量(相当于因变量相当于因变量y)y)进行估计进行估计,即即可得到个体可得到个体y y值的允许区间值的允许区间.(3)(3)利用回归方程进行统计控制规定利用回归方程进行统计控制规定y y值的变化值的变化,通过控制通过控制x x的范围来实现统计控制的目标的范围来实现统计控制的目标.2.2.应用线性回归方程的方法技巧应用线性回归方程的方法技巧（1 1）求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性）求线性回归方程时，应注意只有在散点

10、图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系.（2 2）求线性回归方程，关键在于正确地求出系数）求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a a、b b，由，由于求于求a a、b b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误免因计算产生失误.（3 3）得到的实验数据不同，则）得到的实验数据不同，则a a、b b的结果也不尽相同的结果也不尽相同.在线性回归方程中，在线性

11、回归方程中，b b是线性回归方程的斜率，是线性回归方程的斜率，a a是截距；是截距；b b的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表它代表x x每增加一个单位，每增加一个单位，y y平均增加的单位数为平均增加的单位数为b b个单位个单位.【例例2 2】一个车间为了规定工时定额一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所需要确定加工零件所花费的时间花费的时间,为此进行了为此进行了1010次实验次实验,收集数据如下收集数据如下:（1 1）画出散点图）画出散点图;（2 2）求线性回归方程）求线性回归方程.【审题指导审题指导】先画散点图，判断其是否线性相关，

12、再利用先画散点图，判断其是否线性相关，再利用最小二乘法求其回归方程最小二乘法求其回归方程.【规范解答规范解答】（1 1）散点图如图所示）散点图如图所示.由散点图知二者呈线性相关关系由散点图知二者呈线性相关关系.（2 2）设线性回归方程为）设线性回归方程为y=bx+a.y=bx+a.列表并利用科学计算器进行有关计算列表并利用科学计算器进行有关计算.所以所以b=0.668,b=0.668,a=-b=91.7-0.668a=-b=91.7-0.66855=54.96.55=54.96.故所求线性回归方程为故所求线性回归方程为y=0.668x+54.96.y=0.668x+54.96.255 950

13、10 55 91.738 500 10 55yx【变式训练变式训练】一种产品的宣传费支出一种产品的宣传费支出x x与销售额与销售额y(y(单位：万单位：万元元)之间有如下对应数据：之间有如下对应数据：(1)(1)画出散点图；画出散点图；(2)(2)求线性回归方程；求线性回归方程；(3)(3)试预测宣传费支出为试预测宣传费支出为1010万元时，销售额多大？万元时，销售额多大？【解析解析】(1)(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：根据表中所列数据可得散点图如图所示：a=-b=50-6.5a=-b=50-6.55=17.5,5=17.5,因此，所求线性回归方程是因此，所求线性回归方程是y=6.

14、5x+17.5.y=6.5x+17.5.yx(3)(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为1010万万元时，元时，y=6.5y=6.510+17.5=82.5(10+17.5=82.5(万元万元)，即这种产品的销售额大约为即这种产品的销售额大约为82.582.5万元万元.【误区警示误区警示】求各组数据时要认真仔细，以防出错求各组数据时要认真仔细，以防出错.【典例典例】（20112011包头高二检测包头高二检测)假设关于某设备的使用年假设关于某设备的使用年限限x x和所支出的维修费用和所支出的维修费用y y（万元）有如表格所示的统计数（万元）

15、有如表格所示的统计数据，由资料显示据，由资料显示y y对对x x呈线性相关关系呈线性相关关系.(1)(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出请根据上表数据，用最小二乘法求出y y关于关于x x的线性回归的线性回归方程方程.(2)(2)试根据（试根据（1 1）求出的线性回归方程，预测使用年限为）求出的线性回归方程，预测使用年限为1010年时年时,维修费用是多少维修费用是多少?【审题指导审题指导】解答本题的关键是最小二乘法求回归方程解答本题的关键是最小二乘法求回归方程,再再利用它的意义解答第（利用它的意义解答第（2 2）问）问.【规范解答规范解答】(1)=3(1)=32.5+42.5+43+53+5

16、4+64+64.5=66.5 4.5=66.5 =4.5 =3.5=4.5 =3.5 =3 =32 2+4+42 2+5+52 2+6+62 2=86 b=0.7=86 b=0.7a=-b=3.5-0.7a=-b=3.5-0.74.5=0.35.4.5=0.35.故线性回归方程为故线性回归方程为y=0.7x+0.35.y=0.7x+0.35.4iii 1x yx34564y2.5344.54 42ii 1x266.54 4.5 3.5864 4.5 66.5638681yx(2)(2)当当x=10(x=10(年年)时时,维修费用是维修费用是0.70.710+0.35=7.35(10+0.35=

17、7.35(万元万元)，所以根据回归方程的预测，使用年限为所以根据回归方程的预测，使用年限为1010年时年时,维修费用是维修费用是7.35(7.35(万元万元).).【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】（20112011厦门高二检测厦门高二检测)改革开放改革开放3030年以来，年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省我国高等教育事业迅速发展，对某省1990199020002000年考大学年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990199020002000年依次编号为年依

18、次编号为0 01010，回归分析之后得到每年考入大学的百，回归分析之后得到每年考入大学的百分比分比y y与年份与年份x x的关系为：的关系为：城市：城市：=2.84x+9.50=2.84x+9.50；县镇：县镇：=2.32x+6.76=2.32x+6.76；农村：农村：=0.42x+1.80.=0.42x+1.80.y y y根据以上线性回归方程，城市、县镇、农村三个组中，根据以上线性回归方程，城市、县镇、农村三个组中，_的大学入学率增长最快的大学入学率增长最快.按同样的增长速度，可预测按同样的增长速度，可预测20102010年，农村考入大学的百分比为年，农村考入大学的百分比为_%._%.【解

19、析解析】大学入学率增长最快指得是斜率较大的那个组大学入学率增长最快指得是斜率较大的那个组.把把x=20 x=20代入可求得结果代入可求得结果.答案答案:城市城市 10.210.21.1.下列命题：下列命题：线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；的直线的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；可以用线性关系表示；通过回归直线通过回归直线y ybxbxa a及回归系数及回归系数b b，可以估计和预测变，可以估计和预测变量的取值和变化趋势量

20、的取值和变化趋势.其中正确的命题是其中正确的命题是()()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)【解析解析】选选D.D.利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据的点到直线的距离的平方和的最小值的点到直线的距离的平方和的最小值.利用线性回归方程，利用线性回归方程，可以进行预测可以进行预测.而从散点图的分布可以判断是否线性相关而从散点图的分布可以判断是否线性相关.2.2.有关线性回归的说法，不正确的是有关线性回归的说法，不正确的是()()(A)(A)相关关系的两个变量是非确定关系相关关系的两个变量是非确定关系(B)(B)散点图能直接地反映数据的相关程度

21、散点图能直接地反映数据的相关程度(C)(C)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系(D)(D)散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强【解析解析】选选D.D.散点图上的点大致分布在通过散点图中心的散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系那条直线附近，整体上呈线性分布时，两个变量相关关系越强越强.3.3.若施化肥量若施化肥量x kgx kg与水稻产量与水稻产量y kgy kg在一定范围内线性相关，在一定范围内线性相关，若回归方程为若回归方程为y y5x

22、5x250.250.当施化肥量为当施化肥量为80 kg80 kg时，预计水时，预计水稻的产量为稻的产量为_._.【解析解析】当当x x8080时，时，y y5 58080250250650(kg).650(kg).答案答案:650 kg650 kg4.4.某饮料店的日销售收入某饮料店的日销售收入y(y(单位：百元单位：百元)与当天平均气温与当天平均气温x(x(单位：单位：)之间有下列数据：之间有下列数据：甲甲,乙乙,丙三位同学对上述数据进行了研究丙三位同学对上述数据进行了研究,分别得到了分别得到了x x与与y y之间的三个线性回归方程之间的三个线性回归方程y=-x+2.8;y=-x+2.8;y=-x+3;y=-x+3;y=y=-1.2x+2.6,-1.2x+2.6,其中正确的是其中正确的是_;_;【解析解析】把把 ,代入可知代入可知.答案答案:xy5.5.已知变量已知变量x x，y y线性相关，线性相关，x x与与y y有下列对应数据：有下列对应数据：求求y y对对x x的线性回归方程的线性回归方程.【解析解析】132 31 2 3 45722xy4244 ，422222ii 1x123430 ，4iii 11343x y123 2 4 3222，4iii 1422ii 143574x y4xy4224b255x4x30 44，745141aybx.yx.452454