中学教育-三角形内角和定理.pptx

1、第七章 平行线的证明学习目标（学习目标（1分钟）分钟）1、认识三角形外角及内角和定理的两个、认识三角形外角及内角和定理的两个推论及其证明推论及其证明 2、会运用三角形内角和定理的两个推论、会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题解决相关问题自学指导（自学指导（2分钟）分钟）学生自学，教师巡视（学生自学，教师巡视（5分钟）分钟）1.由一个公理或定理直接由一个公理或定理直接 ，叫做这，叫做这 个公理或定理的推论。推论可以当作个公理或定理的推论。推论可以当作 .推导出的定理推导出的定理定理使用定理使用2.三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:推论推论1:推论推论2:.三角形的一个外角等于

2、和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的外角：、三角形的外角：。内角的一条边与另一边的反向延长线组成的角内角的一条边与另一边的反向延长线组成的角4、一个三角形有、一个三角形有 个外角；每个外角与相邻内角之个外角；每个外角与相邻内角之和等于和等于 ；三角形的内角和等于；三角形的内角和等于 ；三角形的；三角形的外角和等于外角和等于 。3180180360自学检测（自学检测（12分钟）分钟）3 32 21ABC5641、根据、根据“三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和三角

3、形一个外角等于不相邻的两个内角的和”可知：可知：1=+.2=+.3=+.三式相加得：三式相加得：1+2+3 =2（+）(1)而而 4+5+6=。(2)比较（比较（1）与（）与（2）可得：）可得：5646544561+2+3=3601802.2.如图如图1=351=35,2=78,2=78,3,3的的度数等于度数等于_；如果；如果4=164=16那么那么2 25 5的度数等于的度数等于_._.67164.4.已知：如图所示已知：如图所示.求证：求证：(1)1)BDCABDCA；(2)BDC=A+B+C.(2)BDC=A+B+C.BCAD3.3.已知：如图所示已知：如图所示,在在ABCABC中中,

4、DCA=100 DCA=100,A=45,A=45求：求：B B和和ACBACB的大小的大小.ABCD1001004545解：解：DCADCA是是ABCABC的的 一个外角一个外角(已知已知)DCA=100DCA=100(已知已知)A=45A=45(已知已知)B=100 B=100-45-45=55=55(三角形的一个外角等于和三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和它不相邻的两个内角的和)又又DCA+BCA=180DCA+BCA=180(平角的定义平角的定义)ACB=80 ACB=80(等式的性质等式的性质)3.3.已知：如图所示已知：如图所示,在在ABCABC中中,DCA=100 D

5、CA=100,A=45,A=45求：求：B B和和ACBACB的大小的大小.ABCD1001004545答案答案E4.4.已知：如图所示已知：如图所示.求证：求证：(1)1)BDCABDCA；(2)BDC=A+B+C.(2)BDC=A+B+C.证明证明(1)(1)：延长交于延长交于BDCBDC是是DECDEC的一个外角的一个外角 BDCDECBDCDEC(三角形的一个外角大于任何一三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角个和它不相邻的内角)DECDEC是是ABEABE的一个外角的一个外角DECADECA(三角形的一个外角大于任何一个三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角和它不相邻的内

6、角)BDCABDCA (不等式的性质不等式的性质)BCAD4.4.已知：如图所示已知：如图所示.求证：求证：(1)1)BDCA;BDCA;(2)BDC=A+B+C.(2)BDC=A+B+C.证明：证明：(2)BDC(2)BDC是是DECDEC的一个外角的一个外角 BDC=C+DEC BDC=C+DEC(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和)DECDEC是是ABEABE的一个外角的一个外角 DEC=A+B DEC=A+B(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和邻的两个内角的和)BDC=A+B+C BDC=A+

7、B+C (等量代换等量代换)BCADE三角形内角和定理三角形内角和定理 ：w 推论推论1 1：w 推论推论2 2：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.点拨：点拨：能从内和外、相等和不等的不同角度对三角能从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。形的角作更全面的思考。例例2 2 已知已知:如图，在如图，在ABCABC中中,ADAD平分外角平分外角EAC,B=C.EAC,B=C

8、.求证：求证：ADBC.ADBC.证明：证明：EAC=B+C EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和)B=C B=C(已知已知)C=EACC=EAC(等式性质等式性质)DAC=CDAC=C(等量代换等量代换)ADBC ADBC(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).).ACDBE AD AD平分平分EACEAC(已知已知)DAC=EACDAC=EAC(角平分线的定义角平分线的定义)例题是运用了例题是运用了定理定理“内错角内错角相等相等,两直线两直线平行平行”得到了得到了证明证明.还有其它方法吗？还有其它方法吗？讨论、更正

9、讨论、更正证明：证明：EAC=B+CEAC=B+C (三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和)B=C B=C(已知已知)B=EACB=EAC(等式性质等式性质)ACDBE AD AD平分平分EACEAC(已知已知)DAE=EACDAE=EAC(角平分线的定义角平分线的定义)DAE=BDAE=B(等量代换等量代换)ADBC ADBC(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行)这里是运用了公理这里是运用了公理“同同位角相等，两直线平行位角相等，两直线平行”得到了证明得到了证明.已知已知:如图在如图在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角E

10、AC,B=C.EAC,B=C.求证：求证：ADBC.ADBC.当堂训练（当堂训练（17分钟）分钟）1 1、求下列各图中、求下列各图中1 1的度数。的度数。30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 1908595ACB2、比较角的大小。、比较角的大小。（1）ACD A ()；（2）ACD B ()D3、如图，已知、如图，已知ABCD，A50，CE则则C（）A20 B25 C30 D40BABCDE504 4 已知：在已知：在ABCABC中中,1,1是是它的一个外角它的一个外角,E,E为边为边ACAC上上一点一点,延长延长BCBC到到D,D,连接连接DE.DE.求证求证:12.:12

11、.CABF1345ED2选做题选做题2.2.已知：如图在已知：如图在ABCABC中，中，ADBCADBC于于D D，AEAE平分平分BAC(CB)BAC(CB)，求证：，求证：EAD=(C-B)EAD=(C-B)1 1、如图：是一个五角星，求证、如图：是一个五角星，求证A A+B B+C C+D D+E E=180=180 21BEDCAABCDE4 4 已知：在已知：在ABCABC中中,1,1是是它的一个外角它的一个外角,E,E为边为边ACAC上上一点一点,延长延长BCBC到到D,D,连接连接DE.DE.求证求证:12.:12.证明：证明：1 1是是ABCABC的外角的外角 (已知已知)13

12、 13 (三角形的一个外角大于任何一个和三角形的一个外角大于任何一个和它不它不相相 邻的内角邻的内角)33是是CDECDE的一个外角的一个外角 3232 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角邻的内角)12 12 (不等式的性质不等式的性质)CABF1345ED2解解:1是是BDF的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),1=B+D(三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等于和它不相邻的两个内角的和).2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和).又A+1+2=18

13、0(三角形内角和定理三角形内角和定理).又又 2是是EHC的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E=180(等式性质等式性质)1.1.如图如图1 1：是一个五角星，：是一个五角星，求证：求证：A A+B B+C C+D D+E E=180=180 解：解：AEAE平分平分BACBAC，BAE=CAE=BACBAE=CAE=BACBAC=180BAC=180-（B+CB+C）EAC=180EAC=180-（B+CB+C）ADBCADBC，ADC=90ADC=90，DAC=180DAC=180-ADC-C=90-ADC-C=90-C-C，EAD=EAC-DACEAD=EAC-DACEAD=180EAD=180-（B+CB+C）-（9090-C-C）=（C-BC-B）2.2.已知：如图在已知：如图在ABCABC中，中，ADBCADBC于于D D，AEAE平分平分BAC(CB)BAC(CB)，求证：求证：EAD=(C-B)EAD=(C-B)21BE DCA21212121