电磁场与电磁波(第三章)静电场分析课件.ppt

1、第第 3 3 章章 静电场分析静电场分析v以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。恒定电场的特性和求解方法。静电场的静电场的基本方程基本方程(真空中和媒质中）真空中和媒质中）静电场的辅助函数静电场的辅助函数电位函数电位函数静电场的静电场的边界条件边界条件恒定电场恒定电场分析分析静电场的静电场的能量能量方程方程v主要内容：主要内容：v静电场：恒定不变的电场。即：静电场：恒定不变的电场。即：0Et物理意义：穿过任意闭合面物理意义：穿过任意闭合面S S的电通量只与闭合面内所的电通量只与闭合面内所围电荷量有关。围电荷量有关。0(

2、)SD rdSQ静电场高斯定理积分形式静电场高斯定理积分形式式中：式中：S S为高斯面，是一闭合曲面，为高斯面，是一闭合曲面，Q Q为高斯面所围的电荷总量。为高斯面所围的电荷总量。一、真空中静电场的高斯一、真空中静电场的高斯 散度定理散度定理第一节第一节 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程00DE静电场分析的基本量：静电场分析的基本量：E D、静电场高斯定理微分形式静电场高斯定理微分形式说明：电场散度仅与电荷分布相关，其大小说明：电场散度仅与电荷分布相关，其大小()r若电荷是以体密度若电荷是以体密度 分布，则：分布，则：000()()()()()()SVVVD rdSr dVD r

3、dVr drVDr()r二、真空中静电场的旋度二、真空中静电场的旋度 环路定律环路定律物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零静电力做功为零静电场为保守场。（电力线不构成闭合静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）回路）0CE dl 静电场守恒定律静电场守恒定律qABARBRl(00)sEsE rd斯托克斯公式斯托克斯公式小结：真空中静电场的基本方程小结：真空中静电场的基本方程微分形式微分形式0()()()0DrrE r0()()0SCDrdSQE r dl积分形式积分形式静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。

4、静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。静电场的源：电荷静电场的源：电荷00DE三、利用高斯定理求解静电场三、利用高斯定理求解静电场001()()SVQE rdSr dVv关键：高斯面的选择。关键：高斯面的选择。v高斯面的选择原则：高斯面的选择原则：v用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。布的电荷系统。1 1）高斯面为闭合面；高斯面为闭合面；2 2）场点位于高斯面上；）场点位于高斯面上；3 3）在整个或分段高斯面上，）在整个或分段高斯面上，的幅值为常值（包括为的幅值为常值（包括为0 0）。）。方向平行或垂直于高斯面方向平行或垂

5、直于高斯面E四、例题四、例题例题例题一一例题二例题二例题三例题三例题例题四四例题一例题一求电荷密度为求电荷密度为 的无限大面电荷在空间中产生的电场。的无限大面电荷在空间中产生的电场。S x y z EE解：取如图所示高斯面。解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有0()SQE rdS120()()()szzSE r e SE re S 02sE00(0)2(0)2szszezEez分析：电场方向垂直表面。在分析：电场方向垂直表面。在平行电荷面的面上大小相等。平行电荷面的面上大小相等。Snnn例题二例题二求无限长线电荷求无限长线电荷 在真空中产生的电场。在真空中产生的电场。E解：取如图

6、所示高斯面。解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有0()SQE rdS0()(2)llE rrl02lrEer分析：电场方向垂直圆柱面。分析：电场方向垂直圆柱面。电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。rl a解：解：1)1)取如图所示高斯面。取如图所示高斯面。在球外区域：在球外区域：r r a a0()SQE rdS20()(4)rQE rre204rQEer分析：电场方向垂直于球面。分析：电场方向垂直于球面。电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。例题三例题三半径为半径为a a的球形带电体，电荷总量的球形带电体，电荷总量Q Q均匀分布在球体内。均匀分布在球体内。求求：（：（

7、1 1）（2 2）（3 3）()E r()E r()E r在球内区域：在球内区域：r r a arr0()SQE rdS32043()(4)rrE rre30034rrrQ rEeea 334QQVa2 2）解为球坐标系下的表达形式。）解为球坐标系下的表达形式。2030()()4()()4rrQerarEQreraa22300()1()()4raQrrrarra300034EQa3 3）0301()404QrEQra例题四：电荷按体密度例题四：电荷按体密度 分布于一个半径为分布于一个半径为 a a的球形区域内，其中的球形区域内，其中 为常数。试计算球内外的电场强度为常数。试计算球内外的电场强度

8、0分析：电场方向垂直球面。分析：电场方向垂直球面。电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。arr()r解：解：1)1)取如图所示高斯面。取如图所示高斯面。在球外区域：在球外区域：r r a a0()SQE rdS2202030()(1)4815aVrQr dVrdraa202()(1)rra2300302030028()4152()152()()15rrE rraaE reraD rE rer 在球内区域：在球内区域：r r a a22202003502()4(1)44()35rrrQrrdrrdrarra0()SQE rdS352020302030024()4()35()()35()()(

9、)35rrrrE rrarrE rearrD rE rea 讨论：讨论：1 1）2 2）面电荷密度为）面电荷密度为 的均匀无限大带电平面的均匀无限大带电平面 3 3）无限长带电圆柱面或体）无限长带电圆柱面或体0第二节第二节 电位函数电位函数一、电位函数与电位差一、电位函数与电位差1 1、电位函数、电位函数0()0E 说明：说明：1)1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；2)“2)“”表示电场指向电位减小最快的方向；表示电场指向电位减小最快的方向；3)3)在直角坐标系中在直角坐标系中xyzEeeexyz 引入电位函数引入电位函数 ：E 其中：其中

10、：分别表示分别表示 在在X X、Y Y、Z Z 三个方向上的投影三个方向上的投影 yzxE电场空间两点电场空间两点A A、B B间的电位差为：间的电位差为：ldE dlE dl BABAABE dlE dl A B EE在任意方向在任意方向 上的投影：上的投影：llEl 电场空间两点电场空间两点A A、B B间的电压就是两点间的电位差：间的电压就是两点间的电位差：ABABABUE dl须选定电位参考点，空间中各点电位方可唯一确定。须选定电位参考点，空间中各点电位方可唯一确定。二、电位参考点二、电位参考点电位参考点选择原则：电位参考点选择原则：1 1）电位参考点电位一般为）电位参考点电位一般为0

11、 0；2 2）应使电位表达式有意义；）应使电位表达式有意义；3 3）一个问题，只能有一个电位参考点）一个问题，只能有一个电位参考点4 4）当电荷分布在有限区域时，参考点一般选择无穷）当电荷分布在有限区域时，参考点一般选择无穷远处远处()(,)xx y zE dl、y、z若任意选取若任意选取A A点点 作为电位参考点，设作为电位参考点，设()AAAx、y、z0A则：点则：点B B（x x、y y、z z）的电位为：）的电位为：()()(,)AAAxxx y zE dl、y、z、y、z三、电位的求解三、电位的求解1 1、点电荷的电位、点电荷的电位 O q EPQlPP011()4PPQqrrQ Q

12、点为电位参考点。点为电位参考点。若电位参考点在无穷远处，即若电位参考点在无穷远处，即Qr 得：得：点电荷在空间中产生的电位点电荷在空间中产生的电位0()4qrr204rqEer()()(,)AAAxxx y zE dl、y、z、y、z2 2、无限长线电荷的电位、无限长线电荷的电位02lrEer0(lnln)2lPQPrr电位参考点不能位于无穷远点。电位参考点不能位于无穷远点。取取r=1r=1柱面为电位参考面，即柱面为电位参考面，即1Qr 得：得：无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 EPQP0ln2lPPr 3 3、分布电荷体系在空间中产生的电位、分布电荷体系在空间中产生的电位体电荷：体电荷：

13、01()()4VrrdVcR面电荷：面电荷：0()1()4sSrrdScR线电荷：线电荷：0()1()4llrrdVcR式中：式中：Rrr若参考点在无穷远处，若参考点在无穷远处，c=0c=0。引入电位函数的意义：简化电场的求解！引入电位函数的意义：简化电场的求解！E 四、例题四、例题例题例题一一例题二例题二例题一例题一 求电偶极子求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。在空间中产生的电位和电场。pql分析：分析：电偶极子定义电偶极子定义 先求解空间电位，再求电场先求解空间电位，再求电场解：取无限远处为电位参考点。解：取无限远处为电位参考点。011()4Pqrrpql O qqrr(,)P r l

14、rrl222cosrrlrl221112cosrllrrr21cos()lrlrr20cos4Pqlrpql 304Pp rr E()sinreeerrr 2300cos1()(cos)44rqleqler rr 30(2cossin)4rqleer 例题二例题二 求半径为求半径为a a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和电场强度。电场强度。xyzdrrRa(0,0,)Pz解：在面电荷上取一面元解：在面电荷上取一面元 如图所示。如图所示。ds04dqdR04sr dr dR22 1/2()Rzr2200001/2022(4)aasr drdzdr 220()

15、2szazE 220()2szezazz 220220(1)02(1)02szszzezzazezza 0Dn0h Snn例题三：证明导体表面的电荷面密度例题三：证明导体表面的电荷面密度 与导体外的与导体外的电位函数有如下关系：电位函数有如下关系：s00snnDE解：电荷分布于导体表面，导体内解：电荷分布于导体表面，导体内 是一个等位体是一个等位体0E 在导体表面作一个柱形闭合面，如图所示：在导体表面作一个柱形闭合面，如图所示：00000nnsssnD dsQDDEnsss 第三节第三节 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程一、拉普拉斯运算一、拉普拉斯运算1 1、标量场的拉普拉斯运算、标

16、量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：2uu 2“”式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222uuuuxyz柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。2 2、矢量场的拉普拉斯运算、矢量场的拉普拉斯运算2()()FFF 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222xxyyzzFeFeFeF二、静电场中电位方程的建立二、静电场中电位方程的建立0/EE 0/即：即：20/电位的泊松方程电位的泊松方程在无源区域在无源区域20电

17、位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程三、电位方程的应用三、电位方程的应用可用于求解静电场的边值问题。可用于求解静电场的边值问题。例：半径为例：半径为a a的带电导体球，已知球体电位为的带电导体球，已知球体电位为U U，求空间电位分布及电场强度分布。求空间电位分布及电场强度分布。解法一：导体球是等势体。解法一：导体球是等势体。ra时：时：0UE 0ra时：时：aUrE()()sinreeaUerrrr 2raUer2100|rr acUcUa 2212201()0cddrcr drdrr 解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈球对称。解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈球对称。设导体球带电总量为设导体球

18、带电总量为Q Q，则可由高斯定理求得，在球外，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：空间，电场强度为：204rQEer001()44aaQQUE drra04QaU2raUEer2rraUaUE drdrrr小结：求空间电场分布的方法小结：求空间电场分布的方法1 1、场源积分法、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。积分困难，对大多数问题不能得出解析解。2 2、应用高斯定理求解、应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。只能应用于电荷成对称分布的问题。3 3、间接求解法、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。先求解空间电位分布，再求解空间电场。在实际应用中，间接求

19、解法应用最为广泛，适用在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。于边值问题的求解。第四节第四节 介质的极化介质的极化 电位移矢量电位移矢量一、极化与极化强度矢量一、极化与极化强度矢量1 1、极化、极化2 2、极化强度矢量、极化强度矢量用极化强度矢量用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。表示电介质被极化的程度。P0limiavVpPNpV式中：式中：ip表示表示i个分子极矩个分子极矩N N表示分子密度表示分子密度物理意义：表示单位体积内电偶极矩矢量和。物理意义：表示单位体积内电偶极矩矢量和。说明：说明：0:eePE 媒质极化系数Pd 在真空中一点产生的电位为在真空中一点产生的

20、电位为001144Psp nPdsdRR 闭合面的单位外法线矢量闭合面的单位外法线矢量n二、极化电荷（束缚电荷）二、极化电荷（束缚电荷）304Pp RddR 304Pp RdR 比较电位函数的定义式，可得极化电荷的面密度、比较电位函数的定义式，可得极化电荷的面密度、体密度：体密度：sppnPP 说明：若媒质均匀极化（说明：若媒质均匀极化（与空间位置无关），则介质与空间位置无关），则介质无体极化电荷。无体极化电荷。P均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。2)2)由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；3)3)极化媒质分界面上一

21、般存在极化电荷；极化媒质分界面上一般存在极化电荷；说明：说明：1)1)极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 4)4)若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电 荷处一般存在极化电荷。荷处一般存在极化电荷。四、例题四、例题例题一例题一例题二例题二例题三例题三 zrePO驻极体：外场消失后，仍保持驻极体：外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。极化状态的电介质体。解：在驻极体内：解：在驻极体内：0PP 驻极体在表面上：驻极体在表面上：SPP n0zrPe e cossinzreee0cosP例题一例题一 求半径为求半径为a a，永久极

22、化强度为，永久极化强度为 的球形驻极体中的的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：极化电荷分布。已知：0zPPeP例题三例题三 在线性均匀媒质中，已知电位移矢量在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的的z z分量为分量为 ，极化强度，极化强度 求：介质中的电场强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量和电位移矢量 。220/zDnC m292115/xyzPeeenC mDED解：由定义，知：解：由定义，知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P014ED第五节第五节 介质中的高斯定律介质中的高斯定律 边界条件边界条件一、介质静电场基本方程一、介质静电场基本方程真空中的高斯定律：真空

23、中的高斯定律：00SSqD dSqE dS在介电常数为在介电常数为 的介质中，的介质中，0()pSqqE dSpq为束缚电荷为束缚电荷ppsqdddsPP 0Ssqd sEd SP定义电位移矢量：定义电位移矢量：0DEP0()SEP dSq 则：则：SD dSq介质中的介质中的高斯定律高斯定律D 讨论：讨论：1)q1)q为自由电荷电量，不包括极化电荷。为自由电荷电量，不包括极化电荷。2 2）静电场中，任一闭合面穿出的电通量只）静电场中，任一闭合面穿出的电通量只与闭合面内的自由电荷有关与闭合面内的自由电荷有关0000erDEPEEEE 讨论：讨论：1 1）式中：式中：0r 称为电介质的介电常数。

24、称为电介质的介电常数。1re 称为电介质相对介电常数。称为电介质相对介电常数。DE电介质的本构关系电介质的本构关系在介质中，静电场仍然为保守场在介质中，静电场仍然为保守场0E0CE dl介质中的介质中的环路定律环路定律例题二例题二 半径为半径为a a的球形电介质体，其相对介电常数的球形电介质体，其相对介电常数若在球心处存在一点电荷若在球心处存在一点电荷Q Q，求极化电荷分布。，求极化电荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得SD dSQ24rQeDr0PDE在媒质内：在媒质内：023316rQeEr24rQeEr体极化电荷分布体极化电荷分布:PP 221()0rr Prr面

25、极化电荷分布面极化电荷分布:SPrP e2316Qa在球心点电荷处：在球心点电荷处：2344pSPspQQQa 介质中的泊松方程介质中的泊松方程二、介质的电位方程二、介质的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（在均匀、各向同性、线性媒质中（为常数）为常数）2()()DEEEE 思考：非均匀媒质中的电位方程是什么样的？思考：非均匀媒质中的电位方程是什么样的？媒媒质质线性媒质：线性媒质：随随 线性变化的媒质。线性变化的媒质。PE均匀媒质：均匀分布。均匀媒质：均匀分布。与空间坐标无关。与空间坐标无关。各向同性媒质：介质特性与外加电场各向同性媒质：介质特性与外加电场 的方的方向无关向无关理想媒质：媒质

26、的导电率为理想媒质：媒质的导电率为0 0，即，即 。0E 212En1E212D1D三、静电场的边界条件三、静电场的边界条件介质特性突变介质特性突变场突变场突变边界条件：揭示介质两边场之间的联系。边界条件：揭示介质两边场之间的联系。1 1、的边界条件的边界条件DSD dSq0h nSn12()()sDDsns12nnsDDs说明：说明：1)1)为分界面上自由电荷为分界面上自由电荷 面密度，不包括极化电荷。面密度，不包括极化电荷。2 2）若媒质为理想媒质，则）若媒质为理想媒质，则 （即分界（即分界面上无自由电荷）面上无自由电荷）120nnDD0s因为：因为：nnDEn 12nnSDD由由1122

27、nnSEE2121Snn当当 时时1212nn0s2 2、的边界条件的边界条件E 212En1E210h ls2100lttE dlElEl 12ttEE结论：分界面上结论：分界面上 切向连续。切向连续。E1122sinsinEEl或写为：或写为：若用电位表示，则：若用电位表示，则：12讨论：讨论：1 1）导体分界面的边界条件）导体分界面的边界条件导体内：导体内：00EH0nstDE0s 2 2）理想介质分界面的边界条件（）理想介质分界面的边界条件（）12120nnttDDEE11221122coscossinsinDDEE1122tantan第六节第六节 一维泊松方程（拉普拉斯方程）的解一维

28、泊松方程（拉普拉斯方程）的解2 泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程例题一：板面积为例题一：板面积为S S，相距为，相距为d d 的平行板电容器中放入的平行板电容器中放入介电常数为介电常数为 的两种均匀介质，如图所示。若两的两种均匀介质，如图所示。若两极板上分别带有电荷极板上分别带有电荷 。忽略边缘效应。忽略边缘效应。12和Q 求：求：1 1）电容器中的电容器中的 2 2）电容器的电容电容器的电容 3 3）束缚电荷的分布束缚电荷的分布E和20解：因为电容器中有两种不同的解：因为电容器中有两种不同的介质，介质，分成两个区域分别求解分成两个区域分别求解忽略边缘效应，两极板可视为忽略边缘效应，两

29、极板可视为无穷大的带电平面，电荷分布无穷大的带电平面，电荷分布也是均匀的，也是均匀的，仅是仅是x x的函数的函数22111112222222220000A xBxA xBx取取 时为电位参考点时为电位参考点0 x 120dx11E 22E1d2dQQAB11110|0 xBAxsQS1121212xdxx时1212122QdA dBSQAS11QxS 11QAS 111110|nxD SSASx 2122111()QQxdSS 22212111()QASQBdS 111222xxxxQEeexSQEeexS (2)ABU121121()SQCUddd 10211121|()xx ddddQdS

30、0111()(1)xxspAAQP nPeeS 1110101(3)()()xQPEeS 2220202()()xQPEeS 11202111|()x dxxspCQP eP eS 0222(1)xxspBBQP nP e eS 例：半径为例：半径为a a的均匀带电球体，电量为的均匀带电球体，电量为Q Q，求球内外电位分布和电场强度。求球内外电位分布和电场强度。12xa解法一：设球内外电位分别为解法一：设球内外电位分别为12、是球面对称场，故取球坐标系是球面对称场，故取球坐标系场与场与 无关无关、2123022213()41()0ddQrrardrdraddrrardrdr 211130222

31、8AQ rBarABr 取无穷远处为电位参考点，即取无穷远处为电位参考点，即20r 时2220ABr0r 时时1应为有限应为有限10A121200rarr时221300012003488384QQrQAaaQQBar 1130222044rrQ rEeaQEer 解法二：电荷均匀分布在球体上，可由高斯定理求得球内解法二：电荷均匀分布在球体上，可由高斯定理求得球内外的电场强度，外的电场强度，SD dSQ22013044rrQEerQrEea 222313444433rrDr eQ raQDr erraa 2220044rrrQQE dre drrr 121300230044388aararrE

32、drE drQQre draaQQraa 例题二例题二同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a a，外导体半径为外导体半径为b b。内外导体间充内外导体间充满介电常数分别为满介电常数分别为 和和 的两种理想介质，分界面半径的两种理想介质，分界面半径为为c c。已知外导体接地，内导体电压为已知外导体接地，内导体电压为U U。求求:(1):(1)导体间的导体间的 和和 分布；分布；(2)(2)同轴线单位长度的电容同轴线单位长度的电容12ED abc12 分析：电场方向垂直于分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边界，由边界条件可知，在媒质两边边 连续连续解法一：解法一：D：设内导体单位长

33、度带电量为设内导体单位长度带电量为l由高斯定律，可以求得两边媒质中，由高斯定律，可以求得两边媒质中，2lrDer1122/EDED12cbacUE drE dr12lnln22llcbac12212lnlnlUcbac 1221(lnln)UDcbrac 221121()(lnln)()(lnln)UarccbracEUcrbcbrac12212lnlnQCcbUac（2 2）同轴线单位长度带电量为）同轴线单位长度带电量为 ，故单位长度电容，故单位长度电容为为l解法二：场只与半径解法二：场只与半径 有关有关r212200 121()01()0ddrarcr drdrddrcrbr drdr由边

34、界条件：由边界条件：112212lnlnArABrB abc12121212120:raUrbrcrr121212121112ln0lnlnlnUAaABbBAcABcBABcc例题三例题三球形电容器内导体半径为球形电容器内导体半径为a a，外球壳半径为外球壳半径为b b。其间充满其间充满介电常数为介电常数为 和和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。12 a12b分析：电场平行于介质分界面，由分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边边界条件可知，介质两边 相等。相等。E

35、SD dSq2122()rDDq2122()rEEq解：令电场强度为解：令电场强度为 ，由高斯定律，由高斯定律E2122()rqEer 1211()()2()brqrE drrb 第六节第六节 恒定电场恒定电场恒定电场：恒定电流恒定电场：恒定电流(运动电荷运动电荷)产生的电场。产生的电场。一、恒定电场基本方程一、恒定电场基本方程恒定电场的基本量：恒定电场的基本量：EJ由电流守恒定律：由电流守恒定律：0Jt(0)t0J 恒定电场仍然是保守场，因此恒定电场仍然是保守场，因此0E小结：恒定电场基本方程为小结：恒定电场基本方程为00JE00SlJ dSE dl导电媒质中恒定导电媒质中恒定电场本构关系。

36、电场本构关系。JE式中：式中：为导电媒质导电率。为导电媒质导电率。JEJE讨论：讨论：1 1）在理想导体内，恒定电场为在理想导体内，恒定电场为0 0；恒定电场可以存在于非理想导体内。恒定电场可以存在于非理想导体内。2)2)在导电媒质内，恒定电场在导电媒质内，恒定电场 和和 的方向相同的方向相同EJ二、导电媒质中能量损耗关系二、导电媒质中能量损耗关系 dSJ E dl高 低 导电媒质单位体积内的功率损耗为：导电媒质单位体积内的功率损耗为：2pJ EE 导电媒质焦耳功导电媒质焦耳功率损耗密度。率损耗密度。三、恒定电场的拉普拉斯方程三、恒定电场的拉普拉斯方程20 00JEJE E 三、恒定电场边界条

37、件三、恒定电场边界条件用类比关系推导恒定电场边界条件。用类比关系推导恒定电场边界条件。0SJ dS 12()0JJn12nnJJ0lE dl 3 3、电位边界条件、电位边界条件1 1、的边界条件的边界条件J2 2、的边界条件的边界条件E12ttEE2121nn12 212En1E212J1JSn如果媒质是均匀、各向同性的如果媒质是均匀、各向同性的11122221coscosnnEJEJ111112sinsinttEEEE1212tantan 212En1E212J1J1122tantan讨论：讨论：若若 ,则则 。2 10即：在理想导体表面上，即：在理想导体表面上，和和 都垂直于边界面。都垂直

38、于边界面。JE小结：静电场和恒定电场性质比较：小结：静电场和恒定电场性质比较：相同点：场性质相同，均为保守场；相同点：场性质相同，均为保守场；场均不随时间改变；场均不随时间改变；均不能存在于理想导体内部；均不能存在于理想导体内部；不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。的源为运动电荷。存在区域不同。静电场只能存在于导体外，存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。恒定电场可以存在于非理想导体内。212En1E212J1J五、例题五、例题例：同轴线中填充两种导电媒质，结构如例：同轴线中填充两种导电媒

39、质，结构如图所示。两种导电媒质的介电常数分别为图所示。两种导电媒质的介电常数分别为 和和 ，导电率分别为，导电率分别为 和和 ,设同轴线设同轴线内外导体电压为内外导体电压为U U。求：求：(1)(1)导体间的导体间的 ，；(2)(2)分界面上自由电荷分布。分界面上自由电荷分布。1221EJ 2a2b2c11 22 a22 11 EJ解：这是一个恒定电场边值问题。不能解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。直接应用高斯定理求解。设单位长度内从内导体流向外导体电流为设单位长度内从内导体流向外导体电流为I I。则：则：()2rrIIJeearcSr由边界条件，边界两边电流连续。由边界

40、条件，边界两边电流连续。由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr12bcabUE drEdr12(lnln)(lnln)22IIbacb120212ln(/)ln(/)UIb ac b 12021()ln(/)ln(/)rUJearcb ac br 2a2b2c11 22 201121()ln(/)ln(/)rUJEearbb ac b r102221()ln(/)ln(/)rUJEebrcb ac b r22()crE drbrc112()bcrbE drE drarb2 2）由边界条

41、件：）由边界条件：在在 面上：面上：ra11SD n12021ln(/)ln(/)Ub ac b a 2a2b2c11 22 在在 面上：面上：rc21021ln(/)ln(/)Ub ac b c 32SrD e 在在 面上：面上：rb221()SrDDe2112021()ln(/)ln(/)Ub ac b b 2a2b2c11 22 第七节第七节 电容和部分电容电容和部分电容孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体的电位与其所带的电量成正比。一、电容和电容器一、电容和电容器电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即QCU电容器电容：电容器由两

42、个导体构成，若两导体间电电容器电容：电容器由两个导体构成，若两导体间电位差为位差为U U，导体带电量分别为，导体带电量分别为Q Q和和-Q-Q，则定义电容器电，则定义电容器电容为：容为：QCU二、部分电容二、部分电容若电容器由多个导体构成。则导体之间、导体与地之若电容器由多个导体构成。则导体之间、导体与地之间均存在电容，引入部分电容的概念间均存在电容，引入部分电容的概念 12311C33C22C12C23C13C由电容定义：由电容定义：111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC式中：式中：iiC指导体与地之间形成电容

43、，称为导体自有部分电容指导体与地之间形成电容，称为导体自有部分电容ijC指导体之间形成的电容，称为导体互有部分电容指导体之间形成的电容，称为导体互有部分电容ijjiCC说明：说明：三、例题三、例题例题一例题一例题二例题二例题一：平行双线，导线半径为例题一：平行双线，导线半径为a a，导线轴线距离为，导线轴线距离为D D 求：平行双线单位长度的电容。（求：平行双线单位长度的电容。（aD)aD)DxyPx解：设导线单位长度带电分别为解：设导线单位长度带电分别为 和和 ，则易于求得在，则易于求得在P P点处，点处，ll102lxEex20()2()lxEeDx12EEE011()2lxexDx导线间

44、电位差为：导线间电位差为：D aaUE dx0lnlDaa0ln()lnCDaa例题二：计算同轴线内外导体间单位长度电容。例题二：计算同轴线内外导体间单位长度电容。解：设同轴线内外导体单位长度带电量解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为分别为 和和 ，则内外导体间电，则内外导体间电场分布为：场分布为：ll102lrEer则内外导体间电位差为：则内外导体间电位差为：内外导体间电容为：内外导体间电容为：baUE dr0ln2lba02lnlnQCUba第八节第八节 电场能量电场能量一、空间总电场能量一、空间总电场能量设空间电荷分布为设空间电荷分布为 ，在空间中产生电位为，在空间中产生电位为 。(

45、)r()r空间中总电场能量为：空间中总电场能量为：1()()2eVWrr dV说明：说明：1)1)此公式只适用于静电场能量求解；此公式只适用于静电场能量求解；2)2)公式中公式中 不表示电场能量密度；不表示电场能量密度；12 3)3)为空间中自由电荷分布；为空间中自由电荷分布；()r 4)4)积分范围积分范围 为整个空间，但可退化到电荷为整个空间，但可退化到电荷 分布区域。分布区域。V若电荷是面分布若电荷是面分布 ，则：，则：s1()()2esSWrr dS特殊地，若电量为特殊地，若电量为q q的电荷分布在导体上，导体电位的电荷分布在导体上，导体电位为为 ，则空间中总静电场能量为：，则空间中总

46、静电场能量为：12eWq对带电多导体系统对带电多导体系统12eiiiWq式中：式中：为为 导体上所带电量；导体上所带电量；iqi 为为 导体电位；导体电位；ii二、二、电场能量密度电场能量密度1()()2eVWrr dV1()()2VD rr dV1()()()()2VD rrD rr dV()AAA 11()()()()22SVD rrdSD rE r dV为整个空间，即为整个空间，即S S为包围整个空间的闭合面，为包围整个空间的闭合面，Vr 2211DdSrrr()()rD rrdS1r0故：空间电场能量为故：空间电场能量为1()()2eVWD rE r dVeVw dV1()()2ewD

47、 rE r212E电场能量密度电场能量密度式中：式中：为整个电场空间；为整个电场空间；V三、例题三、例题例题一例题一第三章小结第三章小结由边界条件知在边界两边由边界条件知在边界两边 连续。连续。E解：设同轴线内导体单位长度带电量解：设同轴线内导体单位长度带电量为为Q Q。SD dSQ110(2)r ErEQ 110(2)rQEer 110ln(2)baQbUE dra ab01例题一例题一 已知同轴线内外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填，导体间部分填充介质，介质介电常数为充介质，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体，如图所示。已知内外导体间电压为间电压为

48、U U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。110(2)lnlnUQba (lnln)rUEeba r12221021122eVVWE dVE dV212220122112(lnln)11(2)2(lnln)babaUrdrbarUrdrbar21101(2)2(lnln)Uba 或或12eiiiWqU12eWQU110(2)lnlnUQba 21101(2)2(lnln)Uba 知识延展：对电容器知识延展：对电容器12eWQU212eWCU静电场的基本方程静电场的基本方程(真空中和媒质中）真空中和媒质中）静电场的辅助函数静电场的辅助函数电位函数电位函数静电场的边界

49、条件静电场的边界条件恒定电场分析恒定电场分析静电场的能量方程静电场的能量方程v主要内容：主要内容：第三章小结第三章小结第三章主要公式第三章主要公式一、静电场基本方程一、静电场基本方程0DE0SCD dSqE dl0DEPE二、静电位函数二、静电位函数E ABABE dl20/20三、静电场中的电介质三、静电场中的电介质spP n极化强度矢量极化强度矢量:0limiavVpPNpV 0ePE 体极化电荷体极化电荷PP 面极化电荷面极化电荷12:12()spnPPn四、静电场的边界条件四、静电场的边界条件12()sDDn12nnsDD12EnEn12ttEE2121Snnn由21120五、恒定电场

50、五、恒定电场00JE00SlJ dSE dlJE12()0JJn12nnJJ12EnEn12ttEE2121nn120静电场和恒定电场性质比较。静电场和恒定电场性质比较。六、电容和部分电容六、电容和部分电容QCU部分电容的概念。部分电容的概念。七、静电场能量七、静电场能量1()()2eVWrr dV12eiiiWq1()()2eVWD rE r dVeVw dV1()()2ewD rE r八、例题八、例题例题一例题一例题二例题二例题一例题一 已知同轴线内外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间填，导体间填充介质，介质介电常数为充介质，介质介电常数为 ，导电率为，导电率为