空间曲线简介课件.pptx

1、高等数学全程教学视频课第59讲空间曲线空间曲线及其方程般地，曲线。上动点M的坐标(x,y,z)都表示为另一个变量E的函数：X=x(t)y=y(t),(a t jg)z=z(t).当t在范围0危范围内变动时，则 产生一条空间曲线c,称上述方程组 为空间曲线。的参数方程，并称t为参数.如第59讲空间曲线空间曲线及其方程例1设空间一动点M在圆柱面工2+y2=R2.上以等角速度3绕Z轴旋转，同时又以线 速度沿平行于Z轴的正向均匀地上升.动点M的轨迹称为圆柱螺旋线.试求圆柱螺旋线的参数方程.第59讲空间曲线空间曲线及其方程z圆柱螺旋线的参数方程为:螺距应用案例XX=RcosO,y=RsinO,z=b6.

2、x=Rcos(i)t,y=Rsinst,、z=vt.=R2x2+y2v令(Dt=0,b=(x)Vfo y,z)N(x,yf 0)y 螺距：九=2nb第59讲 空间曲线空间曲线及其方程例2 求空间曲线 r-.x=(p(t),y=p(t),z=a)(t)(a t /?)绕 z轴旋转时的旋转曲面方程.旋转曲面方程为：)cos。,八八、J j-f a t /3 y=J?2(t)+寸2(。singly lo 0 2n)(z=a)(t)*二丿 第5 9讲 空间曲线一一空间曲线及其方程例如，X=l,y=t,z=绕z轴旋转所得旋转曲面方程为%=1+t2 COS0,/_(_8 t y=y/l+t2 sinQ V

3、 0 0 z=t消去和。，得旋转曲面方程为4(%2+y2)Z?=4.旋转单叶双曲面第59讲空间曲线空间曲线及其方程设两曲面的方程分别为：Si：F(”z)=0,S2G(xfyfz)=0.空间曲线可视为两曲面的交线：(F(x,y,z)=0,(G(”z)=0.这种描述空间曲线C的形式称为空间曲线的一般方程.第59讲空间曲线空间曲线及其方程例如,方程组Z*2+y2=L+3z=6表示圆柱面与平面的交线。第59讲空间曲线空间曲线及其方程Z木R1X表示球心在原点，半径为&的球面.因此，两个球面的交线为一个圆.【例3解】2+y2+z2 2Rz=0 表示球心在(0,0,&),半径为&的球面.*2+y2+z2 _

4、&2=0丿第5 9讲 空间曲线一一空间曲线及其方程例3方程组%2=0,表示怎样的曲线?(%匕+,匕+_ R匕=0说明：这个圆还可以表示=R2,该曲线的参数方程为V3 V3 1x=-Rcosd,y=-RsinO,z=-R.2 2 2第59讲空间曲线空间曲线及其方程表示怎样的曲线？X例4方程组【例4解】与%0y面围 成的立体具 有什么特征？第59讲空间曲线空间曲线及其方程Z=J&2 丁2X2+y2 Rx=0Z=JR2 _ x2 y2表示球/在(0,0,0),半径为R的上半f*2+y2 一 Rx=o表示准线为xOy 面上的圆X2+y2 一 Rx=o,母线 平行于轴的圆柱面.该空间曲线称为维维安尼曲线

5、.设空间曲线厂的参数方程为X=x(t)=y(t),Z=z(t)(捉或 tj)由空间点F(x,y z)在xOy,yOz,xOz平面上的投影分别为(x,y,0)s(0,y,z)、(x,0,z),很容易求得曲线在各坐标面上的投影曲线.例如，曲线厂在Oy平面上的 投影曲线为x=%(t),。秽：y=y(t),仕0*1)z=0第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线设空间曲线的一般方程为F（x,y,z）=0,G（x 况 z）=0,由方程组消去Z,得方程H（的 y）=0.该方程表示母线平行于z轴的柱面，通过曲线 称该柱面为空间曲线关于xOy平面的投影柱面.投影柱面与%Oy面的交线C：（H（驾）=饥投影曲线 I

6、z=u.第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线设空间曲线的一般方程为(F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0同理,由方程组消去X或y后，得到空间曲线关于yOz平面 及zOx平面的投影柱面方程分别为T(y,z)=0,R(的z)=0.曲线在yOz平面、zOx平面上的投影曲线方程为；T(yf z)=0,(R(y,z)=0,%=0.(y=0.第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线(2丄 2丄 2 _ 1+*+%=1,在xOy平面上的疽+(*-I)2+(Z _1)2=1投影曲线方程.【例5解】两方程相减，得y+z=l,将Z=1-*代入第一个方程,得投影柱面方程为X+2*2 2*=0,投影曲线方程为X+2

7、*2 2*=0,Z=0.第59讲空间曲线投影柱面与投影曲线例6画出由曲面S|:.+.1-2二二()与曲面:.Y2+V2-2.v=()以及 xOy面所围成的立体Q在xOy面上的投影区域.【例6解】两曲面的交线的方程为+y2 2z=0,0,y 0,z 0,x+z l,y2+z2 1所确定的立体的图形，并画出它在各坐标面上的投影区域.截痕法例8试用截痕法考察椭球面的图形特征.，丿第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面一-2 2 2【例8解】椭球面方程为F+%+a b cx2 y2 z2 a2_ 屏一 W 一,即椭球面在以平面x-a,y-b,z-c,长方体内.选用三个坐标面截椭球面，截痕分别为三个截痕都为

8、椭圆.用平行于*0y面的平面z=九截取,第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面截痕为2 2 2X乙 N Z匕_L _I-=1 b2 c22 2 7 2+2L=I_JL疽 b2 c2 h|c)z=h,2 2X Z v-1-=2 丁 2 1 5a c*=0(2 2E+J2 ,2 (+匕=1 c2 b2 z=0.x=0.L I用y=k(|k|M幻和x=m(|m|Q)去截取椭球面，得完全 类似的结果.k2，丿第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面x%2 Z2Q2+1 b2 (|k|M b)y=kfxy2 z2 m2双+歹=1_波，(|m|%Q)x=m,丿第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面X/、y例9试用截痕法

9、考察单叶双曲面的图形特征.2 2 2【例9解】单叶双曲面方程为 二1.a b c 曲面关于三个坐标面、坐标轴和坐标原点对称用面截曲面，截痕为2 2J 如2胪z=0.为Z=0平面上中心在原点，半轴G和力的椭圆.用平行于xOy面的平面z=h,截得的截痕为5椭圆z=h.用z。截得的截痕为x2z2C2J=01,截痕为实轴为轴，虚轴为Z轴的双曲线.第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面用平行于zO%面的平面,=kg b）截得的截痕为x1 z2 k1T 点 a c b，=k当k2 b2时,实轴平行于z轴的双曲线.当丁二b时，则交线为一对直线.第59讲空间曲线用截痕法研究曲面例10试用截痕法考察双曲抛物面的图形特征.2 2【例10解】双曲抛物面方程为-+=?.Q b用xOy面截曲面时，截得为一对相交于于原点的直线+2-，或一一2一饥二 一丁x第59讲空间曲线用截痕法研究曲面2 2双曲抛物面方程为-丄+二二.a b用平面Z=fl,截得的截痕为双曲线X2 J2-F=0时，实轴平行于y轴的双曲线.当九V 0时，实轴平行于X轴的双曲线.第59讲空间曲线用截痕法研究曲面Frx2 二-a1(Iz-12 2双曲抛物面方程为-丄+二二.a b用zOx面截曲面时，截得为 线,2 2x=az,y=o.用平面y=k,截得的截痕为 线用yOz面及平面二力，截得的截痕也为抛物线.第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面