点、直线、平面之间的位置关系-复习课件.pptx

1、第二章第二章 点、直线、平面之间的位点、直线、平面之间的位置置关系关系 复习复习课件课件网络建构网络建构知识辨析知识辨析判断下列说法是否判断下列说法是否正确（请正确（请在括号中填在括号中填“”“”或或“”）1.1.如果一条直线过平面内一点与平面外如果一条直线过平面内一点与平面外一点，那么一点，那么这条直线与这个平面有且只有一个这条直线与这个平面有且只有一个交点。交点。（）2.2.如果两个平面有一个如果两个平面有一个交点，则交点，则这两个平面有一条过这个点的公共这两个平面有一条过这个点的公共直线。（直线。（）3.3.如果两个平面如果两个平面平行，则平行，则这两个平面没有这两个平面没有交点。（交点

2、。（）4.4.若一条直线上有两个点在某一平面若一条直线上有两个点在某一平面内，则内，则这条直线上有无数个点在这个平面这条直线上有无数个点在这个平面内。（内。（）5.5.平行于同一条直线的两个平面平行于同一条直线的两个平面平行。（平行。（）6.6.一条直线垂直于一个平面内的三条一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则直线，则这条直线垂直于这个这条直线垂直于这个平面。（平面。（）7.7.两个相交平面组成的图形叫做两个相交平面组成的图形叫做二面角。（二面角。（）8.8.垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线的两个平面平行。（平行。（）主题串讲主题串讲 方法提炼方法提炼总结升华总结升华 一、平面基本

3、性质的应用一、平面基本性质的应用【典例【典例1 1】在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F分别是分别是CCCC1 1和和AAAA1 1的的中点，画中点，画出平面出平面BEDBED1 1F F与平面与平面ABCDABCD的的交线，并交线，并说明说明理由。理由。解：解：在在平面平面AAAA1 1D D1 1D D内，延长内，延长D D1 1F F，因为因为D D1 1F F与与DADA不不平行，所以平行，所以D D1 1F F与与DADA必相交于必相交于一点，一点，设为设为P P，则，则PPFDFD1 1，P PDADA。又因为又因

4、为D D1 1F F平面平面BEDBED1 1F F，DADA平面平面ABCDABCD，所以所以PP平面平面BEDBED1 1F F，P P平面平面ABCDABCD，所以所以P P为平面为平面BEDBED1 1F F与平面与平面ABCDABCD的公共的公共点。点。又又B B为平面为平面ABCDABCD与平面与平面BEDBED1 1F F的公共的公共点，所以点，所以连接连接PBPB（如（如图），图），PBPB即为平面即为平面BEDBED1 1F F与平面与平面ABCDABCD的的交线。交线。规律规律方法方法 证明证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于三线共点常用的方法是先证明两条直线

5、共面且相交于一点；一点；然后然后证明这个点在两个平面证明这个点在两个平面内，于是内，于是该点在这两个平面的交线该点在这两个平面的交线上，从上，从而而得到三线得到三线共点。也共点。也可以证明直线可以证明直线a a、b b相交于一点相交于一点A A，直线，直线b b与与c c相交于相交于一点一点B B，再，再证明证明A A、B B是同是同一点，从而一点，从而得到得到a a、b b、c c三线三线共点。共点。即时训练即时训练1 1-1 1：如：如图所图所示，空间示，空间四边形四边形ABCDABCD中，中，E E，F F分别为分别为ABAB，ADAD的的中中点，点，G G，H H分别在分别在BCBC，

6、CDCD上，且上，且BGGC=DHHC=1BGGC=DHHC=12 2。求证：。求证：（1 1）E E，F F，G G，H H四点四点共面；共面；（2 2）EGEG与与HFHF的交点在直线的交点在直线ACAC上。上。证明：证明：（1 1）因为）因为BGGC=DHBGGC=DHHCHC，所以，所以GHGHBDBD。因为因为E E，F F分别为分别为ABAB，ADAD的的中点，所以中点，所以EFEFBDBD，所以，所以EFEFGHGH，所以所以E E，F F，G G，H H四点四点共面。共面。（2 2）因为）因为G G，H H不是不是BCBC，CDCD的的中点，所以中点，所以EFEFGHGH，且，

7、且EFEFGHGH，所以所以EGEG与与FHFH必必相交，设相交，设交点为交点为M M，而，而EGEG平面平面ABCABC，HFHF平面平面ACDACD，所以所以MM平面平面ABCABC，且，且MM平面平面ACDACD，所以，所以MMACAC，即即EGEG与与HFHF的交点在直线的交点在直线ACAC上。上。二、空间线面位置关系的证明二、空间线面位置关系的证明【典例典例2 2】在三棱柱在三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中，侧中，侧棱与底面棱与底面垂直，垂直，BAC=90BAC=90，AB=AAAB=AA1 1，点，点M M，N N分别为分别为A A1 1B B和和B B1

8、 1C C1 1的的中点。中点。（1 1）证明：）证明：A A1 1M M平面平面MACMAC；证明：证明：（1 1）因为）因为A A1 1AA平面平面ABCABC，ACAC平面平面ABCABC，所以，所以ACAACA1 1A A，又因为又因为BAC=90BAC=90，所以，所以ACACABAB，因为因为AAAA1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B B，ABAB平面平面AAAA1 1B B1 1B B，AAAA1 1AB=AB=A A，所以所以ACAC平面平面AAAA1 1B B1 1B B，又，又A A1 1M M平面平面AAAA1 1B B1 1B B，所以，所以A A1 1MMAC

9、AC。又因为四边形又因为四边形AAAA1 1B B1 1B B为为正方形，正方形，M M为为A A1 1B B的的中点，所以中点，所以A A1 1MMMAMA，因为因为ACMA=ACMA=A A，ACAC平面平面MACMAC，MAMA平面平面MACMAC，所以，所以A A1 1MM平面平面MACMAC。（2 2）证明：）证明：MNMN平面平面A A1 1ACCACC1 1。证明：证明：（2 2）连接）连接ABAB1 1，ACAC1 1，由，由题意题意知，点知，点M M，N N分分别为别为ABAB1 1和和B B1 1C C1 1的的中点，所以中点，所以MNMNACAC1 1。又。又MNMN 平

10、面平面A A1 1ACCACC1 1，ACAC1 1平面平面A A1 1ACCACC1 1，所以，所以MNMN平面平面A A1 1ACCACC1 1。规律规律方法方法 空间空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要化主要有：有：（1 1）平行）平行关系的关系的转化。转化。（2 2）垂直）垂直关系的关系的转化。转化。线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直（3 3）平行）平行与垂直的与垂直的转化。转化。即时训练即时训练2 2-1 1：如图，在：如图，在四棱锥四棱锥P P-ABCDABCD中，底面中，底面ABCDA

11、BCD是是正方形，侧正方形，侧棱棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的的中点，作中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F F。（1 1）证明：平面）证明：平面PACPAC平面平面PBDPBD；证明：证明：（1 1）由）由底面底面ABCDABCD是是正方形，知正方形，知ACACBDBD，由侧棱由侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，及，及ACAC平面平面ABCDABCD知知ACACPDPD。又又PDPDBD=DBD=D，故故ACAC平面平面PBDPBD。又又ACAC平面平面PACPAC，从而，由从而，由平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理

12、知，平面知，平面PACPAC平面平面PBDPBD。（2 2）证明：）证明：PBPB平面平面EFDEFD。证明：证明：（2 2）在）在PDCPDC中，由中，由PD=PD=DCDC，E E是是PCPC的的中点，知中点，知DEDEPCPC。由底面由底面ABCDABCD是是正方形，知正方形，知BCBCDCDC，由侧棱由侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，BCBC底面底面ABCDABCD，知，知BCBCPDPD。又又DCPD=DCPD=D D，故，故BCBC平面平面PCDPCD。而而DEDE平面平面PCDPCD，所以，所以DEDEBCBC。由由DEDEPCPC，DEDEBCBC及及PCBC=PCBC=

13、C C，知，知DEDE平面平面PBCPBC。又又PBPB平面平面PBCPBC，故，故DEDEPBPB。又已知又已知EFEFPBPB，且，且EFDE=EFDE=E E，因此因此PBPB平面平面EFDEFD。三、空间位置关系的证明与空间角的计算三、空间位置关系的证明与空间角的计算【典例典例3 3】如如图，三角形图，三角形PDCPDC所在的平面与长方形所在的平面与长方形ABCDABCD所在的平面所在的平面垂垂直，直，PD=PC=4PD=PC=4，AB=6AB=6，点，点E E是是CDCD边的边的中点，点中点，点F F，G G分别在线段分别在线段ABAB，BCBC上。上。（1 1）证明：）证明：PEP

14、EFGFG；（1 1）证明：）证明：因为因为PD=PCPD=PC，点，点E E为为DCDC中点，中点，所以所以PEPEDCDC。又因为平面又因为平面PDCPDC平面平面ABCDABCD，平面平面PDCPDC平面平面ABCD=DCABCD=DC，所以所以PEPE平面平面ABCDABCD。又又FGFG平面平面ABCDABCD，所以，所以PEPEFGFG。（2 2）求）求二面角二面角P P-ADAD-C C的正切的正切值。值。规律方法规律方法 求求角度问题角度问题时，无论时，无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题的角的问题上，求上，求角度的解题步骤角度

15、的解题步骤是：（是：（1 1）找出）找出这个这个角；（角；（2 2）证）证该角符合该角符合题意；（题意；（3 3）构造）构造出含这个角的出含这个角的三角形，解三角形，解这个这个三角形，求三角形，求出出角。空间角。空间角包括以下三角包括以下三类：类：两条异面直线所成的两条异面直线所成的角，找角，找两条异面直线所成的两条异面直线所成的角，关键角，关键是选取是选取合适的点引两条异面直线的合适的点引两条异面直线的平行线，这平行线，这两条相交直线所成的锐角或两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的直角即为两条异面直线所成的角。角。求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的求直线与平面所成的角

16、关键是确定斜线在平面内的射影。射影。求二面角关键是作出二面角的求二面角关键是作出二面角的平面角，而平面角，而作二面角的平面角作二面角的平面角时，时，首先首先要确定二面角的要确定二面角的棱，然后棱，然后结合题设构造二面角的结合题设构造二面角的平面角。平面角。即时训练即时训练3 3-1 1：如：如图，已知图，已知二面角二面角-MNMN-的大小为的大小为6060，菱形，菱形ABCDABCD在在平面平面内，内，A A，B B两点在棱两点在棱MNMN上，上，BAD=60BAD=60，E E是是ABAB的的中点，中点，DODO平面平面，垂足，垂足为为O O。（1 1）证明：）证明：ABAB平面平面ODEO

17、DE；（1 1）证明：）证明：如图，因为如图，因为DODO，ABAB，所以，所以DODOABAB。连接连接BDBD，由，由题设题设知，知，ABDABD是是正三角形，正三角形，又又E E是是ABAB的的中点，所以中点，所以DEDEABAB，DODODE=DDE=D，故故ABAB平面平面ODEODE。（2 2）求）求异面直线异面直线BCBC与与ODOD所成角的余弦所成角的余弦值。值。四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算【典例典例4 4】如图如图甲，甲，O O的直径的直径AB=2AB=2，圆，圆上两点上两点C C，D D在直径在直径ABAB的的两侧，两侧，

18、使使CAB=45CAB=45，DAB=60DAB=60。沿。沿直径直径ABAB折折起，使起，使两个半圆所在的平面两个半圆所在的平面互相互相垂直（如垂直（如图图乙），乙），F F为为BCBC的的中点，中点，E E为为AOAO的的中点。中点。P P为为ACAC上的动上的动点，点，根据根据图乙解答下列各图乙解答下列各题：题：（1 1）求）求三棱锥三棱锥D D-ABCABC的的体积；体积；（2 2）求证：不）求证：不论点论点P P在何在何位置，都位置，都有有DEDEBPBP；（2 2）证明：）证明：因为因为PPACAC，所以，所以PP平面平面ABCABC，所以所以PBPB平面平面ABCABC。又又由（

19、由（1 1）知，）知，DEDE平面平面ABCABC，所以不论点所以不论点P P在何在何位置，都位置，都有有DEDEBPBP。（3 3）在）在 上是否存在一点上是否存在一点G G，使得，使得FGFG平面平面ACDACD？若存在，试？若存在，试确定点确定点G G的的位置；若位置；若不不存在，请存在，请说明说明理由。理由。BD规律规律方法方法（1 1）求）求空间几何体的体积的关键是确定几何体的空间几何体的体积的关键是确定几何体的高，若高，若几何体的高几何体的高容易求容易求出，可出，可直接代入体积公式直接代入体积公式计算，否则计算，否则可用下列方法进行可用下列方法进行转化：转化：等体积转化等体积转化法

20、：对于法：对于三棱锥因为任何一个面都可作为三棱锥因为任何一个面都可作为底面，所以底面，所以在在求三棱锥的体积求三棱锥的体积时，可时，可将其转化为底面积和高都易求的形式将其转化为底面积和高都易求的形式求解。求解。补体补体法：将法：将几何体补成易求体积的几何体补成易求体积的几何体，再几何体，再根据它们的体积关系根据它们的体积关系求解。求解。分割分割法：将法：将几何体分割为易求体积的几几何体分割为易求体积的几部分，分别部分，分别求解再求解再求和。求和。（2 2）有关）有关平面图形翻折成空间图形的平面图形翻折成空间图形的问题，应问题，应注意翻折前后各注意翻折前后各元素元素（直线（直线、线段、线段、角）

21、的角）的相对相对位置（平行位置（平行、垂直）和垂直）和数量的数量的变化，搞变化，搞清清楚哪些发生了变化、哪些楚哪些发生了变化、哪些不变。不变。即时训练即时训练4 4-1 1：如图，在：如图，在直三棱柱直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABAB=AC=AC=5 5，BBBB1 1=BC=BC=6 6，D D，E E分别是分别是AAAA1 1和和B B1 1C C的的中点。中点。（1 1）求证：）求证：DEDE平面平面ABCABC；（1 1）证明：）证明：取取BCBC中点中点G G，连接，连接AGAG，EGEG，因为，因为E E是是B B1 1C C的的中点，所以中

22、点，所以EGEGBBBB1 1，且且EG=EG=BBBB1 1。由直棱柱知由直棱柱知AAAA1 1BBBB1 1，AAAA1 1=BB=BB1 1，而，而D D是是AAAA1 1的的中点，中点，所以所以EGEGADAD，EG=ADEG=AD，所以，所以四边形四边形EGADEGAD是是平行四边形，平行四边形，所以所以EDEDAGAG，又，又EDED 平面平面ABCABC，AGAG平面平面ABCABC，所以所以DEDE平面平面ABCABC。12（2 2）求）求三棱锥三棱锥E-BCDE-BCD的的体积。体积。五、易错题辨析五、易错题辨析【典例典例5 5】如如图，已知图，已知E E，F F分别是正方体

23、分别是正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱AAAA1 1，CCCC1 1上的上的点，且点，且AE=CAE=C1 1F F。求证：四边形。求证：四边形EBFDEBFD1 1是是平行四边形平行四边形。错错解：解：因为因为平面平面A A1 1ADDADD1 1平面平面B B1 1BCCBCC1 1，D D1 1E E=平面平面A A1 1ADDADD1 1平面平面BFDBFD1 1E E，BFBF=平面平面B B1 1BCCBCC1 1平面平面BFDBFD1 1E E，所以，所以D D1 1EEFBFB。同理。同理可得可得D D1 1FFEBEB。所以四边

24、形所以四边形EBFDEBFD1 1是是平行四边形。平行四边形。纠错：纠错：错错解中盲目地认为解中盲目地认为E E，B B，F F，D D1 1四点四点共面，由共面，由已知条件并不能说已知条件并不能说明这四点明这四点共面，同时共面，同时条件条件AE=CAE=C1 1F F也没有用也没有用到。到。真题体验真题体验 真题引领真题引领感悟提升感悟提升 1 1.（20162016全国全国卷，理卷，理1111）平面）平面过正方体过正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点的顶点A A，平面平面CBCB1 1D D1 1，平面平面ABCD=mABCD=m，平面平面ABBA

25、BB1 1A A1 1=n=n，则，则m m，n n所成角的正弦值所成角的正弦值为（为（）A A2 2.（20172017全国全国卷，文卷，文6 6）如图，在）如图，在下列四个正方体下列四个正方体中，中，A A，B B为为正方体的两个正方体的两个顶点，顶点，M M，N N，Q Q为所在棱的为所在棱的中点，则中点，则在这四个正方体在这四个正方体中，直线中，直线ABAB与平面与平面MNQMNQ不平行的不平行的是（是（）A A解析：解析：如如图图O O为正方形为正方形CDBECDBE的两条对角线的的两条对角线的交点，从而交点，从而O O为为BCBC的的中点，在中点，在ACBACB中，中，OQOQ为为

26、中位线，所以中位线，所以OQOQABAB，OQOQ平面平面MNQ=QMNQ=Q，所以，所以，ABAB与平面与平面MNQMNQ相交，而相交，而不是不是平行，平行，故故选选A A。3 3.（20162016全国全国卷，理卷，理1414），是两个是两个平面，平面，m m，n n是两条是两条直线，有直线，有下列四个下列四个命题：命题：如果如果mmn n，m m，n n，那么，那么。如果如果mm，n n，那么，那么mmn n。如果如果，m m，那么，那么mm。如果如果mmn n，那么，那么m m与与所成的角和所成的角和n n与与所成的角所成的角相等。相等。其中正确的命题有其中正确的命题有。（填写（填写所

27、有正确命题的所有正确命题的编号）编号）解析：解析：可能有可能有mm，即，即，得，得错，错，正确正确。答案：答案：4 4.（20172017全国全国卷，文卷，文1818）如图，在）如图，在四棱锥四棱锥P P-ABCDABCD中，中，ABABCDCD，且，且BAP=CDP=90BAP=CDP=90。（1 1）证明：平面）证明：平面PABPAB平面平面PADPAD；（1 1）证明：）证明：由由已知已知BAP=CDP=90BAP=CDP=90，得得ABABAPAP，CDCDPDPD。由于由于ABABCDCD，故，故ABABPDPD，从而，从而ABAB平面平面PADPAD。又又ABAB平面平面PABPA

28、B，所以，所以平面平面PABPAB平面平面PADPAD。（2 2）若）若PA=PD=AB=DCPA=PD=AB=DC，APD=90APD=90，且，且四棱锥四棱锥P P-ABCDABCD的体积的体积为为 ，求，求该四棱锥的该四棱锥的侧面积。侧面积。835 5.（20162016全国全国卷，文卷，文1919）如图，四）如图，四棱锥棱锥P P-ABCDABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，ADADBCBC，AB=AD=AC=3AB=AD=AC=3，PA=BC=4PA=BC=4，M M为线段为线段ADAD上上一点，一点，AM=2MDAM=2MD，N N为为PCPC的的中点。中点。（1 1）证明）证明MNMN平面平面PABPAB；（2 2）求）求四面体四面体N-BCMN-BCM的的体积。体积。谢谢 谢谢