有限与无限的问题65张幻灯片.ppt

1、1有限与无限的问题有限与无限的问题 数学文化数学文化课程组课程组2高等数学与初等数学的区别？高等数学与初等数学的区别？3更加全面；更加全面；更加深刻；更加深刻；更加细微；更加细微；更加本质；更加本质；更加理论化；更加理论化；更加系统化；更加系统化；4高等数学与初等数学的区别？高等数学与初等数学的区别？从从 研究研究“常量常量”发展到研究发展到研究“变量变量”从从 研究研究“有限有限”发展到研究发展到研究“无限无限”初等数学更多地在初等数学更多地在“有限有限”的领域里的领域里讨论，更多地以讨论，更多地以“有限有限”为手段和工具进为手段和工具进行讨论；行讨论；高等数学则更多地在高等数学则更多地在“

2、无限无限”的领域的领域里讨论，更多地以里讨论，更多地以“无限无限”为手段和工具为手段和工具进行讨论。进行讨论。5什么是悖论什么是悖论 悖论：从悖论：从“正确正确”的前提出发，经过的前提出发，经过“正确正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。的逻辑推理，得出荒谬的结论。悖论（悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，；反之，以非以非B为前提，亦可推得为前提，亦可推得B。那么命题。那么命题B就是一个就是一个悖论

3、。悖论。所谓正确所谓正确6 例如：例如：“甲甲 是是 乙乙”与与 “甲甲 不是不是 乙乙”这两个命题中总有一个是错的；这两个命题中总有一个是错的；但但 “本句话本句话 是是 七个字七个字”与与 “本句话本句话 不是不是 七个字七个字”又均是对的，这就是悖论。又均是对的，这就是悖论。7 再如：再如：“万物皆数万物皆数”学说认为学说认为“任何任何数都可表为整数的比数都可表为整数的比”；但以；但以1 1为边的正方为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。也是悖论。1.1.外祖母悖论外祖母悖论 我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外我会穿梭

4、时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了母就没了，我也就没了这就是悖论，自己与自己就有矛盾。这就是悖论，自己与自己就有矛盾。3.“3.“说谎者循环说谎者循环”A A说：说：“下面是句谎话。下面是句谎话。B B说：说：“上面是句真话。上面是句真话。”2.2.说谎者悖论说谎者悖论自指引发的悖论自指引发的悖论 “我正在说谎我正在说谎”有克利特人中的一个本地中先知说：

5、有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽，克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒又馋又懒”(圣经圣经提多书提多书第一章第一章)物理学中物理学中“平行宇宙平行宇宙”这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界大战、电脑网络大战、电脑网络如果将整个工业时代去掉，那至此如果将整个工业时代去掉，那至此以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大以后

6、的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影。这个时候可能正在遭受着战争的阴影。这个时候“外祖母悖论外祖母悖论”就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外就有了合理的解释：一个人可以回到过去杀死自己的外祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有那个人（原先的轨道），而另一条中没有那个人。那个人（原先的轨道），而另一条中没有

7、那个人。The Time MachineThe Matrix13 一、芝诺悖论一、芝诺悖论-由无限引出的由无限引出的 芝诺（前芝诺（前490490？前前430430？）是（南意大利的）爱？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：学派的学说：“多多”和和“变变”是虚幻的，不可分是虚幻的，不可分的的“一一”及及“静止的存在静止的存在”才是唯一真实的；运才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝芝诺悖论诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。这些悖论是从哲学角度提出的。1

8、）两分法向着一个目的地运动的物体，首先要先走完向着一个目的地运动的物体，首先要先走完路程的路程的1/2，再走完剩下总路程的，再走完剩下总路程的1/2，再走，再走完剩下的完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能如此类推，以至无穷，永远不能到达终点。到达终点。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。不可能开始的。15 2）阿基里斯阿基里斯(Achilles)悖论悖论：阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。3）飞矢不动悖论）飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的：一支飞行的箭是静止的：由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而由于每一时刻这支箭都有其确定的

9、位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。是静止的，因此箭就不能处于运动状态。4）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静两件物体以等速向相反方向运动。从静止的止的C看来，比如说，看来，比如说，A、B都在都在1小时内移小时内移动了动了2公里；可是，从公里；可是，从A看来，则看来，则B在在1小时内小时内就移动了就移动了4公里。由于公里。由于B保持等速移动，所以保持等速移动，所以移动移动2公里的时间应该是移动公里的时间应该是移动4公里时间的一公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。半。因而一半的时间等于两倍的时间。182.症结症结“有限与无限有限与无限”的矛盾的矛盾 无限

10、段长度的和，可能是有限的；无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。无限段时间的和，也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？19 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连空间和时间是连续的续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离空间和时间是离散的散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病

11、；所。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，以，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。说是巨大的贡献。book.huihoo/paradox-box/从惊讶到思考从惊讶到思考数学悖论奇景数学悖论奇景21二、二、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1.“客满客满”后又来后又来1位客人位客人（“客满客满”

12、？）？）1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 22 2.客满后又来了一个旅游团，旅游团客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 23 3.客满后又来了一万个旅游团，每个团客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 24全面、深刻地揭示本质的回答全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。是容易推广的。25

13、 2.客 满 后 又 来 了 一 个 旅 游 团，旅 游 团客 满 后 又 来 了 一 个 旅 游 团，旅 游 团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 共两个这样的旅游团，所以把房间两个一份、两个一共两个这样的旅游团，所以把房间两个一份、两个一份地分，可以让两个旅游团的份地分，可以让两个旅游团的1 1号客人、号客人、2 2号客人、。号客人、。分别入住。分别入住。26 3.客满后又来了一万个旅游团，每个团客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40

14、004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 27全面、深刻地揭示本质的回答全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。是容易推广的。该旅馆客满后又来了该旅馆客满后又来了9857个旅游团，每个团个旅游团，每个团中都有无穷个客人，如何安排？中都有无穷个客人，如何安排？该旅馆客满后又来了该旅馆客满后又来了10亿个旅游团，每个团亿个旅游团，每个团中都有无穷个客人，如何安排？中都有无穷个客人，如何安排？28是否有人想提什么问题？是否有人想提什么问题？29 4.该旅馆客满后又来了无穷个旅游该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能团，每个团中都有无穷个

15、客人，还能否安排？否安排？“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”-Hilbert30三、无限与有限的区别和联系三、无限与有限的区别和联系 1.区别区别 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。部分总是小于全体。31 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8

16、 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由元素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。32 2.2.）“有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无无限限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律 成立成立:(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，a

17、 a，b b，c c 33 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立。如再成立。如1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)01(1)1(1)1(1)11 34 （2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。1niia1(1)ii35 2.2.联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，往间建立联系的手段，往往很重要。往很重要。1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了

18、命通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。题对无限个自然数均成立。2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。通过有限的方法，描写无限的过程。如：如：；自然数自然数N，都，都 ，使，使 时，时，。limnna knknaN36 3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 ,n=2,3,=2,3,1112ii1nnaad37 3.数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）（整体看又是圆的）2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件：

19、每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）（许多刀合在一起的效果又是光滑的）38 3 3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形的面积规则图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小（格子的数用方格套（想像成透明的）。方格越小（格子的数目越多），所得面积越准。目越多），所得面积越准。39 法法.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形则图形若干个曲边梯形），

20、再设法求曲边梯若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，形的面积：划分，求和，矩形面积之和矩形面积之和 近似等于曲边梯形面积；近似等于曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极越小，就越精确；再取极 ，就得到曲边梯形，就得到曲边梯形的面积。的面积。()iiifx040 四、四、潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。种方式，不是一个实体。41 从古希腊到康托以前的大多数哲学家

21、和数学家都持从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的正整数集是无限的”来自来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从写在一张张小纸条上，从1 1，2 2，3 3，写起，每写一张，写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。它只能存在于人们的

22、思维里。亚里士多德只承认潜无限，不承认直线是由点构成。亚里士多德只承认潜无限，不承认直线是由点构成。42 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。和待遇都不太好。高斯反对实无限：反对把无穷量作

23、为现实高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认为无限只不过是一种说话的方式的实体，认为无限只不过是一种说话的方式 实无限、潜无限只是一个硬币的两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在现代数学中都是有用武之地。微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼近的过程，也是一个可供研究的实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静的最大敌人44康托Georg Ferdinand Philip Cantor(18451918)德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年1

24、7岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。由于康托尔的无穷学说从根本上否定了由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于整体大于部分部分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一

25、种惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一种“疾疾病病”，康托尔的概念是，康托尔的概念是“雾中之雾雾中之雾”，甚至说康托，甚至说康托尔是尔是“疯子疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。被送进精神病医院。19181918年年1 1月月6 6日，康托尔在一家日，康托尔在一家精神病院去世。精神病院去世。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。三次数学危机与三次数学危机与“无限的联系无限的联系 第一次数学危机的要害是不认识无

26、理数，而无理数是无限不循第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。第二次数学危机的要害是极限理论的逻辑基础不完善，而极限第二次数学危机的要害是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是正是“有穷过渡到无穷有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量无穷小量”上。由于无穷和有穷的本质区别，所以极限的严格定上。由于无穷和有穷的本质区别，所以极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性这样一些问题就显得特别重义，极限的存在性，无穷级数的收敛性这

27、样一些问题就显得特别重要。要。第三次数学危机的要害是第三次数学危机的要害是“是其本身成员的所有集合的集合是其本身成员的所有集合的集合”这样界定集合的说法有毛病。人们犯了自我指谓、恶性循环的错误。这样界定集合的说法有毛病。人们犯了自我指谓、恶性循环的错误。而且而且“所有集合的集合所有集合的集合”这样的说法涉及无穷多个集合，有些矛盾这样的说法涉及无穷多个集合，有些矛盾可能掩盖在其中难以发觉，特别是无穷集合之间也可能比较大小，可能掩盖在其中难以发觉，特别是无穷集合之间也可能比较大小，这一新鲜事物让许多人难以接受。这一新鲜事物让许多人难以接受。47 2无限集合也有无限集合也有“大小大小”从从“一一对应

28、一一对应”说起说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的有不同的“大小大小”。正整数集合是最正整数集合是最“小小”的无限集合。的无限集合。实数集合比正整数集实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。数的集合又比实数集合更大。不存在最不存在最“大大”的无限集合（即对于任何无限集合，的无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更都能找到更“大大”的无限集合）。的无限集合）。“无穷集合”的本质“无穷集合无穷集合”中一定可以找到一个真子集，中一定可以找到一个真子集，与全集一一对应。与全集一

29、一对应。如果一个集合中能够找到一个真子集，与全如果一个集合中能够找到一个真子集，与全集一一对应，这个集合一定是集一一对应，这个集合一定是“无穷集合无穷集合”。49 这需要这需要“一一对应一一对应”的观点。的观点。1 1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+满射）满射）2 2）集合的势）集合的势|A|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3 3）|N|=|N|=可数无穷势可数无穷势 a ，|Q|=|Q|=a 4 4）|R|=|R|=不可数无穷（称连续统势不可数无穷（称连续统势 c c）,：无理数比有理数多得多。：无理数比有理数多得多。ca50 5 5）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势）

30、无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是是 a a；不存在最大的势。；不存在最大的势。6 6）“连续统假设连续统假设”长期未彻底解决长期未彻底解决 “连续统假设连续统假设”：可数无穷：可数无穷 a a 是无限集中最小的是无限集中最小的势，连续统势势，连续统势 c c 是（否？）次小的势。是（否？）次小的势。？acadc51 康托康托18821882年曾认为他证明了这一假年曾认为他证明了这一假 设，后来发现证明有错。设，后来发现证明有错。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。的兴趣。无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线段(或者

31、就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题，展开了无休止的争论。他们的现代追随者物理学家们今天仍然还在设法解决同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从另一个极端的无限广阔的尺度上思索着无穷大问题。我们的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！古希

32、腊哲学家、诗人古希腊哲学家、诗人卢克莱修认为宇宙是无卢克莱修认为宇宙是无限的，在其哲理长诗限的，在其哲理长诗物性论物性论中曾提到：中曾提到：如果你说宇宙是有限的，如果你说宇宙是有限的，那么我的拐杖就能扔出那么我的拐杖就能扔出这个有限的宇宙去！这个有限的宇宙去！德国数学家黎曼对这一问题给出了解答，举例说明：德国数学家黎曼对这一问题给出了解答，举例说明：一只圆盘的表面是有限的，也是有界的，一只蚂蚁走到圆一只圆盘的表面是有限的，也是有界的，一只蚂蚁走到圆盘的边界就会掉下去；而一个足球的表面是有限的，却是盘的边界就会掉下去；而一个足球的表面是有限的，却是无界的，无论蚂蚁在球面上怎么走都不会碰到边界无界

33、的，无论蚂蚁在球面上怎么走都不会碰到边界 这种对这种对“无限无限”和和“无界无界”的区分，尤其是有限无界的的区分，尤其是有限无界的提法具有很重要的哲学意义：否定了宇宙是无限的说法。提法具有很重要的哲学意义：否定了宇宙是无限的说法。即：这个宇宙是有限的，而不是无限的；这个宇宙不是即：这个宇宙是有限的，而不是无限的；这个宇宙不是无限宇宙中的有限宇宙，在这个宇宙之外已经没有任何空无限宇宙中的有限宇宙，在这个宇宙之外已经没有任何空间了！间了！55 五哲学中的无限五哲学中的无限 1哲学对哲学对“无限无限”的兴趣的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无无限限”的概念

34、，就引起了哲学家广泛的关注和研究。的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：现在我们知道哲学中有下边一些命题：56 物质是无限的；时间与空间是无限的；物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对一个人的生命是有限的；一个人对 客观世界的认识是有限的。客观世界的认识是有限的。57 2数学对数学对“无限无限”的兴趣的兴趣 数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。了人类认识无限的能力。在在有限有限环境中生存的环境中生存的有限有限的人

35、的人类，获得把握类，获得把握无限无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对的情感；对无限无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。“无限无限”与与“有限有限”有本

36、质的区别有本质的区别“有限有限”中的结论，中的结论，不能随便用到不能随便用到“无限无限”中中“无限无限”中有许多奥秘中有许多奥秘今后我们应该重视今后我们应该重视“无限无限”59 思思 有无穷个房间的旅馆，客满后有无穷个房间的旅馆，客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？无穷个客人，还能否安排？60 答答 ：能。能。法法I.I.将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入入1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，各号房间顺序入住，则所有人都有各号房间顺序入住，则所有人都有房间住。房间住。一团：一团

37、：1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 1.2 1.3 1.4 二团：二团：2.1 2.2 2.3 2.4 2.1 2.2 2.3 2.4 三团：三团：3.1 3.2 3.3 3.4 3.1 3.2 3.3 3.4 61 思思：构造一个构造一个“部分到整体的一部分到整体的一一对应一对应”：从：从0 0，1 1）0 0，+）。）。62 答答：即即 :0,1)0,f1()11f xx111xx630.20.40.60.8150100150200250 的图像1()11f xx200200年前英国诗人威廉年前英国诗人威廉布莱克（布莱克（William BlakeWilliam Blake）(175

38、7-(1757-1827)1827)，绝对是个开悟之人，大概他也懂得微积分，他写，绝对是个开悟之人，大概他也懂得微积分，他写了一首悟道心得的好诗：了一首悟道心得的好诗：一沙一世界一沙一世界 To see a World in a Grain of SandTo see a World in a Grain of Sand一花一天堂一花一天堂 And a Heaven in a Wild FlowerAnd a Heaven in a Wild Flower双手握无限双手握无限 Hold Infinity in the palm of your hand Hold Infinity in the palm of your hand 刹那是永恒刹那是永恒 And Eternity in an hourAnd Eternity in an hour Auguries of Innocence 天真的预言天真的预言65快乐无极限快乐无极限开心到永远开心到永远