立体几何中的向量法课件.ppt
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- 立体几何 中的 向量 课件
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1、一、复习一、复习用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;关系以及它们之间距离和夹角等问题;(3)把向量的运算结果)把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。(化为向量问题)(化为向量问题)(进行向量运算)(
2、进行向量运算)(回到图形)(回到图形)例题例题 例例1:如图如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?长有什么关系?A1B1C1D1ABCD图图1解:解:如图如图1,设,设 BADADAAAB,11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则,依据向量的加法法则,11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC
3、)(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考:思考:(1)本题中四棱柱的对角线)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?的长与棱长有什么关系?(2 2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1AB
4、CD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC,其中其中分析分析:分析分析:1111 DAABAABADxAAADABaAC,设设11 AAADABAC 则由则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。(3 3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?设设AB=1 AB=1(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的
5、距离)A1B1C1D1ABCDH分析:分析:面面距离面面距离点面距离点面距离.11HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解:解:.1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由.上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC.160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是。36问题:如何求直线问题:如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离?的距离?向量法求
6、点到平面的距离向量法求点到平面的距离:PA n如图,已知点如图,已知点P(x0,y0,z0),在平面在平面 内任意取一点内任意取一点A(x1,y1,z1),),一个法向量一个法向量n cosAPnAPn AP,n 其中其中,APcosAPnn 的距离。的距离。到平面到平面就是点就是点绝对值绝对值的的 PcosAP|AP|ndn 也就是也就是AP在法向量在法向量n上的投影的绝对值上的投影的绝对值例例2、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4,CG平面平面ABCDABCD,CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点,的中点,求点求点B B到平面到平面GEFGEF
7、的距离。的距离。DABCGFExyz:,CD CB CGxyz 分析以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则(0,2,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(2,4,0),(4,2,0).(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)GBADEFEFEGE (,1),:EFGnx y 设平面的法向量为则有2-20-2-4201 1(,1)3 3nEF nEGxyxyn ,|BE|2 1111ndn :,|AOO eAdAOe评注若平面的斜线交于点是单位法向量,则 到平面的距离为问题:问题:请小结如何用向量的方法求空间中两点请小结如何用向量的方法求空间中两点的距离?的距离?点
8、到直线的距离?点到直线的距离?点面之间的距离?点面之间的距离?直线到直线的距离?直线到直线的距离?nabCDAB已知已知a,b是异面直线,是异面直线,n为为 的法向量的法向量CD为为a,b的公垂线的公垂线则则|nABnCD A,B分别在直线分别在直线a,b上上练习练习:如图,空间四边形如图,空间四边形OABC各边以及各边以及AC,BO的长的长都是都是1,点,点D,E分别是边分别是边OA,BC的中点,连结的中点,连结DE,计算,计算DE的长。的长。OABCDE图图2空间空间“距离距离”问题问题1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算,根据两向量数量积的性质和坐标
9、运算,利用公式利用公式 或或 (其中其中 ),可将两点距离问题,可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),(zyxa2.点到面的距离点到面的距离 设设n为平面为平面 的一个法向量,的一个法向量,AB是面是面 的一条的一条斜线,斜线,A为斜足。根据向量在轴上射影的概念为斜足。根据向量在轴上射影的概念,点点B到面到面 的距离等于向量的距离等于向量在在n上的射影的长度,上的射影的长度,所以所以AB A AB B n nd dn nBAn 3.异面直线间的距离异面直线间的距离 n1l2l1lCDC、D分别是分别是 上任一点,则上任一点,则 间的距离间的距离可转化为
10、向量可转化为向量 在在n上的射影长,上的射影长,故故设设 为两异面直线,其公共法向量为为两异面直线,其公共法向量为 n,21,ll21,ll21,llCD C C D Dn nd dn n例例2 如图,如图,ABCD是矩形,是矩形,面面ABCD,PD=DC=,AD=,M、N分别是分别是 AD,PB的中点,求点的中点,求点A到面到面MNC的距离的距离 PDaa2APDCBMN解:如图,以解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,)a2a2aaaDMPNAxCBzy由于由于M,N分别是分别是A
11、D,PD的中点的中点所以所以M(,0,0),N(,a22)21,21aaa22 ,)21,21,0(aaMN)0,22(aaMC)0,0,22(aMA设 为面MNC的一个法向量,故),(zyxm MCmMNm,解得 ,zyx22所以 022zayaMNm022ayaxMCm且故可取)1,1,2(m所以,在 上的射影长MAm2ammMAd即点A到面MNC的距离为 2a1.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2,O为为AC和和BD的交点,的交点,M为为 的中点的中点 (1)求证:求证:直线直线 面面MAC (2)求二面角)求二面角 的余弦值的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1巩
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